Во всех рассмотренных выше случаях речь шла о колебапия около полояения заведомо устойтивого равновесия; формальным признаком устойчивости служит положительность коэффициента жесткости $c$, равного значенио второй производной ${\mathrm{\Pi }}^{\prime \prime }(0)$ потенциальной энергии в положении равновесия. В реальных механических системах может ожазаться, что $c<0$.

При $c<0$ основное дифференциальное уравнение (1.10) можно записать в виде
$$a\ddot{q}-c^{\ast }q=0,$$

где $c^{\ast }=|c|$ — абсолютное значение обобщенного коэффицнента жесткости. Репение уравнепия (1.28)
$$q=A\mathrm{sh}(k^{\ast }t+\alpha )$$

где $k^{\ast }=\sqrt{c^{\ast /a}}$, описывает монотонное удаление системы от равновесного положения и свидетельствует о его неустойчивости.

Знак коэффициента $c$ зависит от параметров системы, т. е. в некоторых случаях состояние равновесия может быть устойчивым или неустойчивым в зависимости от комбінации значений этих параметров.
$3^{\ast }$

Обращаясь к рассмотрению таких случаев, будем считать, что существует лишь один варьируемый параметр $S$ системы, при изменении которого может измениться знак коэффициента жесткости $c=c(S)$. Состояния равновесия устойчивы в той области значений $S$, в которой $c(S)>0$; при $c(S)<0$ состояния равновесия неустойчивы (случаи «отрицательной жесткости»). Критические значения параметра $S$ являются корнями уравнения
$$c(S)=0\text{. }$$

Пример 1.5. Для симметричной системы, изображенной на рис. 1.6, введем обозначения: $G$ — вес тела, $I$ — момент инерции тела относительно оси шарнира, $c_0$ — суммарный коэффициент
Рис. 1.6
Рис. 1.7

жесткости обеих пружин, $b$-высота расположения центра тлжести тела, $l$ — высота расположения оси пружин. Найти критическое значение коэффициента жесткости $c_0$.

При малых значениях угла отклонения тела дифференциальное уравнение вращательного движения имеет вид
$$\ddot{\phi }+(c_0{l}^2-Gb)\phi =0.$$

Таким образом, в данном случае устойчивость равновесия определяется знаком разности
$$c=c_0{l}^2-Gb.$$

Критическое значение $c_{0\text{ кр }}=Gb/l^2$.
II имер 1.6. Найти критическое значение силы $P$ для системы, изображенной на рис. 1.7, a; весом верхнего стержня пренебречь. Коәффициент жесткости спиральной пружины, расположенной внизу стойки, равен $c_0$ ( $c_0$ представляет собой упругий момент, соответствующий повороту стойки вокруг шарнира на угол, рав-

пый единице). Обозначим: $l$ — высота стойки, $b$-длина верхнего стержня, $G$ — вес стойки. Силы, действующие на стойку, при ее отклонении на малый угол $\phi$, показаны на рис. 1.7, б.

Запишем дифференциальное уравнение вращательного движевия стойки (для малых отклонений)
$$P\psi l+P\phi l+\frac{Gl}{2}\phi -c_0\phi =\frac{G{l}^2}{3g}\ddot{\phi }.$$

Так как $b\sin \psi =l\sin \phi$, то при малых углах $\psi$ и $\phi$ можно принять $\psi =\phi l/b$. Таким образом, обобщенный коэффициент жесткости равен
$$c=c_0-\frac{Gl}{2}-Pl(1+\frac{l}{b}).$$

Отсюда непосредственно видно, что критическое значение силы $P$ в соответствии с (1.30) определяется выражением
$$P_{\text{нр }}=[c_0-\frac{Gl}{2}]{\left[l(1+\frac{l}{b})\right]}^{-1}.$$

При увеличении размера $b$ критическое значение $p_{\text{кр }}$ также увеличивается.

Пример 1.7. Основой изображенной на рис. 1.8 , а системы служит жесткая рамка 1 , вращающаяся с постолнной угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси. Горизонтальный стержень 2
Pac. 1.8

длиной $2R$ служит направляющей осью для пружины 3 ; один конец пружины связан с рамкой, а к другому концу прикреплен груз 4 массы $m$, который может скользить без трения вдоль стержня 2. Коэффициент жесткости пружины равен $c_0$, а єе ведеформированная длина равна $l$. Найти критическое значение угловой скорости.

Положению относительного равновесия груза соответствует растяжение пружины на величину $r_0$, которая может быть

найдена из схемы сил, данной на рис. $1.8,6$, т. е. из соотношения
$$m(l+r_0-R){\omega }^2=c_0{r}_0.$$

Устойчивость этого состояния равновесия груза зависит от значений угловой скорости врацения системы.

