а) Задача о дивергепции. Рассмотрим жесткую тонкую пластинку, упруго опертую вдоль левого края и шарнирно опертую вдоль правого края. Пластинка находится в

Рис. 12.1 потоке газа (жидкости), скорость $v$ которого направлена вдоль срединной плоскости пластинки в невозмущенном состоянии равновесия (рис. 12.1). В этом положении аэродинамические силы равны нулю (если пренебречь весьма малой силой трения потока о поверхность пластинки) и пластинка находится в равновесии под действием силы тяжести и реакций опор. Найти крнтическую скорость потока.

При отклонении пластинки возникают аэродинамические давления, зависящие от угла отклонения $\phi$. Coответствующие количественные закономерности устанавливаются в аәрогидродинамике: мы приведем их в готовом виде. Равнодействующую давлений можно разложить на составляющие (лобовое сопротивление и подъемиую силу)
$$X=k_x\frac{\rho v^2}{2}l\phi ,Y=k_y\frac{\rho v^2}{2}l\phi ,$$

здесь $k_x,k_y$ — постоянные аэродинамические коэффициен-

ты, $\rho$ — плотность газа, $l$ — размер пластинки вдоль потока (перпендикулярный плоскости рисунка размер принят равным единице). Точка приложения равнодействующей аэродинамических давлений находится на расстоянши $b$ от оси шарнира, которое приближенно будем считать не зависящим от угла $\phi$. Момент сил, возникающих при отклонении пластинки относительно оси шарнира, равен
$$M=-c_0{l}^2\phi +Xb\phi +Yb,$$

где $c_0$ — коэффициент жесткости упругой опоры. Подставляя сюда (12.1), получаем
$$M=-c_0{l}^2\phi +k_x\frac{\rho v^2}{2}bl{\phi }^2+k_y\frac{\rho v^2}{2}bl\phi .$$

Обозначим через $I$ момент инерции пластинки относительно оси парнира; тогда дифференциальным уравнением движения будет
$$\ddot{I}\ddot{\phi }+(c_{0}l-k_y\frac{\rho v^2}{2}b)l\phi =0$$
(слагаемое, определяющее момент силы $X$, опущено как имеющее второй порядок малости).
Условие устойчивости имеет вид
$$c_{0}l-k_x\frac{\rho v^2}{2}b>0,$$

а критическое значение скорости равно
$$v_{\mathrm{rp}}=\sqrt{\frac{2c_{0}l}{k_y\rho b}};$$

отсюда, в частности, можно видеть, что с увеличением коэффициента жесткости упругой опоры критическая скорость увеличивается. Задачи этого типа относятся к теории аэрогидроупругости; рассмотренное явление потери устойчивости называется дивергенцией, а выражение (12.2) определяет скорость дивергенции. В приведенном решении явление существенно схематизировано.
б) «Отрицательное трение». Всюду выше, где учитывалось наличие зависящих от скоростей сил, мы считали эти силы диссипативныли; будучи направленными противоположно соответствующим скоростям, они способсствют демпфированию колебаний. Однако в некоторых механических системах развиваются силы, также зависящие от скоростей, но совпадающие с ними по направлению. Такие силы оказывают дестабилизирующее действие и способствуют раскачке колебаний, а не их демпфированию; иногда силы этого типа называют силами «отрицательного трения».

Прежде всего остановимся на формальной стороне вопроса и положим, что кроме восстанавливающих сил действуют силы, линейно зависящие от скорости и совпадаощие с ней по направлению. Тогда вместо (2.6) имеем дифференциальное уравнение
$$a\ddot{q}-b\dot{q}+cq=0$$
$(b>0)$. Прп прежних обозначениях
$$\frac{b}{2a}=h,\frac{c}{a}=k^2,\frac{c}{a}-h^2=k_{\ast }^2$$

решение дифференциального уравнения (12.3) запишется, подобно (2.9), в форме
$$q=e^{ht}(\frac{{\dot{q}}_0-q_{0}h}{k_{\ast }}\sin k_{\ast }t+q_0\cos k_{\ast }t),$$

где постоянные интегрирования выражены через начальные возмущения. Отсюда видно, что при сколь угодно малых начальных везмущениях $q_0$ п ${\dot{q}}_0$ возникнут колебания, амплитуды которых будут возрастать по показательному закону (рис. 12.2 , a), т. е. состояние равновесия системы неустойчиво. На рис. 12.2, б показана фазовая диаграмма; в этом случае состоянию равновесия соответствует особая точка типа неустойчивый фокус. При весьма большом трении (большем критического) фазовая диаграмма принимает вид, показанный на рис. 12,2, ; начало координат представляет собой особую точку типа неустойчивый узел.

Примером механической системы, в которой при колебаниях может возникнуть сила отрицательного трения, служит система, показанная на рис. $12.3,a$. Она состопт Iіз тела 1 , упруго закрепленного на пружинах 2 , и барабана 3, который прижат к телу и вращается с постоянной угловой скоростью. Между барабаном и телом действует сила сухого трения $R$, характеристика которой показана на рис. 12.3 , б. В отличие от обытной схематизации, эта характеристика отражает реально наблюдаемое влияние значения скорости скольжения на значение

силы трения. Отметим, что в первом гвадранте характеристика состоит из двух участков: падающего при $0<v<v_{\ast }$ п восходящего при $v>v_{\ast }$.
Рис. 12.2
Рис. 12.3
Пусть скорость скольжения при покое тела 1 равна $v_0$; ей соответствует сила трения $R_0$. Из уравненія равновесия
$$R_0-c{x}_0=0$$

можно определить укорочение пружин в равновесном состоянии системы:
$$x_0=R_0/c.$$

Рассмотрим теперь движение тела около этого состояния равновесия и обозначим через $x$ дополнительное перемещение тела. При этом скорость скольжения перестает быть постоянной величиной и выражается разностью
$$v=v_0-\dot{x}$$

которая определяет также переменную силу трения $R$, отличающуюся от номинального значения $R_0$. При малых колебаниях, когда скорость $\dot{x}$ мала по сравнению с $v_0$, можно принять
$$R=R_0-R_0^{\prime }\dot{x}(R_0^{\prime }={\frac{dR}{dv}|}_{v_0}).$$

Дифференциальное уравнение движения тела запишется в виде
$$R-c(x_0+x)=m\ddot{x}$$

иин, с учетом (12.4) и (12.5),
$$m\ddot{x}+R_0^{\prime }\dot{x}+cx=0.$$

Отсюда видно, что при $v>v_{\ast }$, когда $R_0^{\prime }>0$, колебания будут затухающими; если же $v<v_{\ast }$, то $R_0^{\prime }<0$ и уравнение (12.6) принимает вид (12.3). Таким образом, если $v_0>v_{\ast }$, то состояние равновесия устойчиво; если же $v_0<v_{\ast }$, то после любого сколь угодно малого возмущения в системе происходит самовозбуждение колебаний.

Следует иметь в виду, что наше решение определяет лишь начальную тенденцию возмущенного движения. C возрастанием амплитуд колебаний линеаризованное представление силы трения (12.5) будет становиться все менее точным, и для полного анализа всего последующего процесса необходимо учитывать действительную нелинейность силы трения; об этом см. ниже § 13.