Предположим, что обобщенные вынуждающие силы изменяются по гармоническому закону
\[
Q_{j}=H_{j}^{*} \sin \left(\omega t+\delta_{j}\right) \quad(j=1,2, \ldots, s),
\]
т. е. имеют одинаковые частоты, но различные амплитуды и фазы. Вместо (8.5) можно записать:
\[
Q^{j}=H_{j}^{*} \cos \delta_{j} \sin \omega t+H_{j}^{*} \sin \delta_{j} \cos \omega t .
\]

Далее, можно разделить задачу на две задачи: одна из них относится к случаю действия синусоидальных вынуждающих сил
\[
Q_{j}=H_{j} \sin \omega t
\]
(здесь принято обозначение $H_{j}=H_{j}^{*} \cos \delta_{j}$ ), а вторая к случаю действия косинусоидальных вынуждающих сил
\[
Q_{j}=G_{j} \cos \omega t
\]
(где $G_{j}=H_{j}^{*} \sin \delta_{j}$ ). Эти задачи совершенно однотиппы, поэтому ограничимся случаем действия синусоидальных сил (8.7). Тогда уравнения (8.2) запишутся так:
\[
\sum_{k=0}^{s}\left(a_{j k} \ddot{q}_{k}+c_{j k} q_{k}\right)=H_{j} \sin ^{*} \omega t \quad(j=1,2, \ldots, s) .
\]

Установившееся движение будем разыскивать в виде
\[
q_{j}=A_{j} \sin \omega t \quad(j=1,2, \ldots, s) .
\]

В этой записи видно, что все обобщенные координаты изменяются с единой частотой, равной частоте вынуждающих сил.

Подставляя (8.10) в дифференциальные уравнения (8.9), приходим к следующей системе алгебраических уравнений для определения амплитуд колебаний $A_{j}$ :
\[
\sum_{k=1}^{s}\left(c_{j k}-\omega^{2} a_{j k}\right) A_{k}=H_{j} \quad(j=1,2, \ldots, s) .
\]

К такой же системе можно прийти, если в (8.9) ввести правые части $H_{j} e^{i \omega t}$ и разыскивать решение в виде $q_{j}=$ $=A_{j} e^{i \omega t}$.

Решение системы уравнений (8.11) имеет вид
\[
A_{j}=\frac{\Delta_{j}}{D} \quad(j=1,2, \ldots, s) .
\]

Здесь $D$ — определитель, составленный из коэффициентов системы (8.11),

и $\Delta_{j}$ — определитель, который получается из $D$ путем замены $j$-го столбца правымп частями системы (8.11). Совокупность значений $A_{j}$ определяет форму вынужденных колебаний, т. е. конфигурацию системы при ее наибольшем отклонении от состояния равновесия.

Если сравнить полученный определитель $D$ (8.13) с частотным определителем (4.29), то можно заметить, что они совпадают прп $\omega=k$. Но в этом случае определитель $D$ обращается в нуль, так как именно из этого условия были найдены собственные частоты $k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{s}$.

Однако если $D=0$, а $\Delta_{j}
eq 0$, то, как это видно из формулы (8.12), все амплитуды $A_{j}$ становятся неограниченными, т. е. возникает резонанс. Таким образом, можно сказать, что резонанс наступает при совпадении частоты вынуждающей силы с л ю бой из собственных частот.

Возможны и противоположные случаи, когда при определенных значениях $\omega$ обращаются в нуль некоторые определители $\Delta_{j}$ (при этом $D
eq 0$ ). Тогда амплитуды $A_{j}$ соответствуюцих координат $q_{j}$ оказываются равными нулю, тто свидетельствует об отсутствии колебаний по этим координатам. Это явление называется антирезонансом.

Остановимся подробнее на случае системы с двумя степенями свободы. Из уравнений (8.11) можно получить следующие формулы для амплитуд $A_{1}$ и $A_{2}$ :
\[
\begin{array}{l}
A_{1}=\frac{H_{1}\left(c_{22}-a_{22} \omega^{2}\right)-H_{2}\left(c_{12}-a_{12} \omega^{2}\right)}{\left(c_{11}-a_{11} \omega^{2}\right)\left(c_{22}-a_{22} \omega^{2}\right)-\left(c_{12}-a_{12} \omega^{2}\right)^{2}}, \\
A_{2}=\frac{H_{1}\left(c_{12}-a_{22} \omega^{2}\right)-H_{2}\left(c_{11}-a_{11} \omega^{2}\right)}{\left(c_{11}-a_{11} \omega^{2}\right)\left(c_{22}-a_{22} \omega^{2}\right)-\left(c_{12}-a_{12} \omega^{2}\right)^{2}} .
\end{array}
\]

