Если трение в системе линейное, то в случае вынужденных колебаний дифференциальное уравнение (2.6) должно быть дополнено членом, выражающим действие вынуждающей силы; здесь примем ее в внде
$$Q(t)=H\sin \omega t,$$

так тто получится
$$a\ddot{q}+b\dot{q}+cq=H\sin \omega t.$$

Вводя прежние обозначения
$$h=\frac{b}{2a},k^2=\frac{c}{a},$$

приходим к уравнению в следующей форме:
$$\ddot{q}+2h\dot{q}+k^{2}q=\frac{H}{a}\sin \omega t.$$

Его общее решение имеет вид
$$\begin{array}{l}q=e^{-ht}(C_1\sin k_{\ast }t+C_2\cos k_{\ast }t)+\\ +\frac{H}{a\sqrt{{(k^2-{\omega }^2)}^2+4h^2{\omega }^2}}\sin (\omega t-\gamma ),\end{array}$$

где
$$k_{\ast }=\sqrt{k^2-h^2}$$

есть частота затухающих колебаний системы, а угол $\gamma$, характеризующий отставание фазы перемещения от фа-

зы силы, определяется выражением
$$\mathrm{tg}\gamma =\frac{2h\omega }{k^2-{\omega }^2}$$

постоянные $C_1$ и $C_2$ находятся из начальных условий.
Первая часть полученного решения представляет собой колебания с частотой $k_{\ast }$, которые с течением времени затухают и вскоре после вачала процесса становятся
Рис. 6.1

практически несущественными. Основное значение имеет вторая часть общего решения
$$q=\frac{H}{a\sqrt{{(k^2-{\omega }^2)}^2+4h^2{\omega }^2}}\sin (\omega t-\gamma ),$$

описывающая незатухающие установивпиеся колебания, происходящие с частотой возбуждения.

Постепенное установление стационарного колебательного процесса с частотой $\omega$ иллюстрировано на рис. 6.1 для трех случаев. В первом случае (рис. 6.1,a), когда $\omega \ll k$, в начале движения основные колебания частоты $\omega$ сопровождаются затухающими колебаниями большей частоты. В противоположном случае, когда $\omega \gg k$ (рис. 6.1,б) на основные колебания с частотой $\omega$ накладываются затухающие колебания с меньшей частотой $k$. Наконец, при близких значениях частот $k$ п движение носит характер биений, которые постепенно затухают (рис. 6.1, в).

Амплитуда устаповившихся колебаний определяется выражением
$$A=\frac{H}{a\sqrt{{(k^2-{\omega }^2)}^2+4h^2{\omega }^2}}=\frac{H}{c\sqrt{{(1-\frac{{\omega }^2}{k^2})}^2+\frac{4h^2{\omega }^2}{k^4}}}.$$

Отношение амплитуды $A$ к статическому перемещепию $q_{\text{ст }}=H/c$ равно
$$\mu =\frac{1}{\sqrt{{(1-\frac{{\omega }^2}{k^2})}^2+\frac{4h^2{\omega }^2}{k^4}}}$$

п представляет собой коэффициент динамичности. Зависпмость коәффнцента динамичности от отношения частот $\omega /k$ показана на рис. $6.2,a$ для различных значений $2h/k$, характеризующих демифирующее действие линейного трения; эти графики дополняот рис. 5.5 , который относится к системам без трения.

Максимумы кривых $\mu (\omega /k)$ липь незначительно смещепы влево от значения $\omega /k=1$; поэтому резонансные значения динамического коэффициепта обычно определяют при $\omega =k$ по выражению
$${\mu }_{\text{рез }}=\frac{k}{2h}.$$

Согласно (2.12) это значение выражается через логарифмический декремент:
$${\mu }_{\mathrm{pe}3}=\frac{\pi }{\mathrm{\Lambda }}.$$

Ипогда резонанспое значевие коэффициента динамичности называют добротностыю системы: чем больпе добротность, тем острее резонансный пик.

Рис, 6.2

В этом параграфе выше предполагалось, что амплитуда вынуждающей силы имеет заданное постоянное значение, не зависящее от частоты $\omega$. Если амплитуда $H$ вынуждающей силы пропорциональна квадрату .qастоты $(H=K{\omega }^2)$, то, подобно (6.9), находим
$$A=\frac{K{\omega }^2}{a{k}^2\sqrt{{(1-\frac{{\omega }^2}{k^2})}^2+\frac{4h^2{\omega }^2}{k^4}}}.$$

На рис. 6.2,б показаны графики зависимости относительной амплитуды $Aa/K$ от значений $\omega /k$ при различных значениях отношения $2h/k$.

Пример 6.1. Вертикальная вынуждающая сила (6.1) действует на тело массы $m$, которое оперто на систему пружин и вязких демпферов (рис. 6.3,a); c-коэффициент жесткости системы пружин; $b$ — коэффициент вязкости демпферов. Определить
Рис. 6.3

амплитуду силы, передаваемой на основание пружинами и демпферами при установившихся вынужденных колебаниях системы. Искомая сила, передаваемая на основание, определяется выражением
$$N=b\dot{q}+cq,$$

в котором $q$ — вертикальное перемещение тела, отсчитываемое от состояния равновесия.
Подставляя сюда согласно (6.8)-(6.10)
$$q=\frac{\mu H}{c}\sin (\omega t-\gamma )$$

получаем после замены $b=2hc/k^2$
$$N=\mu H[\sin (\omega t-\gamma )+\frac{2h\omega }{k^2}\cos (\omega t-\gamma )].$$

Максимальное значение силы $N$ равно
$$N_{max}=\mu H\sqrt{1+\frac{4h^2{\omega }^2}{k^4}}.$$

Безразмерное отношение $N_{max}/H$, называемое коэффициентом neредачи силы, определяет, во сколько раз наибольшая сила, передаваемая основанию, больше амплитуды заданной вынуждающей силы; оно равно
$${\mu }_{\ast }=\frac{N_{max}}{H}=\mu \sqrt{1+\frac{4h^2{\omega }^2}{k^4}}=\sqrt{\frac{1+\frac{4h^2{\omega }^2}{k^4}}{{(1-\frac{{\omega }^2}{k^2})}^2+\frac{4h^2{\omega }^2}{k^4}}}.$$

На рис. 6.3, б изображен график зависимости коэффициента передачи силы от отношения $\omega /k$ при различных значениях $2\mathrm{h}/\mathrm{k}$. Полезно заметить, что все кривые, независимо от коэффициента вязкости $h$, пересекаются в точке с координатами $(\sqrt{2};1)$; при $\omega /k<\sqrt{2}$ вязкость демпферов способствует снижению общей силы, передаваемой на основание, а при $\omega /k>\sqrt{2}$ (как это бывает в хорошо амортизированных системах) — әту силу увеличивает.