Предположим, что обобщенные вынуждающие силы изменяются по гармоническому закону
$$Q_j=H_j^{\ast }\sin (\omega t+{\delta }_j)(j=1,2,\dots ,s),$$
т. е. имеют одинаковые частоты, но различные амплитуды и фазы. Вместо (8.5) можно записать:
$$Q^j=H_j^{\ast }\cos {\delta }_j\sin \omega t+H_j^{\ast }\sin {\delta }_j\cos \omega t.$$

Далее, можно разделить задачу на две задачи: одна из них относится к случаю действия синусоидальных вынуждающих сил
$$Q_j=H_j\sin \omega t$$
(здесь принято обозначение $H_j=H_j^{\ast }\cos {\delta }_j$ ), а вторая к случаю действия косинусоидальных вынуждающих сил
$$Q_j=G_j\cos \omega t$$
(где $G_j=H_j^{\ast }\sin {\delta }_j$ ). Эти задачи совершенно однотиппы, поэтому ограничимся случаем действия синусоидальных сил (8.7). Тогда уравнения (8.2) запишутся так:
$$\sum _{k=0}^s(a_{jk}{\ddot{q}}_k+c_{jk}{q}_k)=H_j{\sin }^{\ast }\omega t(j=1,2,\dots ,s).$$

Установившееся движение будем разыскивать в виде
$$q_j=A_j\sin \omega t(j=1,2,\dots ,s).$$

В этой записи видно, что все обобщенные координаты изменяются с единой частотой, равной частоте вынуждающих сил.

Подставляя (8.10) в дифференциальные уравнения (8.9), приходим к следующей системе алгебраических уравнений для определения амплитуд колебаний $A_j$ :
$$\sum _{k=1}^s(c_{jk}-{\omega }^2{a}_{jk})A_k=H_j(j=1,2,\dots ,s).$$

К такой же системе можно прийти, если в (8.9) ввести правые части $H_j{e}^{i\omega t}$ и разыскивать решение в виде $q_j=$ $=A_j{e}^{i\omega t}$.

Решение системы уравнений (8.11) имеет вид
$$A_j=\frac{{\mathrm{\Delta }}_j}{D}(j=1,2,\dots ,s).$$

Здесь $D$ — определитель, составленный из коэффициентов системы (8.11),

и ${\mathrm{\Delta }}_j$ — определитель, который получается из $D$ путем замены $j$-го столбца правымп частями системы (8.11). Совокупность значений $A_j$ определяет форму вынужденных колебаний, т. е. конфигурацию системы при ее наибольшем отклонении от состояния равновесия.

Если сравнить полученный определитель $D$ (8.13) с частотным определителем (4.29), то можно заметить, что они совпадают прп $\omega =k$. Но в этом случае определитель $D$ обращается в нуль, так как именно из этого условия были найдены собственные частоты $k_1,k_2,\dots ,k_s$.

Однако если $D=0$, а ${\mathrm{\Delta }}_{j}eq0$, то, как это видно из формулы (8.12), все амплитуды $A_j$ становятся неограниченными, т. е. возникает резонанс. Таким образом, можно сказать, что резонанс наступает при совпадении частоты вынуждающей силы с л ю бой из собственных частот.

Возможны и противоположные случаи, когда при определенных значениях $\omega$ обращаются в нуль некоторые определители ${\mathrm{\Delta }}_j$ (при этом $Deq0$ ). Тогда амплитуды $A_j$ соответствуюцих координат $q_j$ оказываются равными нулю, тто свидетельствует об отсутствии колебаний по этим координатам. Это явление называется антирезонансом.

Остановимся подробнее на случае системы с двумя степенями свободы. Из уравнений (8.11) можно получить следующие формулы для амплитуд $A_1$ и $A_2$ :
$$\begin{array}{l}{A}_1=\frac{H_1(c_{22}-a_{22}{\omega }^2)-H_2(c_{12}-a_{12}{\omega }^2)}{(c_{11}-a_{11}{\omega }^2)(c_{22}-a_{22}{\omega }^2)-{(c_{12}-a_{12}{\omega }^2)}^2},\\ A_2=\frac{H_1(c_{12}-a_{22}{\omega }^2)-H_2(c_{11}-a_{11}{\omega }^2)}{(c_{11}-a_{11}{\omega }^2)(c_{22}-a_{22}{\omega }^2)-{(c_{12}-a_{12}{\omega }^2)}^2}.\end{array}$$