Положим, далее, что надлежащим выбором координат достигнуто выполнение равенств $a_{12}=a_{21}=0$ и, кроме того, задано $H_{2}=0$.
При этих условиях выражения (8.14) принимают вид
\[
\begin{array}{l}
A_{1}=\frac{H_{1}\left(c_{22}-a_{22} \omega^{2}\right)}{\left(c_{11}-a_{11} \omega^{2}\right)\left(c_{22}-a_{22} \omega^{2}\right)-c_{12}^{2}}, \\
A_{2}=\frac{H_{1} c_{12}}{\left(c_{11}-a_{11} \omega^{2}\right)\left(c_{22}-a_{22} \omega^{2}\right)-c_{12}^{2}} .
\end{array}
\]

Условие
\[
\left(c_{11}-a_{12} \omega^{2}\right)\left(c_{22}-a_{22} \omega^{2}\right)-c_{12}^{2}=0
\]

определяет два резонансных значения частоты возмущающей силы; они равны собственным частотам $k_{1}$ п $k_{2}$ рассматриваемой системы с двумя степенямп свободы.
Условие
\[
c_{22}-a_{22} \omega^{2}=0
\]

определяет частоту антирезонанса. При этой частоте колебания, соответствующие первой координате, полностью отсутствуют, а напбольшее значение второї коордипаты согласно (8.15) равно
\[
A_{2}=-\frac{H_{1}}{c_{12}} .
\]

В этом результате содержится иитересная возможпость практической борьбы с колебаниями; ею пользуются в некоторых областях технипи. Допустим, что имеется некоторая система с одной степенью свободы, подверженная действию гармонической вынуждающей силы. Усложнив систему путем добавления дополнительной массы на упругой связи и подчинив значения жесткости и массы дополнительной части условию (8.17), можно добиться устранения вибраций основной части спстемы; в этом случае дополнительная часть системы называется динамическим гасителем колебаний (динамическим виброгасителем).

Следует иметь в виду, что такой тасптель эффективен лишь при строгом постоянстве частоты $\omega$ возмущающей силы; в противном случае он может оказаться даже вредным. Для смягчения этого недостатка обычно вводят в систему динамического гасителя силы трения,

которые делают гаситель «в среднем» полезным в достаточно широком диапазоне частот $\omega$.

Пример 8.1. На левый груз системы с двумя степенями свободы (рис. 8.1) действует гармоническая вынуждающая сила $H_{1} \sin \omega t$. Найти, при каких соотношения массы $m_{2}$ правого груза и коэффициента жесткости $c_{2}$ правой пружины исчезают колебания левого груза, т. е. правый груз оказывается динамическим гасителем колебаний. Коэффициент жесткости $c_{1}$ левой пружины и масса $m_{1}$ левоPrc. 8.1 го груза заданы.
ІІринимая за обобщенные координаты отклонения $x_{1}$ и $x_{2}$ грузов от положения равновесия, составляем дифферендиальные уравнения движения:
\[
\begin{aligned}
H_{1} \sin \omega t-c_{1} x_{1}+c_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) & =m_{1} \ddot{x}_{1}, \\
-c_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) & =m_{2} \ddot{x}_{2} .
\end{aligned}
\]

Приводя эти уравнения к форме (8.3)
\[
\begin{aligned}
m_{1} \ddot{x}_{1}+\left(c_{1}+c_{2}\right) x_{1}-c_{2} x_{2} & =H_{1} \sin \omega t, \\
m_{2} \ddot{x}_{2}-c_{2} x_{1}+c_{2} x_{2} & =0,
\end{aligned}
\]

устанавливаем:
\[
\begin{array}{l}
a_{11}=m_{1}, \quad a_{12}=a_{21}=0, \quad a_{22}=m_{2}, \\
c_{11}=c_{1}+c_{2}, \quad c_{12}=c_{21}=-c_{2}, \quad c_{22}=c_{2} . \\
\end{array}
\]

Согласно условию (8.17) должно быть
\[
c_{2}-m_{2} \omega^{2}=0,
\]
т. е. искомое соотношение (условие настройки динамического гасителя) имеет вид
\[
\frac{c_{2}}{m_{2}}=\omega^{2}
\]

и не зависит от значений $c_{1}$ и $m_{1}$. На рис. 8.2 показано изменение амшлитуд $A_{1}$ и $A_{2}$ в зависимости от частоты $\omega$ возмущающей силы. При построении графиков было принято $H_{1}=10 \mathrm{H}, c_{1}=c_{2}=$ $=10 \mathrm{H} / \mathrm{cм}, m_{1}=m_{2}=1000$ кг. При этом собственные частоты равны $k_{1}=0,618 \mathrm{c}^{-1}, k_{2}=1,618 \mathrm{c}^{-1}$, а соответствующая антирезонансу частота равна $1 \mathrm{c}^{-1}$.

Пример 8.2. Найти амплитуды колебаний сосредоточенных трузов, связанных с цвухопорной упругой балкой (рис. 8.3, а). Массы грузов одинаковые и равны $m$, жесткость $E J$ сечения балки постоянная. На средний груз действует вынуждающая сила $H \sin \omega t$.

