Как и в методе медленно меняющихся амплитуд, нужно прежде всего выделить из заданной функции $F(q, \dot{q})$ линейную часть и представить основное дифференциальное уравнение в впде
\[
\ddot{q}+k_{0}^{2} q=f(q, \dot{q}) .
\]

Для квазилинейных систем нелинейную фупкцию $f(q, \dot{q})$ можно представить в виде $\mu f_{*}(q, \dot{q})$, где $\mu$– заведомо малый параметр. Однако в подобных случаях можно постушить и по-пному – формально ввести в нравую часть (13.24) множитель $\mu=1$ п занисать уравнение (13.24) в виде
\[
\ddot{q}+k_{0}^{2} q=\mu f(q, \dot{q}) .
\]

Тогда в последующих выкладках буква $\mu$ будет служить лишь «сигналом малости» того сомножителя, около ко-

торого она стоит; если в этих выкладках возникнут степени буквы $\mu$ (т. е. $\mu^{2}, \mu^{3}$ и т. д.), то они будут как бы отмечать величнны второго, третьего и т. д. порядков малости. Разумеется, что прл таком формальном введении параметра $\mu$ в окончательных результатах нужно вновь положить $\mu=1$.

Согласно основной идее рассматриваемого метода, решение уравнения (13.25) ищется в виде ряда по степеням малого параметра $\mu$
\[
q(t)=q_{0}(t)+\mu q_{1}(t)+\mu^{2} q_{2}(t)+\ldots,
\]

в котором $q_{0}(t), q_{1}(t), q_{2}(t), \ldots$ – пока пеизвестные функцни. Поскольку частота пскомого процесса диняения, обозпаченная пиже через $k$, может не совпадать с собственной частотой линеаризованной системы $k_{0}$, принимается аналогичное разложение
\[
k_{0}^{2}=k^{2}+\mu \gamma_{1}+\mu^{2} \gamma_{2}+\ldots,
\]

где $\gamma_{1}, \gamma_{2}$ – постоянные, также пока пеизвестные.
Теперь выражения (13.26) и (13.27) подставляются в обе тасти осповного уравпения (13.25). Стагаемые полученного равенства будут пропорциональны различным степеням малого параметра $\mu$, и следовательно, после группировки слагаемых равенству можно придать вид
\[
D_{0}+\mu D_{1}+\mu^{2} D_{2}+\ldots=0 .
\]

Здесь $D_{0}, D_{1}, D_{2} \ldots$ – некоторые комплексы выражений, не содержащие малого параметра. Так как соотношение (13.28) должно выполняться при любом значении $\mu$, необходимо, чтобы порознь равнялись нулю $D_{0}, D_{1}$, $D_{2}$. .

При этом получается система уравнений следующего вида:
\[
\begin{array}{l}
\ddot{q_{0}}+k_{0}^{2} q=0, \\
\ddot{q_{1}}+k_{0}^{2} q_{1}=P_{1}\left[q_{0}(t), \dot{q}_{0}(t)\right], \\
\ddot{q_{2}}+k_{0}^{2} q_{2}=P_{2}\left[q_{1}(t), \dot{q}_{1}(t)\right], \\
\quad . . . . . . . . . . .
\end{array}
\]

Конкретный вид выражений $P_{1}, P_{2}, \ldots$ зависит от того, какова заданная функция $f(q, \dot{q})$; конетно, в развернутые выражения $P_{1}, P_{2}, \ldots$, войдут также постоянные $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \ldots$

Далее последовательно, одно за другим, решаются уравнения (13.29), причем постоянные $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \ldots$ определяются из условия отсутствия в решениях вековых (резонансных) тленов, т. е. таких, которые содержат время $t$ вне знаков тригонометрпческих фуниций; те же условия позволяют также найти и амплитуду автоколебаний.