Положим, далее, что надлежащим выбором координат достигнуто выполнение равенств $a_{12}=a_{21}=0$ и, кроме того, задано $H_2=0$.
При этих условиях выражения (8.14) принимают вид
$$\begin{array}{l}{A}_1=\frac{H_1(c_{22}-a_{22}{\omega }^2)}{(c_{11}-a_{11}{\omega }^2)(c_{22}-a_{22}{\omega }^2)-c_{12}^2},\\ A_2=\frac{H_1{c}_{12}}{(c_{11}-a_{11}{\omega }^2)(c_{22}-a_{22}{\omega }^2)-c_{12}^2}.\end{array}$$

Условие
$$(c_{11}-a_{12}{\omega }^2)(c_{22}-a_{22}{\omega }^2)-c_{12}^2=0$$

определяет два резонансных значения частоты возмущающей силы; они равны собственным частотам $k_1$ п $k_2$ рассматриваемой системы с двумя степенямп свободы.
Условие
$$c_{22}-a_{22}{\omega }^2=0$$

определяет частоту антирезонанса. При этой частоте колебания, соответствующие первой координате, полностью отсутствуют, а напбольшее значение второї коордипаты согласно (8.15) равно
$$A_2=-\frac{H_1}{c_{12}}.$$

В этом результате содержится иитересная возможпость практической борьбы с колебаниями; ею пользуются в некоторых областях технипи. Допустим, что имеется некоторая система с одной степенью свободы, подверженная действию гармонической вынуждающей силы. Усложнив систему путем добавления дополнительной массы на упругой связи и подчинив значения жесткости и массы дополнительной части условию (8.17), можно добиться устранения вибраций основной части спстемы; в этом случае дополнительная часть системы называется динамическим гасителем колебаний (динамическим виброгасителем).

Следует иметь в виду, что такой тасптель эффективен лишь при строгом постоянстве частоты $\omega$ возмущающей силы; в противном случае он может оказаться даже вредным. Для смягчения этого недостатка обычно вводят в систему динамического гасителя силы трения,

которые делают гаситель «в среднем» полезным в достаточно широком диапазоне частот $\omega$.

Пример 8.1. На левый груз системы с двумя степенями свободы (рис. 8.1) действует гармоническая вынуждающая сила $H_1\sin \omega t$. Найти, при каких соотношения массы $m_2$ правого груза и коэффициента жесткости $c_2$ правой пружины исчезают колебания левого груза, т. е. правый груз оказывается динамическим гасителем колебаний. Коэффициент жесткости $c_1$ левой пружины и масса $m_1$ левоPrc. 8.1 го груза заданы.
ІІринимая за обобщенные координаты отклонения $x_1$ и $x_2$ грузов от положения равновесия, составляем дифферендиальные уравнения движения:
$$\begin{array}{rl}{H}_1\sin \omega t-c_1{x}_1+c_2(x_2-x_1)& =m_1{\ddot{x}}_1,\\ -c_2(x_2-x_1)& =m_2{\ddot{x}}_2.\end{array}$$

Приводя эти уравнения к форме (8.3)
$$\begin{array}{rl}{m}_1{\ddot{x}}_1+(c_1+c_2)x_1-c_2{x}_2& =H_1\sin \omega t,\\ m_2{\ddot{x}}_2-c_2{x}_1+c_2{x}_2& =0,\end{array}$$

устанавливаем:
$$\begin{array}{l}{a}_{11}=m_1,a_{12}=a_{21}=0,a_{22}=m_2,\\ c_{11}=c_1+c_2,c_{12}=c_{21}=-c_2,c_{22}=c_2.\end{array}$$

Согласно условию (8.17) должно быть
$$c_2-m_2{\omega }^2=0,$$
т. е. искомое соотношение (условие настройки динамического гасителя) имеет вид
$$\frac{c_2}{m_2}={\omega }^2$$

и не зависит от значений $c_1$ и $m_1$. На рис. 8.2 показано изменение амшлитуд $A_1$ и $A_2$ в зависимости от частоты $\omega$ возмущающей силы. При построении графиков было принято $H_1=10\mathrm{H},c_1=c_2=$ $=10\mathrm{H}/\mathrm{c}\mathrm{м},m_1=m_2=1000$ кг. При этом собственные частоты равны $k_1=0,618{\mathrm{c}}^{-1},k_2=1,618{\mathrm{c}}^{-1}$, а соответствующая антирезонансу частота равна $1{\mathrm{c}}^{-1}$.

Пример 8.2. Найти амплитуды колебаний сосредоточенных трузов, связанных с цвухопорной упругой балкой (рис. 8.3, а). Массы грузов одинаковые и равны $m$, жесткость $EJ$ сечения балки постоянная. На средний груз действует вынуждающая сила $H\sin \omega t$.

