Замкнутое решение задачи о вынужденных колебаниях при произвольных нелинейных силах трения затруднительно даже в простейшем случае действия моногармонической вынуждающей силы, когда дифференциальное уравнение движения имеет вид
\[
a \ddot{q}+R(\dot{q})+c q=H \cos \omega t .
\]

Для приближенного решения этого уравнения воспользуемся методом энергетического баланса, т. е. заменим заданную нелинейную силу $R(\dot{q})$ эквивалентной в энергетическом отношении линейной силой $b_{0} \dot{q}$; коэффициент $b_{0}$ будем разыскивать из условия равенства работ, соверпаемых обеими силами за один период:
\[
\int_{0}^{T} R(\dot{q}) \dot{q} d t=\int_{0}^{T} b_{0} \dot{q} \dot{q} d t
\]

Далее приближенно примем, что и в общем случае нелинейного трения стационарный колебательный процесс описывается, как в случае липейного трения, выражением
\[
q=A \sin (\omega t-\gamma) .
\]

При этом уравненше энергетического баланса (6.51) можно записывать для полуперпода колебаний, в течение ко-

торого скорость (а вместе с этим и сила $R$ ) не меняет знак. Подставив (6.52) в (6.51), найдем
\[
-\int_{0}^{\pi} R(-A \omega \sin \psi) A \sin \psi d \psi=\frac{\pi}{2} A^{2} \omega b_{0} \text {, }
\]

где $\psi=\omega t-\gamma$. Отсюда следует формула, определяющая эквивалентный коэффициент линейного трения:
\[
b_{0}=-\frac{2 \int_{0}^{\pi} R(-A \omega \sin \psi) \sin \psi d \psi}{\pi A \omega} .
\]

Пусть, например, сила трения задана нелинейной зависимостью (2.17). При этом
\[
R(\dot{q})=b \dot{q}|\dot{q}|^{n-1}
\]

п числитель выражения (6.54) равен
\[
2 \int_{0}^{\pi} b^{-}(-A \omega \sin \psi)^{n} \sin \psi d \psi=-4 A^{n} b \omega^{n} \int_{0}^{\pi / 2} \sin ^{n+1} \psi d \psi \text {. }
\]

Входящий сюда интеграл был выше обозначен через $I$ (см. § 2, (2.20)), так что окончательно получаем
\[
b_{0}=\frac{4 b I}{\pi}(A \omega)^{n-1} \text {. }
\]

Аналогично можно определить эквивалентный коэффициент $b_{0}$ и в других случаях нелинейного трения.

После того как коэффициент $b_{0}$ найден, задача сводится к рассмотрению эквивалентной линейной системы, движение которой определяется дифференциальным уравнением (6.4). Запишем соответствующее этой задаче выражение (6.9) для амплитуды колебаний, подставив $h=b_{0} / 2 a$ и $c=a k^{2}$ :
\[
A=\frac{H}{c \sqrt{\left(1-\frac{\omega^{2}}{k^{2}}\right)^{2}+\left[\frac{\overline{b_{0}(A) \omega}}{c}\right]^{2}}} .
\]

Здесь неизвестная амплитуда $A$ входит не только в левую часть равенства, но и в правую его часть, так как коэффициент $b_{0}$ зависит от той же амплитуды $A$. В связи с этим соотношение (6.56) следует рассматривать не как формулу, а как уравнение для определения амплитуды $A$.

Для построения резонансной кривой удобнее разрешить уравнение (6.56) относительно $\omega / k$ :
\[
\frac{\omega}{k}=\sqrt{1-\frac{b_{0}^{2}}{2 a^{2} k^{2}} \pm \sqrt{\left(\frac{b_{0}^{2}}{2 a^{2} k^{2}}\right)^{2}-\frac{b_{0}^{2}}{a^{2}}+\left(\frac{H}{A c}\right)^{2}},}
\]

а затем, задаваясь значениями $A$, вычислять $b_{0}(A)$ и определять соответствующие отношения $\omega / k$.

Для определения резонансной амплитуды положим в $(6.56) \omega=k$; тогда уравнение примет вид
\[
b_{0}(A)=\frac{H}{A \omega} .
\]

В частности, если коэффициент $b_{0}$ ощределяется формулой (6.55), можно найти $A=\frac{1}{k} \sqrt[n]{\frac{\pi H}{4 b I}}$; например, при $n=2(I=0,667)$ получим $A=\frac{1,085}{k} \sqrt{\frac{H}{b}}$.

Нужно отметить, что в рассматриваемых задачах амплитуда вынужденных колебаний непропорциональна амплитуде силы.