Как мы видели выше, в нелинейных системах с кусочно-линейными характеристиками удобно разделить весь процесс движения на последовательность интервалов, в каждом из которых дифференциальное уравнение линейно и легко решается в замкнутом виде. Тогда задача сводится к последовательному решению нескольких дифференциальных уравнений и припасовыванию найденных решений путем согласования значений координаты и скорости на границах интервалов.

В качестве первого примера рассмотрим систему с вязким трением, на которую в моменты прохождения терез положение равновесия с положительной скоростью $(q=0, \dot{q}>0)$ действуют мгновенные импульсы $S$, направленные в сторону движения (см., например, рис. $0.2,6$ ). В промежутках времени между двумя последовательными импульсами движение системы описывается дифференциальным уравнением (2.6), решение которого примем в форме (2.7). Входящие сюда постоянные определяются условиями в натале рассматриваемого

$n$-го промежутка $\quad q(0)=0, \quad \dot{q}(0)=\dot{q}_{n}^{+}$:
\[
C_{1}=\dot{q}_{n}^{+} / k_{*}, \quad C_{2}=0 .
\]

Таким образом, для $q$ и $\dot{q}$ имеем
\[
\begin{array}{l}
q=\left(\dot{q}_{n}^{+} / k_{*}\right) e^{-h t} \sin k_{*} t \\
\dot{q}=\dot{q}_{n}^{+} e^{-h t}\left[\cos k_{*} t-\left(h / k_{*}\right) \sin k_{*} t\right] .
\end{array}
\]

В последиий момент перед приложением очередвого $(n+1)$-го пмнульса, т. е. при $t=2 \pi / k_{*}$, обобщенпая скорость равна
\[
\dot{q}_{n+1}^{-}=q_{n}^{+} e^{-2 \pi h / k *} .
\]

Следовательно, непосредственно после приложения следующего импульса
\[
\dot{q}_{n+1}^{+}=\dot{q}_{n+1}^{-}+\frac{S}{a}=\dot{q}_{n}^{+} e^{-2 \pi h / k *}+\frac{S}{a} .
\]

В стационарном режиме, т. е. при движении по предельному циклу, должно быть $\dot{q}_{n+1}^{+}=\dot{q}_{n}^{+}$; из этого условия периодичности следует выражение для обобщенной скорости сразу после приложения любого из мгновенных импульсов:
\[
\dot{q}^{+}=\frac{S}{a\left(1-e^{-2 \pi h / k *}\right)} .
\]

Соответственно для обобщенной координаты находим
\[
q_{\max } \approx \frac{S}{a k_{*}\left(1-e^{-2 \pi h / k}\right)} .
\]

Энергия, рассеиваемая в рассмотренной системе за время свободного движения между двумя последовательными импульсами, мгновено восполняется благодаря скачку скорости в момент прложения пмпульса.

Сходными автоколебательными свойствами обладает система, в которой наряду с обычной силой вязкого трения действует сила отрицательного кулонова трения. Характеристика трения показана на рис. $13.5, a$, так что дифференциальное уравнение движения пмеет вид
\[
a \ddot{q}+b \dot{q}-R_{0} \operatorname{sign} \dot{q}+c q=0 .
\]

Здесь причиной самовозбуждения колебаний служит отрицательная сила кулонова трения. Іри малых отклонениях системы от состояния равновесия влияние указанной силы значительнее демпфирующего влияния силы вязкого трения и состояние равновесия неустойчиво. Однако при дальнейшем развитии колебаний эти влияния сравняются и установится стационарный режим автоколебаний (рис. 13.1,б). После большого начального
Puc. 13.5

отклонения (рис. 13.1, в) постененпо устанавлпвается тот не стационарный режим.

Рассмотрим какой-либо интервал процесса, в котором координата убывает (см. на рис. 13.5, б интервал, отмеченный числами 0 и $1 / 2$ ); на этом интервале дифференциальное уравнепие (13.7) принимает форму
\[
a \ddot{q}+b \dot{q}+c q=-R_{0},
\]

п его решение при начальных условиях $q_{0}=A_{0}, \dot{q}_{0}=0$ пмеет внд
\[
q=\left(A_{0}+\frac{R_{0}}{c}\right) e^{-h t}\left(\cos k_{*} t+\frac{h}{k_{*}} \sin k_{*} t\right)-\frac{R_{0}}{c} .
\]

Далее находим скорость
\[
\dot{q}=-\left(A_{0}+\frac{R_{0}}{c}\right) e^{-h t} \frac{k^{2}}{k_{*}^{2}} \sin k_{*} t
\]
(обозначения соответствуют принятым в § 2). В точке $1 / 2$ скорость обращается в нуль, и этому моменту соответствует равенство
\[
k_{*} t_{1 / 2}=\pi
\]

