Во всех рассмотренных выше случаях речь шла о колебапия около полояения заведомо устойтивого равновесия; формальным признаком устойчивости служит положительность коэффициента жесткости $c$, равного значенио второй производной $\Pi^{\prime \prime}(0)$ потенциальной энергии в положении равновесия. В реальных механических системах может ожазаться, что $c<0$.

При $c<0$ основное дифференциальное уравнение (1.10) можно записать в виде
\[
a \ddot{q}-c^{*} q=0,
\]

где $c^{*}=|c|$ — абсолютное значение обобщенного коэффицнента жесткости. Репение уравнепия (1.28)
\[
q=A \operatorname{sh}\left(k^{*} t+\alpha\right)
\]

где $k^{*}=\sqrt{c^{* / a}}$, описывает монотонное удаление системы от равновесного положения и свидетельствует о его неустойчивости.

Знак коэффициента $c$ зависит от параметров системы, т. е. в некоторых случаях состояние равновесия может быть устойчивым или неустойчивым в зависимости от комбінации значений этих параметров.
$3^{*}$

Обращаясь к рассмотрению таких случаев, будем считать, что существует лишь один варьируемый параметр $S$ системы, при изменении которого может измениться знак коэффициента жесткости $c=c(S)$. Состояния равновесия устойчивы в той области значений $S$, в которой $c(S)>0$; при $c(S)<0$ состояния равновесия неустойчивы (случаи «отрицательной жесткости»). Критические значения параметра $S$ являются корнями уравнения
\[
c(S)=0 \text {. }
\]

Пример 1.5. Для симметричной системы, изображенной на рис. 1.6, введем обозначения: $G$ — вес тела, $I$ — момент инерции тела относительно оси шарнира, $c_{0}$ — суммарный коэффициент
Рис. 1.6
Рис. 1.7

жесткости обеих пружин, $b$-высота расположения центра тлжести тела, $l$ — высота расположения оси пружин. Найти критическое значение коэффициента жесткости $c_{0}$.

При малых значениях угла отклонения тела дифференциальное уравнение вращательного движения имеет вид
\[
\ddot{\varphi}+\left(c_{0} l^{2}-G b\right) \varphi=0 .
\]

Таким образом, в данном случае устойчивость равновесия определяется знаком разности
\[
c=c_{0} l^{2}-G b .
\]

Критическое значение $c_{0 \text { кр }}=G b / l^{2}$.
II имер 1.6. Найти критическое значение силы $P$ для системы, изображенной на рис. 1.7, a; весом верхнего стержня пренебречь. Коәффициент жесткости спиральной пружины, расположенной внизу стойки, равен $c_{0}$ ( $c_{0}$ представляет собой упругий момент, соответствующий повороту стойки вокруг шарнира на угол, рав-

пый единице). Обозначим: $l$ — высота стойки, $b$-длина верхнего стержня, $G$ — вес стойки. Силы, действующие на стойку, при ее отклонении на малый угол $\varphi$, показаны на рис. 1.7, б.

Запишем дифференциальное уравнение вращательного движевия стойки (для малых отклонений)
\[
P \psi l+P \varphi l+\frac{G l}{2} \varphi-c_{0} \varphi=\frac{G l^{2}}{3 g} \ddot{\varphi} .
\]

Так как $b \sin \psi=l \sin \varphi$, то при малых углах $\psi$ и $\varphi$ можно принять $\psi=\varphi l / b$. Таким образом, обобщенный коэффициент жесткости равен
\[
c=c_{0}-\frac{G l}{2}-P l\left(1+\frac{l}{b}\right) .
\]

Отсюда непосредственно видно, что критическое значение силы $P$ в соответствии с (1.30) определяется выражением
\[
P_{\text {нр }}=\left[c_{0}-\frac{G l}{2}\right]\left[l\left(1+\frac{l}{b}\right)\right]^{-1} .
\]

При увеличении размера $b$ критическое значение $p_{\text {кр }}$ также увеличивается.

Пример 1.7. Основой изображенной на рис. 1.8 , а системы служит жесткая рамка 1 , вращающаяся с постолнной угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси. Горизонтальный стержень 2
Pac. 1.8

длиной $2 R$ служит направляющей осью для пружины 3 ; один конец пружины связан с рамкой, а к другому концу прикреплен груз 4 массы $m$, который может скользить без трения вдоль стержня 2. Коэффициент жесткости пружины равен $c_{0}$, а єе ведеформированная длина равна $l$. Найти критическое значение угловой скорости.

Положению относительного равновесия груза соответствует растяжение пружины на величину $r_{0}$, которая может быть

найдена из схемы сил, данной на рис. $1.8,6$, т. е. из соотношения
\[
m\left(l+r_{0}-R\right) \omega^{2}=c_{0} r_{0} .
\]

Устойчивость этого состояния равновесия груза зависит от значений угловой скорости врацения системы.

