а) Задача о дивергепции. Рассмотрим жесткую тонкую пластинку, упруго опертую вдоль левого края и шарнирно опертую вдоль правого края. Пластинка находится в

Рис. 12.1 потоке газа (жидкости), скорость $v$ которого направлена вдоль срединной плоскости пластинки в невозмущенном состоянии равновесия (рис. 12.1). В этом положении аэродинамические силы равны нулю (если пренебречь весьма малой силой трения потока о поверхность пластинки) и пластинка находится в равновесии под действием силы тяжести и реакций опор. Найти крнтическую скорость потока.

При отклонении пластинки возникают аэродинамические давления, зависящие от угла отклонения $\varphi$. Coответствующие количественные закономерности устанавливаются в аәрогидродинамике: мы приведем их в готовом виде. Равнодействующую давлений можно разложить на составляющие (лобовое сопротивление и подъемиую силу)
\[
X=k_{x} \frac{\rho v^{2}}{2} l \varphi, \quad Y=k_{y} \frac{\rho v^{2}}{2} l \varphi,
\]

здесь $k_{x}, k_{y}$ – постоянные аэродинамические коэффициен-

ты, $\rho$ – плотность газа, $l$ – размер пластинки вдоль потока (перпендикулярный плоскости рисунка размер принят равным единице). Точка приложения равнодействующей аэродинамических давлений находится на расстоянши $b$ от оси шарнира, которое приближенно будем считать не зависящим от угла $\varphi$. Момент сил, возникающих при отклонении пластинки относительно оси шарнира, равен
\[
M=-c_{0} l^{2} \varphi+X b \varphi+Y b,
\]

где $c_{0}$ – коэффициент жесткости упругой опоры. Подставляя сюда (12.1), получаем
\[
M=-c_{0} l^{2} \varphi+k_{x} \frac{\rho v^{2}}{2} b l \varphi^{2}+k_{y} \frac{\rho v^{2}}{2} b l \varphi .
\]

Обозначим через $I$ момент инерции пластинки относительно оси парнира; тогда дифференциальным уравнением движения будет
\[
\ddot{I} \ddot{\varphi}+\left(c_{0} l-k_{y} \frac{\rho v^{2}}{2} b\right) l \varphi=0
\]
(слагаемое, определяющее момент силы $X$, опущено как имеющее второй порядок малости).
Условие устойчивости имеет вид
\[
c_{0} l-k_{x} \frac{\rho v^{2}}{2} b>0,
\]

а критическое значение скорости равно
\[
v_{\mathrm{rp}}=\sqrt{\frac{2 c_{0} l}{k_{y} \rho b}} ;
\]

отсюда, в частности, можно видеть, что с увеличением коэффициента жесткости упругой опоры критическая скорость увеличивается. Задачи этого типа относятся к теории аэрогидроупругости; рассмотренное явление потери устойчивости называется дивергенцией, а выражение (12.2) определяет скорость дивергенции. В приведенном решении явление существенно схематизировано.
б) «Отрицательное трение». Всюду выше, где учитывалось наличие зависящих от скоростей сил, мы считали эти силы диссипативныли; будучи направленными противоположно соответствующим скоростям, они способсствют демпфированию колебаний. Однако в некоторых механических системах развиваются силы, также зависящие от скоростей, но совпадающие с ними по направлению. Такие силы оказывают дестабилизирующее действие и способствуют раскачке колебаний, а не их демпфированию; иногда силы этого типа называют силами «отрицательного трения».

Прежде всего остановимся на формальной стороне вопроса и положим, что кроме восстанавливающих сил действуют силы, линейно зависящие от скорости и совпадаощие с ней по направлению. Тогда вместо (2.6) имеем дифференциальное уравнение
\[
a \ddot{q}-b \dot{q}+c q=0
\]
$(b>0)$. Прп прежних обозначениях
\[
\frac{b}{2 a}=h, \frac{c}{a}=k^{2}, \frac{c}{a}-h^{2}=k_{*}^{2}
\]

решение дифференциального уравнения (12.3) запишется, подобно (2.9), в форме
\[
q=e^{h t}\left(\frac{\dot{q}_{0}-q_{0} h}{k_{*}} \sin k_{*} t+q_{0} \cos k_{*} t\right),
\]

где постоянные интегрирования выражены через начальные возмущения. Отсюда видно, что при сколь угодно малых начальных везмущениях $q_{0}$ п $\dot{q}_{0}$ возникнут колебания, амплитуды которых будут возрастать по показательному закону (рис. 12.2 , a), т. е. состояние равновесия системы неустойчиво. На рис. 12.2, б показана фазовая диаграмма; в этом случае состоянию равновесия соответствует особая точка типа неустойчивый фокус. При весьма большом трении (большем критического) фазовая диаграмма принимает вид, показанный на рис. 12,2, ; начало координат представляет собой особую точку типа неустойчивый узел.

Примером механической системы, в которой при колебаниях может возникнуть сила отрицательного трения, служит система, показанная на рис. $12.3, a$. Она состопт Iіз тела 1 , упруго закрепленного на пружинах 2 , и барабана 3, который прижат к телу и вращается с постоянной угловой скоростью. Между барабаном и телом действует сила сухого трения $R$, характеристика которой показана на рис. 12.3 , б. В отличие от обытной схематизации, эта характеристика отражает реально наблюдаемое влияние значения скорости скольжения на значение

силы трения. Отметим, что в первом гвадранте характеристика состоит из двух участков: падающего при $0<v<v_{*}$ п восходящего при $v>v_{*}$.
Рис. 12.2
Рис. 12.3
Пусть скорость скольжения при покое тела 1 равна $v_{0}$; ей соответствует сила трения $R_{0}$. Из уравненія равновесия
\[
R_{0}-c x_{0}=0
\]

можно определить укорочение пружин в равновесном состоянии системы:
\[
x_{0}=R_{0} / c .
\]

Рассмотрим теперь движение тела около этого состояния равновесия и обозначим через $x$ дополнительное перемещение тела. При этом скорость скольжения перестает быть постоянной величиной и выражается разностью
\[
v=v_{0}-\dot{x}
\]

которая определяет также переменную силу трения $R$, отличающуюся от номинального значения $R_{0}$. При малых колебаниях, когда скорость $\dot{x}$ мала по сравнению с $v_{0}$, можно принять
\[
R=R_{0}-R_{0}^{\prime} \dot{x} \quad\left(R_{0}^{\prime}=\left.\frac{d R}{d v}\right|_{v_{0}}\right) .
\]

Дифференциальное уравнение движения тела запишется в виде
\[
R-c\left(x_{0}+x\right)=m \ddot{x}
\]

иин, с учетом (12.4) и (12.5),
\[
m \ddot{x}+R_{0}^{\prime} \dot{x}+c x=0 .
\]

Отсюда видно, что при $v>v_{*}$, когда $R_{0}^{\prime}>0$, колебания будут затухающими; если же $v<v_{*}$, то $R_{0}^{\prime}<0$ и уравнение (12.6) принимает вид (12.3). Таким образом, если $v_{0}>v_{*}$, то состояние равновесия устойчиво; если же $v_{0}<v_{*}$, то после любого сколь угодно малого возмущения в системе происходит самовозбуждение колебаний.

Следует иметь в виду, что наше решение определяет лишь начальную тенденцию возмущенного движения. C возрастанием амплитуд колебаний линеаризованное представление силы трения (12.5) будет становиться все менее точным, и для полного анализа всего последующего процесса необходимо учитывать действительную нелинейность силы трения; об этом см. ниже § 13.