Между амплитудами $A_{r n}$ и $A_{r m}$, определяющими две какие-либо собственные формы ( $n$ и $m$ ), существует соотношение, выражающее важное свойство ортогональности собственных форм. Установим это соотношение исходя из общей формы уравнсний (4.28) для амплитуд. При $k^{2}=k_{n}^{2}$ какаялибо $j$-я строка этой системы, записанная для $n$-й частоты, может быть представлена в впде
\[
k_{n}^{2} \sum_{r=1}^{s} a_{j r} A_{r n}=\sum_{r=1}^{s} c_{j r} A_{r n} \quad(j=1,2, \ldots, s) .
\]

Умножив равенство (4.57) на амплитуду $A_{j m}$ и сложив все уравнения, получим
\[
k_{n}^{2} \sum_{j=1}^{s} A_{j m} \sum_{r=1}^{s} a_{j r} A_{r n}=\sum_{j=1}^{s} A_{j m} \sum_{r=1}^{s} c_{j r} A_{r n},
\]

или, после изменения порядка суммирования в обеих частях равенства,
\[
k_{n}^{2} \sum_{r=1}^{s} A_{r n} \sum_{j=1}^{s} a_{j r} A_{i m}=\sum_{r=1}^{s} A_{r n} \sum_{j=1}^{s} c_{j r} A_{j m} .
\]

Так как $c_{j r}=c_{r j}$, можно записать
\[
\sum_{j=1}^{s} c_{j r} A_{j m}=\sum_{j=1}^{s} c_{r j} A_{j m} .
\]

Но согласно (4.57)
\[
\sum_{j=1}^{s} c_{r j} A_{j m}=k_{m}^{2} \sum_{j=1}^{s} a_{r j} A_{j m},
\]

следовательно, соотношение (4.59) принимает вид
\[
k_{n}^{2} \sum_{r=1}^{s} A_{r n} \sum_{l=1}^{s} a_{j r} A_{j m}=k_{m}^{2} \sum_{r=1}^{s} A_{r n} \sum_{j=1}^{s} a_{j r} A_{j m}
\]
(при записи правой части мы воспользовались равенством $a_{r j}=a_{j r}$ ). Но, поскольку частоты $k_{n}$ и $k_{m}$ различны, из равенства (4.62) следует
\[
\sum_{r=1}^{s} A_{r n} \sum_{j=1}^{s} a_{j r} A_{j m}=0 .
\]

Последнее соотношение выражает свойство ортогональности любых двух $n$-й и $m$-й собственных форм.

Свойство ортогональности, выраженное соотношением (4.63), формулируется более компактно в случаях, когда $a_{j r}=0$ при $j
eq r$. Именно в такой форме обычно получаются инерционные коәффиценты шри пснользовани прямого способа составления дифференциальны уравнений. При этом соотношение (4.63) упрощается и принимает вид (вместо $a_{r r}$ достаточно писать $a_{r}$ )
\[
\sum_{r=1}^{s} a_{r} A_{r m} A_{r n}=0 .
\]

Согласно (4.59) вместо (4.63) можно также записать
\[
\sum_{r=1}^{s} A_{r n} \sum_{j=1}^{s} c_{j r} A_{j m}=0 .
\]

Есліл $c_{j r}=0$ при $j
eq r$, как это получается по обратному способу, то соотнопение (4.65) упрощается:
\[
\sum_{r=1}^{n} c_{r} A_{r m} A_{r n}=0 .
\]

Отметим, что люо́ую конфигурацию системы можно разложить по собственным формам колебаний; это свойство окажется полезным при изучении вынужденных колебарний.

Пусть некоторая мгновенная конфигурация спстемы описывастся совокупностью значений обобщенных координат $B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{s}$; для этих значений можно записать
\[
B_{j}=d_{1} A_{j 1}+d_{2} A_{j 2}+\ldots+d_{s} A_{j s}(j=1,2, \ldots, s)
\]

и рассматривать (4.67) как систему уравнепий, определяющих козффициенты линейного преобразования $d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{s}$. Для того чтобы найті эти коэффициенты, нет необходимости решать систему (4.67), удобнее воспользоваться свойством ортогональности собственных форм. Имея в виду случаи, для которых указанное свойство формулируется в виде (4.65), умножим каждую строку системы (4.67) на соответствующее ее номеру $j$ произведоние $a_{j} A_{j m}$ ( $m$ – номер искомого коэффициента $d_{m}$ ), а затем сложим все строки. Тогда в левой части образуется сумма $\sum_{j=1}^{s} B_{j} a_{j} A_{j m}$, а в правой тасти – сумма вида
\[
d_{1} \sum_{j=1}^{s} a_{j} A_{j 1} A_{j m}+d_{2} \sum_{j=1}^{s} a_{j} A_{j 2} A_{j m}+\ldots+d_{s} \sum_{j=1}^{s} a_{j} A_{j s} A_{j m} .
\]

Согласно (4.65) среди этих тленов отличен от нуля только член $d_{m} \sum_{j=1}^{s} a_{j} A_{j m}^{2}$, і в результате мы получаем компактное выражение
\[
d_{m}=\frac{\sum_{j=1}^{s} a_{j} B_{j} A_{j m}}{\sum_{j=1}^{s} a_{j} A_{j m}^{2}} .
\]

Пример 4.4. Найти собственные формы для системы, рассмотренной в примерах 4.1 и 4.2 .

Для определения собственных форм образуем отношение $A_{2}: A_{1}$ из первого уравнения, данного в примере 4.2 (стр. 86):
\[
\frac{A_{2}}{A_{1}}=\frac{1-\frac{m l^{3}}{3 E J} k^{2}}{m \rho^{2} \frac{l^{2}}{2 E J} k^{2}} .
\]

Подставив сюда поочередно найденные выше значепия $k_{1}^{2}$ п $k_{2}^{2}$, получим
\[
x_{21}=\frac{A_{21}}{A_{11}} \approx \frac{3}{2 l}, \quad x_{22}=\frac{A_{22}}{A_{12}} \approx-\frac{2 l}{3 \rho^{2}} .
\]

Эти отношения характеризуют обе собствепвые формы (рис. 4.7, $a, 6$ ). Как видно из рисунка, первая собственная форма характеризуется сравнительно малым углом поворота груза, а вторая форма – относительно небольшим прогибом конда.

Можно убедиться в ортогональности этих форм. Подставим в условие ортогональности (4.64) $a_{1}=m, a_{2}=m \rho^{2}$, а также най-
Рис. 4.7 депные отношения $A_{21} / A_{11}, A_{22} / A_{12}$. Тогда получим
\[
\begin{array}{l}
m A_{11} A_{12}+m \rho^{2} A_{21} A_{22}= \\
=m A_{11} A_{12}\left[1+\rho^{2} \frac{3}{2 l}\left(-\frac{2 l}{3 \rho^{2}}\right)\right]=0 .
\end{array}
\]