В отмеченных выше случаях исследование свободных колебаний сводится к интегрированию нелинейного дифференциального уравнения (3.1). Выразив обобщенное ускорение через обобщенную скорость $\ddot{q}=\dot{q} \frac{d \dot{q}}{d q}$, получим вместо (3.1) уравнение первого порядка, связывающее скорость $\dot{q}$ с координатой $q$ :
\[
\dot{q} \frac{d \dot{q}}{d q}+\frac{F(q)}{a}=0 .
\]

Предположим, что система совершает колебательное движение, и выберем за начало отсчета времени момент, когда обобщенная скорость равна нулю и достигается
Рис. 3.2

наибольшее отклонение системы от положения равновесия $\left.\left(q_{\max }=A\right)^{*}\right)$.
*) При немонотонных зависимостях $F(q)$ и больших начальных возмущениях может оказаться, что обобщенная скорость в нуль никогда не обращается. Так, например, если находящемуся

Разделяя переменные в уравнения (3.2) и интегрируя его, имеем
\[
\int_{0}^{\dot{q}} \dot{q} d \dot{q}=-\frac{1}{a} \int_{A}^{q} F(q) d q
\]

или
\[
\frac{\dot{q}^{2}}{2}=-\frac{1}{a} \int_{A}^{q} F(q) d q=\frac{1}{a} \int_{q}^{A} F(q) d q .
\]

Это соотношение выражает закон сохранения энергии: кинетическая энергия в произвольный момент равна убыванию потенциальной энергии при переходе системы из крайнего положения в рассматриваемое. Из (3.3) находим обобщенную скорость в функции координаты:
\[
\dot{q}=\frac{d q}{d t}=-\sqrt{\frac{2}{a} \int_{q}^{A} F(q) d q} .
\]

Знак минус перед корнем выбран потому, что в рассматриваемом интервале движения (первый полупериод) обобщенная скорость отрицательна.

Дальнейшее интегрирование соотношения (3.4) дает время в функции обобщенной координаты $q$ :
\[
t=-\int_{A}^{q} \frac{d q}{\sqrt{(2 / a) \int_{\boldsymbol{q}}^{A} F(q) d q}}=\int_{q}^{A} \frac{d q}{\sqrt{(2 / a) \int_{\boldsymbol{q}}^{A} F(q) d q}} .
\]

Если характеристика восстанавливающей силы симметричная, т. е. функция $F(q)$ нечетная, то время перехода системы из крайнего положения $\left(q_{\max }=A\right.$ ) в положение равновесия ( $q=0$ ) составит четверть периода; следова-

в устойчивом положении равновесия маятнику сообщить достаточно большую начальную скорость $v>2 \sqrt{g l}$, то начнется безостановочное вращательное движение с неизменным знаком обобщенной скорости. Впрочем, и в этом ротационном процессе можно заметить колебательные свойства, так как значение обобщенной скорости колеблется около некоторого среднего значения.

тельно,
\[
\frac{T}{4}=\int_{0}^{A} \frac{d q}{\sqrt{\left(\frac{2}{a}\right) \int_{q}^{A} F(q) d q}}
\]

соответственно частота свободных колебаний определяется формулой
\[
k=\frac{2 \pi}{T}=\pi: 2 \int_{0}^{A} \frac{d q}{\sqrt{\left(\frac{2}{a}\right) \int_{q}^{A} F(q) d q}} .
\]

Изложенное решение не дает возможности найти в замкнутом виде закон движения $q(t)$, но приводит задачу определения частоты свободных колебаний к квадратурам. Во всех случаях для вычислений по формуле (3.6) эффективно использование ЭВМ, хотя иногда их можно заверпить и в аналитической форме.

Остановимся на частном случае чисто нелинейной характеристики, которая не содержит линейного члена,
\[
F(q)=\beta q^{2 n-1},
\]

где $\beta$ и $n$ – постоянные. Последовательно находим
\[
\begin{array}{c}
\int_{q}^{A} F(q) d q=\frac{\beta}{2 n}\left(A^{2 n}-q^{2 n}\right), \\
\int_{0}^{A} \frac{d q}{\sqrt{\frac{\beta}{a n}\left(A^{2 n}-q^{2 n}\right)}}=\sqrt{\frac{a n}{\beta}} A^{1-n} \int_{0}^{1} \frac{d \gamma}{\sqrt{1-\gamma^{2 n}}} .
\end{array}
\]

