Нелинейность восстанавливающей силы существенно осложняет анализ колебаний, и в этом параграфе будет рассмотрено действие только гармонической вынуждающей сплы; даже в этом наиболее простом случае приходится довольствоваться приближенным решением задачи. Характеристику нелинейной восстанавливающей силы будем считать симметричной:
\[
F(q)=-F(-q),
\]

а силы трения — отсутствующими.
При синусоидальном возбуждении дифференциальное уравнение движения имеет вид
\[
a \ddot{q}+F(q)=H \sin \omega t .
\]

Необходимо сразу отметить, что функция
\[
q=A \sin \omega t,
\]

описывающая закон движения линейных систем, в данном случае не является точным решением задачи; если подставить (7.3) в уравнение (7.2), то оно не может быть тождественно удовлетворено ни при каком значении $A$. Естественно ожидать, что решение будет содержать также высшие гармоники с частотами $2 \omega, 3 \omega, \ldots$, а возможно, и низшие гармоники с частотами $\omega / 2$, $\omega / 3, \ldots$; ниже мы убедимся, что это в самом деле так. Колебания с высшими по отношению $\omega$ частотами называются супергармоническими, колебания с низшими частотами — субгармоническими, а колебания с частотой $\omega$ — основными.

В первом приближении можно ограничиться исследованием только основных колебаний: они чаще всего наиболее важны; этому посвящен следующий п. 2. Даль-

нейшие уточнения можно получить, исследуя супергармонические колебания (см. п. 3) и субгармонические колебания (см. п. 4).