Дифференциальные уравпения движения систем этого типа удобнее составлять с помощью обратного способа. Приняв за обобщенные координаты $y_1,y_2,y_3$ — отклонения грузов от положений

равновесия, 一 имеем
$$\begin{array}{l}{y}_1=-m_1{\ddot{y}}_1{\delta }_{11}-m_2{\ddot{y}}_2{\delta }_{12}-m_3{\ddot{y}}_3{\delta }_{13}+H\sin \omega t{\delta }_{12},\\ y_2=-m_1{\ddot{y}}_1{\delta }_{21}-m_2{\ddot{y}}_2{\delta }_{22}-m_3{y}_3{\delta }_{23}+H\sin \omega {\delta }_{22},\\ y_3=-m_1{\ddot{y}}_1{\delta }_{31}-m_2{\ddot{y}}_2{\delta }_{32}-m_3{\ddot{y}}_3{\delta }_{33}+H\sin \omega t{\delta }_{32},\end{array}$$

Рис. 8.2
задерживаясь на их вычпслении, приведем сразу окончательные вначения:
$$\begin{array}{c}{\delta }_{11}={\delta }_{33}=\frac{75}{\beta },{\delta }_{12}={\delta }_{21}={\delta }_{23}={\delta }_{32}=\frac{117}{\beta },\\ {\delta }_{22}=\frac{243}{\beta },{\delta }_{13}={\delta }_{31}=\frac{51}{\beta },\end{array}$$

где $\beta =9\cdot 1296EJ/l^3$. С учетом этих значений, а также равенств $m_1=m_2=m_3=m$ дифференциальные уравнения приобретают вид
$$\begin{array}{rl}75m{\ddot{y}}_1+117m{\ddot{y}}_2+51m{\ddot{y}}_3+\beta y_1& =117H\sin \omega t,\\ 117m{\ddot{y}}_1+243m{\ddot{y}}_2+117m{\ddot{y}}_3+\beta y_2& =243H\sin \omega t,\\ 51m{\ddot{y}}_1+117m{\ddot{y}}_2+75m{\ddot{y}}_3+\beta y_3& =117H\sin \omega t.\end{array}$$

Теперь можно составить уравнения (8.11) для определения амплитуд колебаний:
$$\begin{array}{rl}(\beta -75m{\omega }^2)A_1-117m{\omega }^2{A}_2-51m{\omega }^2{A}_3& =117H,\\ -117m{\omega }^2{A}_1+(\beta -243m{\omega }^2)A_2-117m{\omega }^2{A}_3& =243H,\\ -51m{\omega }^2{A}_1-117m{\omega }^2{A}_3+(\beta -75m{\omega }^2)A_3& =117H;\end{array}$$

отсюда находим
$$\begin{array}{l}{A}_1=A_3=\frac{H}{\beta }\frac{117}{1-369\alpha +3240{\alpha }^2},\\ A_2=\frac{H}{\beta }\frac{243-3240\alpha }{1-369\alpha +3240{\alpha }^2},\end{array}$$

где $\alpha =m{\omega }^2/\beta$. Как видно, амплитуды колебаний зависят от характерного параметра $\alpha$, меняющегося с изменением частоты возбуж-

дения. При ${\alpha }_1=0,00278$ и ${\alpha }_2=0,11111$ знаменатели найденных выражений обращаются в нуль, т. е. амплитуды колебаний становятся неограниченными (резонансные состояния, когда частота возбуждения совцадает с какой-либо собственной частотой рассматри-
Puc. 8.3

ваемой системы). На рис. 8.3, б-з показаны формы изогнутой оси балки при $H/\beta =4$ и нескольих зпачениях параметра $\alpha$ (так как при изменении $\alpha$ зпачения $A_1$ и $A_2$ изменяются на песколько

порядков, кривые построены в различных масштабах). Кривая па рис. 6 построена для $\alpha =0$ (статическое нагружение). По форме от нее мало отличается кривая на рис. в, относящаяся к сравнительно небольшому значению параметра $\alpha$. Кривая на рис. г построена для околорезонансных условий и близка к первойі собственной форме. Кривая на рис. д относится к «межрезонансным» условиям ${\alpha }_1<0,005<{\alpha }_2$; здесь пужно отметить, что перемещения паходится в противофазе с вынуждающей силой (подобно зарезопансным режимам систем с одной степенью свободы). Кривая на рис. е соответствует антирезонансу (при $\alpha =0,075$ значение $A_2$ обращается в нуль). На рис. ж показана кривая для частоты, немного меньшей, чем вторая собственная частота, а кривая на рис. з — для частоты, несколько превосходящей вторую собственную частоту. Можно погазать, что при дальнейшем возрастании шараметра $\alpha$ изогнутая ось в принципе будет такой, как на рис. з.