Заменив здесь $\gamma^{2 n}=\psi$, получим для входящего сюда интеграла следующее выражение через гамма-функцию:
\[
\int_{0}^{1} \frac{d \gamma}{\sqrt{1-\gamma^{2 n}}}=\frac{1}{2 n} \int_{0}^{1} \psi^{\frac{1}{2 n}-1}(1-\psi)^{-\frac{1}{2}} d \psi=\frac{\sqrt{\pi} \Gamma\left(\frac{1}{2 n}\right)}{2 n \Gamma\left(\frac{1}{2 n}+\frac{1}{2}\right)} .
\]

Окончательно по формуле (3.6) находим
\[
k=I_{*}(n) \sqrt{\frac{\beta}{a}} A^{n-1},
\]

где
\[
I_{*}(n)=\sqrt{\pi n} \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2 n}+\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2 n}\right)} .
\]

Значения $I_{*}(n)$ даны в следующей таблице:

Из формулы (3.8) видно, что при $n
eq 1$ частота свободных колебаний зависит от их амплитуды.

Типичная для нелинейных систем зависимость частоты от амплитуды не позволяет считать частоту параметром самой системы; поэтому для нелинейных систем обычно пользуются не термином «собственная частота», а термином «частота свободных колебаний».

Как мы видели, даже при сравнительно несложном виде зависимости (3.7) вычисления частоты приводят к неэлементарным функциям. Чапе всего эти вычнсления
Рис. 3.3

приходится делать приближенно, так как входящий в формулу (3.6) интеграл не сводится к табулированным функциям. Однако в некоторых случаях, когда нелинейная характеристика восстанавливающей силы состоит из линейных участков (рис. 3.3), можно получить независимое от (3.6) точное решение задачи о свободных колебаниях, пользуясь способом поэтапного интегрирования (припасовывания).

Способ основан на последовательном решении ряда линейных задач, относящихся к отдельным участкам. Постоянные интегрирования определяются из начальных условий, условий перехода от этапа к этапу и условий периодичности.

Пусть кусочно-линейная характеристика системы симметрична и состоит из $n$ участков, границы которых определяются значениями координат $q_{12}, q_{23}, \ldots$ (в индексах указаны номера смежных участков, причем нумерация идет от крайнего участка $\mathrm{K}$ началу). Задаваясь, например, начальными условиями $q(0)=A, \dot{q}(0)=0$ и интегрируя линейное дифференциальное уравнение, относящееся к первому этапу, мы сможем найти время движения на первом этапе $t_{1}$ и соответствующую концу этапа скорость $\dot{q}_{12}$. Принимая известные значения $q_{12}$ и $\dot{q}_{12}$ за начальные условия движения на втором этапе, можно найти время движения $t_{2}$ и скорость $\dot{q}_{23}$ в конце этапа. Наконец, на $n$-м этапе, которому соответствует проходящий через начало координат участок характеристики, можно найти время $t_{n}$ прохождения $n$-го этапа (от его начала $q_{n-1, n}$ до $q=0$ ). В данном случае на этом можно остановиться, так как ввиду симметричности характеристики и симметрии движения сумма найденных промежутков времени равна четверти периода свободных колебаний:
\[
\frac{T}{4}=t_{1}+t_{2}+\ldots+t_{n} .
\]

Отсюда можно определить частоту свободных колебаний:
\[
k=\frac{2 \pi}{T}=\frac{\pi}{2\left(t_{1}+t_{2}+\ldots+t_{n}\right)} .
\]

В случаях несимметричной характеристики необходимо продолжить определение отрезков времен $t_{i}$, соответствующих отрицательным значениям координаты $q$. Вычисления заканчиваются в момент времени, когда обращается в нуль скорость $\dot{q}$; сумма вычисленных таким образом отрезков времени равна полупериоду свободных колебаний.

Конечно, уже при трех-четырех участках аналитические выкладки становятся громоздкими и необходимо обращаться к машинному счету на ЭВМ.

Изложенный способ, в принципе, можно применить и в тех случаях, когда заданная характеристика жесткости криволинейная; для этого нужно заменить ее ломаной, составленной из достаточно большого числа прямолинейных отрезков. Поскольку для дальнейших выкладок потребуются ЭВМ, здесь уместно напомнить, что с помощью ЭВМ можно организовать и непосредственное вычисление частоты свободных колебаний по ранее полученному выражению (3.6).
П ример 3.1. Найти частоту малых свободных горизонтальных колебаний круглого однородного диска, упруго закрепленного при помощи пружины с вертикальной осью (рис. 3.4). Качение диска по горизонтальной плоскости происходит без скольжения. При вертикальном расположении оси пружины, т. е. в положении Рис. 3.4 равновесия, натяжение пружины равно нулю. Обозначения: $R$-радиус диска̄, $m$ – его масса, $l$ – длина пружины в недеформированном состоянии, $c_{0}$-ее коэффициент жесткости.