причем координата $q$ принимает значение
\[
q=A_{1 / 2}=-A_{0} e^{-\frac{\pi h}{k_{*}}}-\frac{R_{0}}{c}\left(1+e^{-\frac{\pi h}{k *}}\right) .
\]

На следующем интервале времени $1 / 2-1$ скорость положительная, и из уравнения (13.7) имеем
\[
a \ddot{q}+b \dot{q}+c q=R_{0} .
\]

Для этого иптервала времени при смещенном в точку $1 / 2$ начале отсчета получим
\[
\begin{array}{l}
q=\left(A_{1 / 2}-\frac{R_{0}}{c}\right) e^{-h t}\left(\cos k_{*} t+\frac{h}{k_{*}} \sin k_{*} t\right)+\frac{R_{0}}{c}, \\
\dot{q}=-\left(A_{1 / 2}-\frac{R_{0}}{c}\right) e^{-h t} \frac{k^{2}}{k_{*}^{2}} \sin k_{*} t .
\end{array}
\]

В состоянии 1, когда $\dot{q}_{1}=0$,
\[
k_{*} t_{1}=\pi,
\]

координата $q$ равна
\[
q=A_{1}=-A_{1 / 2} e^{-\frac{\pi h}{k_{*}}}+\frac{R_{0}}{c}\left(1+e^{-\frac{\pi h}{h_{*}}}\right) .
\]

Подставив сюда выражение (13.8), найдем связь между двумя последовательными положнтельными отклонениями:
\[
A_{1}=A_{0} e^{-\frac{2 \pi h}{h *}}+\frac{R_{0}}{c}\left(1+e^{-\frac{\pi h}{k *}}\right)^{2},
\]

причем длительность одного цикла (иернод автоколебаниї) составляет $2 \pi / k_{*}$. 13 стацинарном режнме должно быть $A_{1}=A_{0}=A_{\text {ст }}$. Отсюда находим
\[
A_{\mathrm{CT}}=\frac{R_{0}}{c} \frac{\left(1+e^{-\pi h / k *}\right)^{2}}{1-e^{-2 \pi h / k *}} .
\]

При малых значениях отношения $h / k_{*}$ можно принять
\[
A_{\mathrm{Cr}}=\frac{2 R_{0}{ }^{k}}{\pi c h} .
\]

В качестве третьего примера рассмотрим систему, показанную на рис. $13.6, a$. Она состоит із равномерно движущегося ведущего звена 1, приводящего через пружину 2 в двнжение груз 3. Между грузом и поверх-

ностью, по которой он скользит, развивается сила сухого трения; характеристика трения имеет вид, показанный на рис. $13.6,6$, и схематически отражает известное из экспериментов различие между предельной силой трения покоя и силой трения движепия.

Введем обозначения: $v_{0}$ – скорость ведущего ввена, $c$ – коэфициент жесткости пружины, $m$ – масса груза,
Рис. 13.6
$k=\sqrt{c / m}, R_{1}$– предельная спла трения покоя, $R_{2}$ – спна трения динения.

Очевндно, возможно такое двнжение рассматриваемой щстемы, при котором скорость груза 3 также равна $v_{0}$. При этом пружина 2 сжата постоянной силой $P$, равной силе трения движения $R_{2}$. Однако, как мы убедимся, этот режим может оказаться неустойчивым и при определених обстоятельствах оћоло него возникают автоколебания.

Если скорость $v_{0}$ мала, то какое-либо случайное преІятствие может оказаться достаточным для остановки гууза на некоторое колечное время.

Ведущее звено, продолжая движение вправо, будет сжимать пружину до тех пор, пока сила сжатия $P$ не сравняется с сплой трения покоя $R_{1}$. Лишь после этого произойдет срыв груза, причем сила трения мгновенно уменьшится до значения $R_{2}$. Но сила сжатия пружины в первый момент начавшегося двнжения будет по-прежнему равна $R_{1}$, и, следовательно, равновесие сил, действующих на груз, нарущится.

Совместим с моментом срыва начало отсчета времени $t=0$ і заметим, что в этот момент равны нуло как координата $x$, так II скорость $\dot{x}$ :
\[
x(0)=0, \quad \dot{x}(0)=0
\]
(отсчет перемещениӥ будем вести от места остановки груза).

