Если трение в системе линейное, то в случае вынужденных колебаний дифференциальное уравнение (2.6) должно быть дополнено членом, выражающим действие вынуждающей силы; здесь примем ее в внде
\[
Q(t)=H \sin \omega t,
\]

так тто получится
\[
a \ddot{q}+b \dot{q}+c q=H \sin \omega t .
\]

Вводя прежние обозначения
\[
h=\frac{b}{2 a}, \quad k^{2}=\frac{c}{a},
\]

приходим к уравнению в следующей форме:
\[
\ddot{q}+2 h \dot{q}+k^{2} q=\frac{H}{a} \sin \omega t .
\]

Его общее решение имеет вид
\[
\begin{array}{l}
q=e^{-h t}\left(C_{1} \sin k_{*} t+C_{2} \cos k_{*} t\right)+ \\
+\frac{H}{a \sqrt{\left(k^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4 h^{2} \omega^{2}}} \sin (\omega t-\gamma),
\end{array}
\]

где
\[
k_{*}=\sqrt{k^{2}-h^{2}}
\]

есть частота затухающих колебаний системы, а угол $\gamma$, характеризующий отставание фазы перемещения от фа-

зы силы, определяется выражением
\[
\operatorname{tg} \gamma=\frac{2 h \omega}{k^{2}-\omega^{2}}
\]

постоянные $C_{1}$ и $C_{2}$ находятся из начальных условий.
Первая часть полученного решения представляет собой колебания с частотой $k_{*}$, которые с течением времени затухают и вскоре после вачала процесса становятся
Рис. 6.1

практически несущественными. Основное значение имеет вторая часть общего решения
\[
q=\frac{H}{a \sqrt{\left(k^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4 h^{2} \omega^{2}}} \sin (\omega t-\gamma),
\]

описывающая незатухающие установивпиеся колебания, происходящие с частотой возбуждения.

Постепенное установление стационарного колебательного процесса с частотой $\omega$ иллюстрировано на рис. 6.1 для трех случаев. В первом случае (рис. 6.1,a), когда $\omega \ll k$, в начале движения основные колебания частоты $\omega$ сопровождаются затухающими колебаниями большей частоты. В противоположном случае, когда $\omega \gg k$ (рис. 6.1,б) на основные колебания с частотой $\omega$ накладываются затухающие колебания с меньшей частотой $k$. Наконец, при близких значениях частот $k$ п движение носит характер биений, которые постепенно затухают (рис. 6.1, в).

Амплитуда устаповившихся колебаний определяется выражением
\[
A=\frac{H}{a \sqrt{\left(k^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4 h^{2} \omega^{2}}}=\frac{H}{c \sqrt{\left(1-\frac{\omega^{2}}{k^{2}}\right)^{2}+\frac{4 h^{2} \omega^{2}}{k^{4}}}} .
\]

Отношение амплитуды $A$ к статическому перемещепию $q_{\text {ст }}=H / c$ равно
\[
\mu=\frac{1}{\sqrt{\left(1-\frac{\omega^{2}}{k^{2}}\right)^{2}+\frac{4 h^{2} \omega^{2}}{k^{4}}}}
\]

п представляет собой коэффициент динамичности. Зависпмость коәффнцента динамичности от отношения частот $\omega / k$ показана на рис. $6.2, a$ для различных значений $2 h / k$, характеризующих демифирующее действие линейного трения; эти графики дополняот рис. 5.5 , который относится к системам без трения.

Максимумы кривых $\mu(\omega / k)$ липь незначительно смещепы влево от значения $\omega / k=1$; поэтому резонансные значения динамического коэффициепта обычно определяют при $\omega=k$ по выражению
\[
\mu_{\text {рез }}=\frac{k}{2 h} .
\]

Согласно (2.12) это значение выражается через логарифмический декремент:
\[
\mu_{\mathrm{pe} 3}=\frac{\pi}{\Lambda} .
\]

Ипогда резонанспое значевие коэффициента динамичности называют добротностыю системы: чем больпе добротность, тем острее резонансный пик.

Рис, 6.2

В этом параграфе выше предполагалось, что амплитуда вынуждающей силы имеет заданное постоянное значение, не зависящее от частоты $\omega$. Если амплитуда $H$ вынуждающей силы пропорциональна квадрату .qастоты $\left(H=K \omega^{2}\right)$, то, подобно (6.9), находим
\[
A=\frac{K \omega^{2}}{a k^{2} \sqrt{\left(1-\frac{\omega^{2}}{k^{2}}\right)^{2}+\frac{4 h^{2} \omega^{2}}{k^{4}}}} .
\]

На рис. 6.2,б показаны графики зависимости относительной амплитуды $A a / K$ от значений $\omega / k$ при различных значениях отношения $2 h / k$.

Пример 6.1. Вертикальная вынуждающая сила (6.1) действует на тело массы $m$, которое оперто на систему пружин и вязких демпферов (рис. 6.3,a); c-коэффициент жесткости системы пружин; $b$ – коэффициент вязкости демпферов. Определить
Рис. 6.3

амплитуду силы, передаваемой на основание пружинами и демпферами при установившихся вынужденных колебаниях системы. Искомая сила, передаваемая на основание, определяется выражением
\[
N=b \dot{q}+c q,
\]

в котором $q$ – вертикальное перемещение тела, отсчитываемое от состояния равновесия.
Подставляя сюда согласно (6.8)-(6.10)
\[
q=\frac{\mu H}{c} \sin (\omega t-\gamma)
\]

получаем после замены $b=2 h c / k^{2}$
\[
N=\mu H\left[\sin (\omega t-\gamma)+\frac{2 h \omega}{k^{2}} \cos (\omega t-\gamma)\right] .
\]

Максимальное значение силы $N$ равно
\[
N_{\max }=\mu H \sqrt{1+\frac{4 h^{2} \omega^{2}}{k^{4}}} .
\]

Безразмерное отношение $N_{\max } / H$, называемое коэффициентом neредачи силы, определяет, во сколько раз наибольшая сила, передаваемая основанию, больше амплитуды заданной вынуждающей силы; оно равно
\[
\mu_{*}=\frac{N_{\max }}{H}=\mu \sqrt{1+\frac{4 h^{2} \omega^{2}}{k^{4}}}=\sqrt{\frac{1+\frac{4 h^{2} \omega^{2}}{k^{4}}}{\left(1-\frac{\omega^{2}}{k^{2}}\right)^{2}+\frac{4 h^{2} \omega^{2}}{k^{4}}}} .
\]

На рис. 6.3, б изображен график зависимости коэффициента передачи силы от отношения $\omega / k$ при различных значениях $2 \mathrm{~h} / \mathrm{k}$. Полезно заметить, что все кривые, независимо от коэффициента вязкости $h$, пересекаются в точке с координатами $(\sqrt{2} ; 1)$; при $\omega / k<\sqrt{2}$ вязкость демпферов способствует снижению общей силы, передаваемой на основание, а при $\omega / k>\sqrt{2}$ (как это бывает в хорошо амортизированных системах) – әту силу увеличивает.