Принимая за обобщенную координату $x$ горизонтальное перемещение центра диска, находим кинетическую энергию:
\[
T=\frac{m \dot{x}^{2}}{2}+\frac{\dot{x}^{2}}{2 R^{2}}
\]

Подставляя $I=m R^{2} / 2$, находим
\[
T=\frac{3}{4} m \dot{x}^{2},
\]
т. е. инерционный коэффициент равен
\[
a=\frac{3}{2} m .
\]

Для определения потенциальной энергии пружины прежде всего найдем ее удлинение при горизонтальных отклонениях верхнего конца
\[
\Delta l=\sqrt{l^{2}+x^{2}}-l .
\]

Следовательно,
\[
\Pi=\frac{1}{2} c_{0}\left[\sqrt{l^{2}+x^{2}}-l\right]^{2} .
\]

Разлагая полученное выражение в ряд и удерживая один первый член разложения, находим
\[
\Pi=\frac{c_{0} x^{4}}{8 l^{2}} ;
\]

отсюда следует, что характеристика восстанавливающей силы ч исто кубическая:
\[
F(x)=\frac{\partial \Pi}{\partial x}=\frac{c_{0} x^{3}}{2 l^{2}} .
\]

Полученное выражение соответствует зависимости (3.7), в которой нужно положить $\beta=c_{0} /\left(2 l^{2}\right), n=2$. Теперь по формуле (3.8) и таблице значений $I_{*}(n)$ находим искомую частоту свободных колебаний диска:
\[
k=0,8472 \sqrt{\frac{c_{0}}{3 m}} \frac{A}{l}=0,4891 \sqrt{\frac{c_{0}}{m}} \frac{A}{l} .
\]

Пример 3.2. Найти способом поэтапного интегрирования связь между амплитудой и частотой свободных колебаний системы с зазором (рис. 3.2, б). Симметричная кусочно-линейная характеристика системы определяется уравнениями
\[
\begin{array}{l}
F(x)=c_{0}\left(x+A_{0}\right), \quad x<-A_{0}, \\
F(x)=0, \quad-A_{0}<x<A_{0}, \\
F(x)=c_{0}\left(x-A_{0}\right), \quad x>A_{0} .
\end{array}
\]

На первом участке при $x>A_{0}$ дифферепциальне уравнение движения имеет вид
\[
\ddot{x}+\frac{c_{0}}{m}\left(x-A_{0}\right)=0,
\]

и его общим решением служит выражение
\[
x=C_{1} \sin k_{0} t+C_{2} \cos k_{0} t+A_{0},
\]

в котором $k_{0}=\sqrt{c_{0} / m}$ ( $m$ – масса груза). Постоянные $C_{1}$ и $C_{2}$ определяются из начальных условий
\[
x(0)=A, \quad \dot{x}(0)=0
\]

и равны
\[
C_{1}=0, \quad C_{2}=A-A_{0} .
\]

Таким образом,
\[
\begin{array}{c}
x=A \cos k_{0} t+A_{0}\left(1-\cos k_{0} t\right), \\
\dot{x}=-\left(A-A_{0}\right) k_{0} \sin k_{0} t .
\end{array}
\]

Время $t_{1}$ прохождения первого участка найдем из условия, что цри $t=t_{1}$ должно быть $x=A_{0}$ :
\[
t_{1}=\frac{\pi}{2 k_{0}} .
\]

При этом скорость в конце первого этапа равна
\[
\dot{x}_{12}=-\left(A-A_{0}\right) k_{0} .
\]

Свободное движение на втором участке описывается дифференциальным уравнением
\[
m \ddot{x}=0,
\]
5 я. Г. Пановко

имеющим решение
\[
x=D_{1}+D_{2} t .
\]

Совмещая повое начало отсчета времени с моментом перехода системы с первого участка на второй, определяем постоянные $D_{1}$ п $D_{2}$ из условий, что $x=A_{0}, \dot{x}=-\left(A-A_{0}\right) k_{0}$ при $t=0$. Отсюда следует
\[
D_{1}=A_{0}, \quad D_{2}=-\left(A-A_{0}\right) k_{0},
\]

так что на втором этапе движения
\[
x=A_{0}-\left(A-A_{0}\right) k_{0} t .
\]

Теперь найдем время, необходимое для перехода системы из положения, характеризуемого координатой $x_{12}$, в положение, соответствующее координате $x=0$ :
\[
t_{2}=\frac{A_{0}}{\left(A-A_{0}\right) k_{0}} .
\]

Таким образом, частота свободных колебаний равна
\[
k=\frac{2 \pi}{t_{1}+t_{2}}=\frac{k_{0}}{1+\frac{2}{\pi\left(A / A_{0}-1\right)}} .
\]