Вращение системы примем за переносное движение, тогда движение груза вдоль стержня будет являться относительным движением. Обозначив через $r$ дополнительное удлинение пружины в произвольный момент процесса движения, запишем переносную силу инерции в виде $m(l+r_0+r-R){\omega }^2$; тогда дифференциальное уравнение относительного движения груза примет вид
$$\ddot{m}=-c_0(r_0+r)+m(l+r_0+r-R){\omega }^2,$$

или, при учете (a),
$$\ddot{m}+(c_0-m{\omega }^2)r=0.$$

Следовательно, обобщенный коэффициент жесткости равен $c=$ $=c_0-m{\omega }^2$, и критическое значение угловой скорости составляет ${\omega }_{\text{кр }}=\sqrt{c_0/m}$. Отметим, что оно не зависит от значений $l$ и $r_0$ и сов-
Рис. 1.9 падает со значением собственной частоты колебаний груза на пружине при отсутствии вращения. При $\omega >{\omega }_{\text{кр }}$ состояния относительно равновесия груза неустойчивы.
Пример 1.8. Показанная на рис. 1.9, а система представляет собой маятник и состоит из стержня 1 с горизонтальной осью подвеса 2 и груза 3. Горизонтальная ось маятника равномерно вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, совпадающей с равновесным положением оси стержня. Найти критическое значение угловой скорости.
Введем следующие обозначения: $l$ — длина стержня, $m$ — масса груза, $\phi$-малый угол отклонения стержня от вертикали (рис. 1.9, б). В дифференциальное уравнение относительного движения маятника нужно ввести момент силы тяжести и момент переносной силы инерции:
$$-mgl\phi +m{\omega }^2{l}^2\phi =m{l}^2\dot{\phi }.$$
(Кориолисова сила инерции параллельна оси подвеса и в уравнение моментов не входит.) Таким образом, мы приходим к уравнению
$$\ddot{\phi }+(\frac{g}{l}-{\omega }^2)\phi =0,$$

из которого непосредственно видно, что критическая угловая скорость не зависит от массы груза и равна
$${\omega }_{\mathrm{kp}}=\sqrt{g/l}\text{. }$$

При $\omega <{\omega }_{\text{кр }}$ система устойчива, причем частота свободных колебаний определяется формулой
$$k=\sqrt{{\omega }_{\kappa \mathrm{p}}^2-{\omega }^2}.$$

При $\omega >{\omega }_{\text{кр }}$ состояние относительного равновесия неустойчиво.

В рассмотренных простых примерах по существу не было необходимости в составлении дифференциальных уравнений движения, так как для суждения об устойчивости и для определения критического значения параметра было достаточно построить выражение $c(S)$. Однако для систем с несколькими степенями свободы — даже находящихся под действием только позиционных сил — исследование устойчивости требует предварительного составления дифференциальных уравнений движения (см. гл. IV).

Устойчивость состояний равновесия удобно исследовать также с помощью фазовых диаграмм. Отметим, что их можно построить и не решая заданное дифференциальное уравнение движения, т. е. не разыскивая закон движения $q=q(t)$ в явной форме.

С помощью замены $\ddot{q}=\dot{q}\frac{\dot{dq}}{dq}$ из (1.12) получается дифференциальное уравнение фазовых траекторий
$$\frac{\dot{dq}}{dq}=-\frac{k^{2}q}{\dot{q}}.$$

После интегрирования мы вновь придем к уравнению $(0.11)$ и к семейству эллипсов, показанному на рис. 0.9 , в Если $c<0$, то после замены $k_{\ast }^2=-c/a$ получим вместо (1.31) дифференциальное уравнение фазовых траекторий
$$\frac{\dot{dq}}{dq}=\frac{k_{\ast }^{2}q}{\dot{q}}.$$

Его решение имеет вид
$$q^2-\frac{{\dot{q}}^2}{k^{\ast 2}}=A^2$$

Фазовые траектории для этого случая показаны на рис. 1.10. Они состоят из семейства гипербол и четырех полупрямых, являющихся асимптотами этих гипербол.

Заданное возмущение состояния равновесия определяет начальное положение изображающей точки. С течением времени эта точка будет монотонно удаляться от начала вдоль соответствующей криволинейной фазовой траектории: это означает монотонный уход системы от Рис. 1.10 состояния равновесия. Исключение составляют изображающие точки, лежащие на прямой $\dot{q}=-k^{\ast }q$; если в начальный момент задано такое возмущение, что $\dot{q}(0)=$ $=-k^{\ast }q(0)$, то система будет стремиться к состоянию равновесия. Но это не может изменить оценки состояния равновесия как неустойчивого: достаточно любого сколь угодно малого нарушения указанного специально выбранного возмущения, как система станет неограниченно удаляться от состояния равновесия. В данном случае отвечающая положению равновесия особая точка $(0,0)$ называется седлом.