Рассмотрим теперь процесс последующего движения. К некоторому моменту времени $t>0$ длина пружины изменится на отрезок $x-v_{0} t$ и соответственно сила упругости пружины уменьшится до значения
\[
P(t)=R_{1}-c\left(x-v_{0} t\right) .
\]

Таким образом, дифференциальное уравнение движения груза запишется в виде
\[
R_{1}-c\left(x-v_{0} t\right)-R_{2}=m \ddot{x},
\]

или
\[
\ddot{x}+k^{2} x=k^{2} v_{0} t+\frac{R_{1}-R_{2}}{m} .
\]

Решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условням (13.12), нмеет внд
\[
x=v_{0} t-\frac{v_{0}}{k} \sin k t+\frac{R_{1}–R_{2}}{c}(1-\cos k t) .
\]

Первое слагаемое иравої части выражает равномерное движение со скоростью ведущего звена, а остальные слагаемые – дополнительные колебания груза.
Скорость груза меняется по закону
\[
\dot{x}=v_{0}-v_{0} \cos k t+\frac{k\left(R_{1}-R_{2}\right)}{c} \sin k t
\]

и в некоторый момент времени может вновь обратиться в нуль. Условие новой остановки груза приводит к уравнению
\[
v_{0}-v_{0} \cos k t_{1}+\frac{k\left(R_{1}-R_{2}\right)}{c} \sin k t_{1}=0,
\]

в котором $t_{1}$ – время от момента срыва до момента новой остановки. Введем безразмерный параметр
\[
\alpha=\frac{k\left(R_{1}-R_{2}\right)}{c v_{0}} .
\]

Теперь условие остановки принимает вид
\[
\alpha \sin k t_{1}=\cos k t_{1}-1 .
\]

Решив это уравнение, найдем
\[
\sin k t_{1}=-\frac{2 \alpha}{1+\alpha^{2}}, \quad \cos k t_{1}=\frac{1-\alpha^{2}}{1+\alpha^{2}} .
\]

Модули полученных выражений всегда меньше единицы, так что из (13.15) всегда следует вещественное значение $t_{1}$. Получив это значение $t_{1}$, можно но формуле (13.14) определить координату $x$ груза в момент новой остановки, т. е. путь, пройденный грузом за время $t_{1}$ :
\[
x_{1}=v_{0} i_{1}-\frac{v_{0}}{k} \sin k t_{1}+\frac{R_{1}-R_{2}}{c}\left(1-\cos k t_{1}\right)=v_{0} t_{1}+\frac{2 \alpha v_{0}}{k} .
\]

С учетом выражений (13.15) найдем по соотношению (13.13) силу сжатия шружины в момент остановки:
\[
P\left(t_{1}\right)=2 R_{2}-R_{1} .
\]

Отсюда видно, тто $P\left(t_{1}\right)<R_{1}$ (так как $R_{2}<R_{1}$ ). Следовательно, после остановни груз некоторое премя будет оставаться на месте, пока спла сжатня пуужнны вновь не достигнет значения предельнй силы трения покоя. ІІсле этого џронзойдет новый срыв груза и начнется следующий цикл, полностью совнадающий с лредыдущим. Таким образом, рассматриваемый процесс представґяет собой стационарные автоколебания.

За время, в тетение которого груз покоптся, спла сжатия постепенно возрастает на величнну
\[
\Delta P=R_{1}-P\left(t_{1}\right)=2\left(R_{1}-R_{2}\right),
\]

I соответствущее дополнительие укорочение пруяины составнт
\[
\Delta l=\frac{\Delta P}{c}=\frac{2\left(R_{1}-R_{2}\right)}{c} .
\]

Этой же величине равен путь, пройденный ведущим звепом за время останови груза. Следовательно, длительность состояния покоя груза равиа
\[
t_{2}=\frac{\Delta l}{v_{0}}=\frac{2\left(R_{1}-R_{2}\right)}{c v_{0}}=\frac{2 \alpha}{k} .
\]
(Тот же результат можно найти из условпя $v_{0}\left(t_{1}+t_{2}\right)=$ $=x_{1}$, выражаюего равенство перемещений груза іл вепущего звена за один полиый цикл рассматриваемого гроцесса.)

Таким образом, период автоколебаний определяется формулой
\[
T=t_{1}+t_{2}
\]

для пользования которой сначала нужно найтп $t_{1}$ из выражений (13.15), а затем $t_{2}$ из формулы (13.16).

Чем меньше скорость ведущего звена, тем более резко выражен процесс автоколебаний. Действительно, при малых значепиях $v_{0}$ безразмерпый параметр $\alpha$ становится весьма большим и из выражения (13.15) следует приближенно
\[
\sin k t_{1} \rightarrow 0, \quad \cos k t_{1} \rightarrow-1, \quad \text { т. e. } t_{1}=\frac{\pi}{k} .
\]

Соответственно (13.16) это приводит к следующей формуле для периода автоколебаний:
\[
T=\frac{\pi+2 \alpha}{k} .
\]

Здесь ясно видно, что роль второго слагаемого в тислителе возрастает с уменыпением скорости $v_{0}$.

Законы движения при двух различных малых значениях $v_{0}$ графически показаны на рис. $13.7, a$; на
Рис. 13.7
pис. 13.7, б показаны соответствующие законы изменения скорости. С уменьшением скорости период автоколеб́аний растет.