На рис. $16.2, a$ показан сжатый, потерявший устойчивость упругий стержень, па который действует в поперечном направлении вынуждающая сила $p \sin \omega t$. Если амплитуда этой силы мала, то стержень будет совершать малые колебания около показанного на рисунке изогнутого положения. В противоположность этому, если амплитуда силы весьма значительна, то установятся большие колебания – такие, что в течение одного цикла стержень будет проходить все три положения равновесия: 1) изображенное на рисунке сплошной линией; 2) положение, симметричное первому (при прогибе стержня вверх); 3) среднее положение, отмеченное па рисунке штриховой
Рис. 16.2
линией. Обнаружено, что в некотором промежутке значений $P_{1}<P<P_{2}$ колебания носят хаотический характер, а в фазовом пространстве системы существует странный аттрактор (при $P>P_{2}$ колебания вновь приобретают упорядоченный характер). Эти результаты не только были найдены путем вычислений, но получили подтверждение на специальной экспериментальной установке (см. [33]). Совершенно теми же свойствами обладает система, показанная на рис. 16.2 , б. Упругая пружина в изображенном на рисунке недеформированном состоянии имеет длину $l$, большую $h$, так что система обладает тремя положениями равновесия. Система испытывает действие мгновенных импульсов $S$, прикладываемых к грузу с периодом T. Дифференциальное уравнение движения груза вдоль горизонтальной направляющей имеет вид
\[
m \ddot{x}+k \dot{x}+c(a-x)\left[\frac{l}{\sqrt{(a-x)^{2}+h^{2}}}-1\right]=\sum_{n=1}^{\infty} S \delta(t-n T) .
\]

Здесь обозначено: $m$ – масса груза, $x$ – его координата, отсчитываемая от изображенного на рис. 16.2 , б положенпя равновесия, $k$ – коэффициент линейного трения между грузом и направляющей, $c$ – коэффициент жесткости тальное направление.

Отметим, что при малых отклонениях груза от положения равновесия, когда $x \ll a$, уравнение допускает линеаризацию и принимает вид
\[
m \ddot{x}+k \dot{x}+\frac{c a^{2} x}{l^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty} S \delta(t-n T) .
\]

Подробный анализ здижения после решения дифференциального уравнения (16.1) на ЭВМ приводит к следующим заключениям. При малых значениях $S$ происходят малые колебания вблизи показанного на рисунке положения равновесия, затем в некотором диапазоне значений $S$ колебания носят хаотический характер, а при еще бо́льших значениях импульса вновь устанавливаются периодические колебания, но очень большой амплитуды.

Еще один пример системы, в фазовом пространстве которой возможен странный аттрактор, показан на рис. 16.2, в. Она представляет собой свободно вращающийся на оси массивный ротор, к фиксированной точке которого с заданным периодом $T$ прикладываются горизонтальные мгновенные конечные импульсы $S$. Пусть непосредственно перед $n$-м ударом положение ударяемой точки определяется углом $\varphi_{n}$, а угловая скорость ротора равна $\omega_{n}$. Вследствие приложения импульса угловая скорость приобретает мгновенное приращение ( $S R / I) \sin \varphi_{n}$ (I-момент инерции ротора относительно оси вращения) и перед:
$16^{*}$

$(n+1)$-м ударом состояние ротора будет определяться углом $\varphi_{n+1}$ и угловой скоростью $\omega_{n+1}$ :
\[
\varphi_{n+1}=\varphi_{n}+\omega_{n+1} T, \omega_{n+1}=\omega_{n}+(S R / I) \sin \varphi_{n} .
\]

С помощью этих рекуррентных соотношений можно проследить развитие процесса во времени. Как установлено, в определенном (довольно узком) диапазоне значений $S R / I$ значения $\omega_{n}$ образуют хаотическую последовательность, причем хаотизации движения не могут помешать силы трения, хотя соответствующий диапазон значений $S R / I$ окажется несколько иным.