Дифференциальные уравпения движения систем этого типа удобнее составлять с помощью обратного способа. Приняв за обобщенные координаты $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ — отклонения грузов от положений

равновесия, 一 имеем
\[
\begin{array}{l}
y_{1}=-m_{1} \ddot{y}_{1} \delta_{11}-m_{2} \ddot{y}_{2} \delta_{12}-m_{3} \ddot{y}_{3} \delta_{13}+H \sin \omega t \delta_{12}, \\
y_{2}=-m_{1} \ddot{y}_{1} \delta_{21}-m_{2} \ddot{y}_{2} \delta_{22}-m_{3} y_{3} \delta_{23}+H \sin \omega \delta_{22}, \\
y_{3}=-m_{1} \ddot{y}_{1} \delta_{31}-m_{2} \ddot{y}_{2} \delta_{32}-m_{3} \ddot{y}_{3} \delta_{33}+H \sin \omega t \delta_{32},
\end{array}
\]

Рис. 8.2
задерживаясь на их вычпслении, приведем сразу окончательные вначения:
\[
\begin{array}{c}
\delta_{11}=\delta_{33}=\frac{75}{\beta}, \delta_{12}=\delta_{21}=\delta_{23}=\delta_{32}=\frac{117}{\beta}, \\
\delta_{22}=\frac{243}{\beta}, \quad \delta_{13}=\delta_{31}=\frac{51}{\beta},
\end{array}
\]

где $\beta=9 \cdot 1296 E J / l^{3}$. С учетом этих значений, а также равенств $m_{1}=m_{2}=m_{3}=m$ дифференциальные уравнения приобретают вид
\[
\begin{aligned}
75 m \ddot{y}_{1}+117 m \ddot{y}_{2}+51 m \ddot{y}_{3}+\beta y_{1} & =117 H \sin \omega t, \\
117 m \ddot{y}_{1}+243 m \ddot{y}_{2}+117 m \ddot{y}_{3}+\beta y_{2} & =243 H \sin \omega t, \\
51 m \ddot{y}_{1}+117 m \ddot{y}_{2}+75 m \ddot{y}_{3}+\beta y_{3} & =117 H \sin \omega t .
\end{aligned}
\]

Теперь можно составить уравнения (8.11) для определения амплитуд колебаний:
\[
\begin{aligned}
\left(\beta-75 m \omega^{2}\right) A_{1}-117 m \omega^{2} A_{2}-51 m \omega^{2} A_{3} & =117 H, \\
-117 m \omega^{2} A_{1}+\left(\beta-243 m \omega^{2}\right) A_{2}-117 m \omega^{2} A_{3} & =243 H, \\
-51 m \omega^{2} A_{1}-117 m \omega^{2} A_{3}+\left(\beta-75 m \omega^{2}\right) A_{3} & =117 H ;
\end{aligned}
\]

отсюда находим
\[
\begin{array}{l}
A_{1}=A_{3}=\frac{H}{\beta} \frac{117}{1-369 \alpha+3240 \alpha^{2}}, \\
A_{2}=\frac{H}{\beta} \frac{243-3240 \alpha}{1-369 \alpha+3240 \alpha^{2}},
\end{array}
\]

где $\alpha=m \omega^{2} / \beta$. Как видно, амплитуды колебаний зависят от характерного параметра $\alpha$, меняющегося с изменением частоты возбуж-

дения. При $\alpha_{1}=0,00278$ и $\alpha_{2}=0,11111$ знаменатели найденных выражений обращаются в нуль, т. е. амплитуды колебаний становятся неограниченными (резонансные состояния, когда частота возбуждения совцадает с какой-либо собственной частотой рассматри-
Puc. 8.3

ваемой системы). На рис. 8.3, б-з показаны формы изогнутой оси балки при $H / \beta=4$ и нескольих зпачениях параметра $\alpha$ (так как при изменении $\alpha$ зпачения $A_{1}$ и $A_{2}$ изменяются на песколько

порядков, кривые построены в различных масштабах). Кривая па рис. 6 построена для $\alpha=0$ (статическое нагружение). По форме от нее мало отличается кривая на рис. в, относящаяся к сравнительно небольшому значению параметра $\alpha$. Кривая на рис. г построена для околорезонансных условий и близка к первойі собственной форме. Кривая на рис. д относится к «межрезонансным» условиям $\alpha_{1}<0,005<\alpha_{2}$; здесь пужно отметить, что перемещения паходится в противофазе с вынуждающей силой (подобно зарезопансным режимам систем с одной степенью свободы). Кривая на рис. е соответствует антирезонансу (при $\alpha=0,075$ значение $A_{2}$ обращается в нуль). На рис. ж показана кривая для частоты, немного меньшей, чем вторая собственная частота, а кривая на рис. з — для частоты, несколько превосходящей вторую собственную частоту. Можно погазать, что при дальнейшем возрастании шараметра $\alpha$ изогнутая ось в принципе будет такой, как на рис. з.