Не останавливаясь на обсуждении выкладок в общем случае, обратимся к задаче об автоколебаниях системы, описываемой уравнением Ван дер Поля (13.2), которое зашишем в виде
\[
\ddot{q}+q=\mu\left(1-q^{2}\right) \dot{q} .
\]

Отметим, тто в дапном слутае $k_{0}^{2}=1$; поэтому коэффй циент при $q$ в левой части уравнепия (13.30) нужно представить в виде (13.27):
\[
1=k^{2}+\mu \gamma_{1}+\mu^{2} \gamma_{2}+\ldots
\]

Ограничиваясь учетом слагаемых до первого порядка малости, подставим в (13.30)
\[
1=k^{2}+\mu \gamma_{1}, \quad q=q_{0}+\mu q_{1} .
\]

При этом получится
\[
\begin{aligned}
\left(\ddot{q}_{0}+\mu \ddot{q}_{1}\right)+\left(k^{2}+\mu \gamma_{1}\right)\left(q_{0}+\mu q_{1}\right) & = \\
=\mu & {\left[1-\left(q_{0}+\mu q_{1}\right)^{2}\right]\left(\dot{q}_{0}+\mu \dot{q}_{1}\right), }
\end{aligned}
\]

или, объединяя члены одного порядка малости,
\[
\left(\ddot{q_{0}}+k^{2} q_{0}\right)+\mu\left(\ddot{q}_{1}+k^{2} q_{1}+\gamma_{1} q_{0}-\dot{q}_{0}+\dot{q}_{0} q_{0}^{2}\right)+\ldots=0,
\]

где многоточие обозначает слагаемые второго и высших порядков малости. Из (13.32) получаем уравнения вида (13.29):
\[
\begin{array}{l}
\ddot{q}_{0}+k^{2} q_{0}=0, \\
\ddot{q}_{1}+k^{2} q_{1}=-\gamma_{1} q_{0}+\dot{q}_{0}-\dot{q}_{0} q_{0}^{2} .
\end{array}
\]

Будем вести отсчет времени от момента, когда координата $q$ максимальна; искомую амплитуду автоколебаний обозначим через $A$. В начальный момент скорость $\dot{q}$ равна нулю, так что можно записать $q(0)=A, \dot{q}(0)=0$, или,

согласно второму соотношению (13.31),
\[
\begin{array}{l}
q_{0}(0)+\mu q_{1}(0)=A, \\
\dot{q}_{0}(0)+\mu \dot{q}_{1}(0)=0 .
\end{array}
\]

Для того чтобы эти соотношения удовлетворялись при любых знатениях $\mu$, должно быть
\[
\begin{array}{c}
q_{0}(0)=A, \quad \dot{q}_{0}(0)=0, \\
q_{1}(0)=0, \quad \dot{q}_{1}(0)=0 .
\end{array}
\]

Теперь можно записать решепие уравнепия (13.33), удовлетворяюгее натальным условиям (13.35),
\[
q_{0}=A \cos k t
\]

и затем перейти к уравнению (13.34), которос с учетом (13.37) получает вид
\[
\ddot{q}_{1}+k^{2} q_{1}=-\gamma_{1} A \cos k t-A k \sin k t+A^{3} k \sin k t \cos ^{2} k t \text {. }
\]

Сделав замену $\sin k t \cos ^{2} k t=\frac{1}{4}(\sin k t+\sin 3 k t)$, окончательно имеем
$\ddot{q_{1}}+k^{2} q_{1}=$
$=-\gamma_{1} A \cos k t-A k\left(1-\frac{A^{2} k}{4}\right) \sin k t+\frac{A^{3} k}{4} \sin 3 k t$.
Для того чтобы в решении этого уравнения отсутствовали вековые слагаемые, необходимо, чтобы коэффициенты при $\cos k t$ и $\sin k t$ равнялись нулю. Первое условие дает $\gamma_{1}=0$; согласно (13.27) получаем, что $k^{2}=k_{0}^{2}=1$, т. е. в данном случае частота автоколебаний совпадает с собственной частотой линеаризовапной системы. Тешерь из второго условия $1-\frac{A^{2} k}{4}=0$ паходим амплитуду автоколебаний $A=2$.

Следует обратить внимание на то, что полученная амплитуда оказалась не зависящей от малого параметра $\mu$, входящего в заданное уравнение (13.30). Однако отсюда не следует, что его значение вообще несущественно для рассматриваемой системы. Значение $\mu$ определяет быстроту приближения системы к движению по предельному циклу – чем больше $\mu$, тем быстрее происходит это приближение. Кроме того, значе ние $\mu$ влияет и па подробности движения по предельному циклу.

В самом деле, из (13.38) при начальных условиях (13.36) можно найти
\[
q_{1}=\frac{A^{3}}{32 k}(3 \sin k t-\sin 3 k t) .
\]

Следовательно, с учетом (13.37), получаем
\[
q=q_{0}+\mu q_{1}=A \cos k t+\frac{\mu A^{3}}{32 k}(3 \sin k t-\sin 3 k t),
\]
т. е. движение зависит от значения $\mu$.