Вращение системы примем за переносное движение, тогда движение груза вдоль стержня будет являться относительным движением. Обозначив через $r$ дополнительное удлинение пружины в произвольный момент процесса движения, запишем переносную силу инерции в виде $m\left(l+r_{0}+r-R\right) \omega^{2}$; тогда дифференциальное уравнение относительного движения груза примет вид
\[
\ddot{m}=-c_{0}\left(r_{0}+r\right)+m\left(l+r_{0}+r-R\right) \omega^{2},
\]

или, при учете (a),
\[
\ddot{m}+\left(c_{0}-m \omega^{2}\right) r=0 .
\]

Следовательно, обобщенный коэффициент жесткости равен $c=$ $=c_{0}-m \omega^{2}$, и критическое значение угловой скорости составляет $\omega_{\text {кр }}=\sqrt{c_{0} / m}$. Отметим, что оно не зависит от значений $l$ и $r_{0}$ и сов-
Рис. 1.9 падает со значением собственной частоты колебаний груза на пружине при отсутствии вращения. При $\omega>\omega_{\text {кр }}$ состояния относительно равновесия груза неустойчивы.
Пример 1.8. Показанная на рис. 1.9, а система представляет собой маятник и состоит из стержня 1 с горизонтальной осью подвеса 2 и груза 3. Горизонтальная ось маятника равномерно вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, совпадающей с равновесным положением оси стержня. Найти критическое значение угловой скорости.
Введем следующие обозначения: $l$ — длина стержня, $m$ — масса груза, $\varphi$-малый угол отклонения стержня от вертикали (рис. 1.9, б). В дифференциальное уравнение относительного движения маятника нужно ввести момент силы тяжести и момент переносной силы инерции:
\[
-m g l \varphi+m \omega^{2} l^{2} \varphi=m l^{2} \dot{\varphi} .
\]
(Кориолисова сила инерции параллельна оси подвеса и в уравнение моментов не входит.) Таким образом, мы приходим к уравнению
\[
\ddot{\varphi}+\left(\frac{g}{l}-\omega^{2}\right) \varphi=0,
\]

из которого непосредственно видно, что критическая угловая скорость не зависит от массы груза и равна
\[
\omega_{\mathrm{kp}}=\sqrt{g / l} \text {. }
\]

При $\omega<\omega_{\text {кр }}$ система устойчива, причем частота свободных колебаний определяется формулой
\[
k=\sqrt{\omega_{\mathrm{\kappa p}}^{2}-\omega^{2}} .
\]

При $\omega>\omega_{\text {кр }}$ состояние относительного равновесия неустойчиво.

В рассмотренных простых примерах по существу не было необходимости в составлении дифференциальных уравнений движения, так как для суждения об устойчивости и для определения критического значения параметра было достаточно построить выражение $c(S)$. Однако для систем с несколькими степенями свободы — даже находящихся под действием только позиционных сил — исследование устойчивости требует предварительного составления дифференциальных уравнений движения (см. гл. IV).

Устойчивость состояний равновесия удобно исследовать также с помощью фазовых диаграмм. Отметим, что их можно построить и не решая заданное дифференциальное уравнение движения, т. е. не разыскивая закон движения $q=q(t)$ в явной форме.

С помощью замены $\ddot{q}=\dot{q} \frac{\dot{d q}}{d q}$ из (1.12) получается дифференциальное уравнение фазовых траекторий
\[
\frac{\dot{d q}}{d q}=-\frac{k^{2} q}{\dot{q}} .
\]

После интегрирования мы вновь придем к уравнению $(0.11)$ и к семейству эллипсов, показанному на рис. 0.9 , в Если $c<0$, то после замены $k_{*}^{2}=-c / a$ получим вместо (1.31) дифференциальное уравнение фазовых траекторий
\[
\frac{\dot{d q}}{d q}=\frac{k_{*}^{2} q}{\dot{q}} .
\]

Его решение имеет вид
\[
q^{2}-\frac{\dot{q}^{2}}{k^{* 2}}=A^{2}
\]

Фазовые траектории для этого случая показаны на рис. 1.10. Они состоят из семейства гипербол и четырех полупрямых, являющихся асимптотами этих гипербол.

Заданное возмущение состояния равновесия определяет начальное положение изображающей точки. С течением времени эта точка будет монотонно удаляться от начала вдоль соответствующей криволинейной фазовой траектории: это означает монотонный уход системы от Рис. 1.10 состояния равновесия. Исключение составляют изображающие точки, лежащие на прямой $\dot{q}=-k^{*} q$; если в начальный момент задано такое возмущение, что $\dot{q}(0)=$ $=-k^{*} q(0)$, то система будет стремиться к состоянию равновесия. Но это не может изменить оценки состояния равновесия как неустойчивого: достаточно любого сколь угодно малого нарушения указанного специально выбранного возмущения, как система станет неограниченно удаляться от состояния равновесия. В данном случае отвечающая положению равновесия особая точка $(0,0)$ называется седлом.