Между амплитудами $A_{rn}$ и $A_{rm}$, определяющими две какие-либо собственные формы ( $n$ и $m$ ), существует соотношение, выражающее важное свойство ортогональности собственных форм. Установим это соотношение исходя из общей формы уравнсний (4.28) для амплитуд. При $k^2=k_n^2$ какаялибо $j$-я строка этой системы, записанная для $n$-й частоты, может быть представлена в впде
$$k_n^2\sum _{r=1}^s{a}_{jr}{A}_{rn}=\sum _{r=1}^s{c}_{jr}{A}_{rn}(j=1,2,\dots ,s).$$

Умножив равенство (4.57) на амплитуду $A_{jm}$ и сложив все уравнения, получим
$$k_n^2\sum _{j=1}^s{A}_{jm}\sum _{r=1}^s{a}_{jr}{A}_{rn}=\sum _{j=1}^s{A}_{jm}\sum _{r=1}^s{c}_{jr}{A}_{rn},$$

или, после изменения порядка суммирования в обеих частях равенства,
$$k_n^2\sum _{r=1}^s{A}_{rn}\sum _{j=1}^s{a}_{jr}{A}_{im}=\sum _{r=1}^s{A}_{rn}\sum _{j=1}^s{c}_{jr}{A}_{jm}.$$

Так как $c_{jr}=c_{rj}$, можно записать
$$\sum _{j=1}^s{c}_{jr}{A}_{jm}=\sum _{j=1}^s{c}_{rj}{A}_{jm}.$$

Но согласно (4.57)
$$\sum _{j=1}^s{c}_{rj}{A}_{jm}=k_m^2\sum _{j=1}^s{a}_{rj}{A}_{jm},$$

следовательно, соотношение (4.59) принимает вид
$$k_n^2\sum _{r=1}^s{A}_{rn}\sum _{l=1}^s{a}_{jr}{A}_{jm}=k_m^2\sum _{r=1}^s{A}_{rn}\sum _{j=1}^s{a}_{jr}{A}_{jm}$$
(при записи правой части мы воспользовались равенством $a_{rj}=a_{jr}$ ). Но, поскольку частоты $k_n$ и $k_m$ различны, из равенства (4.62) следует
$$\sum _{r=1}^s{A}_{rn}\sum _{j=1}^s{a}_{jr}{A}_{jm}=0.$$

Последнее соотношение выражает свойство ортогональности любых двух $n$-й и $m$-й собственных форм.

Свойство ортогональности, выраженное соотношением (4.63), формулируется более компактно в случаях, когда $a_{jr}=0$ при $jeqr$. Именно в такой форме обычно получаются инерционные коәффиценты шри пснользовани прямого способа составления дифференциальны уравнений. При этом соотношение (4.63) упрощается и принимает вид (вместо $a_{rr}$ достаточно писать $a_r$ )
$$\sum _{r=1}^s{a}_r{A}_{rm}{A}_{rn}=0.$$

Согласно (4.59) вместо (4.63) можно также записать
$$\sum _{r=1}^s{A}_{rn}\sum _{j=1}^s{c}_{jr}{A}_{jm}=0.$$

Есліл $c_{jr}=0$ при $jeqr$, как это получается по обратному способу, то соотнопение (4.65) упрощается:
$$\sum _{r=1}^n{c}_r{A}_{rm}{A}_{rn}=0.$$

Отметим, что люо́ую конфигурацию системы можно разложить по собственным формам колебаний; это свойство окажется полезным при изучении вынужденных колебарний.

Пусть некоторая мгновенная конфигурация спстемы описывастся совокупностью значений обобщенных координат $B_1,B_2,\dots ,B_s$; для этих значений можно записать
$$B_j=d_1{A}_{j1}+d_2{A}_{j2}+\dots +d_s{A}_{js}(j=1,2,\dots ,s)$$

и рассматривать (4.67) как систему уравнепий, определяющих козффициенты линейного преобразования $d_1,d_2,\dots ,d_s$. Для того чтобы найті эти коэффициенты, нет необходимости решать систему (4.67), удобнее воспользоваться свойством ортогональности собственных форм. Имея в виду случаи, для которых указанное свойство формулируется в виде (4.65), умножим каждую строку системы (4.67) на соответствующее ее номеру $j$ произведоние $a_j{A}_{jm}$ ( $m$ — номер искомого коэффициента $d_m$ ), а затем сложим все строки. Тогда в левой части образуется сумма $\sum _{j=1}^s{B}_j{a}_j{A}_{jm}$, а в правой тасти — сумма вида
$$d_1\sum _{j=1}^s{a}_j{A}_{j1}{A}_{jm}+d_2\sum _{j=1}^s{a}_j{A}_{j2}{A}_{jm}+\dots +d_s\sum _{j=1}^s{a}_j{A}_{js}{A}_{jm}.$$

Согласно (4.65) среди этих тленов отличен от нуля только член $d_m\sum _{j=1}^s{a}_j{A}_{jm}^2$, і в результате мы получаем компактное выражение
$$d_m=\frac{\sum _{j=1}^s{a}_j{B}_j{A}_{jm}}{\sum _{j=1}^s{a}_j{A}_{jm}^2}.$$

Пример 4.4. Найти собственные формы для системы, рассмотренной в примерах 4.1 и 4.2 .

Для определения собственных форм образуем отношение $A_2:A_1$ из первого уравнения, данного в примере 4.2 (стр. 86):
$$\frac{A_2}{A_1}=\frac{1-\frac{m{l}^3}{3EJ}{k}^2}{m{\rho }^2\frac{l^2}{2EJ}{k}^2}.$$

Подставив сюда поочередно найденные выше значепия $k_1^2$ п $k_2^2$, получим
$$x_{21}=\frac{A_{21}}{A_{11}}\approx \frac{3}{2l},x_{22}=\frac{A_{22}}{A_{12}}\approx -\frac{2l}{3{\rho }^2}.$$

Эти отношения характеризуют обе собствепвые формы (рис. 4.7, $a,6$ ). Как видно из рисунка, первая собственная форма характеризуется сравнительно малым углом поворота груза, а вторая форма — относительно небольшим прогибом конда.

Можно убедиться в ортогональности этих форм. Подставим в условие ортогональности (4.64) $a_1=m,a_2=m{\rho }^2$, а также най-
Рис. 4.7 депные отношения $A_{21}/A_{11},A_{22}/A_{12}$. Тогда получим
$$\begin{array}{l}m{A}_{11}{A}_{12}+m{\rho }^2{A}_{21}{A}_{22}=\\ =m{A}_{11}{A}_{12}[1+{\rho }^2\frac{3}{2l}(-\frac{2l}{3{\rho }^2})]=0.\end{array}$$