При анализе установившихся вынужденных колебаний часто пользуются понятиями комплексных величин – комплексной обобщенной силы $\bar{Q}$ и комплексного обобщенного перемещения (комплексной координаты) $\tilde{q}$. Хотя комплексная форма зашиси может шоказаться несколько искусственной, но она очень удобна, в частности, тем, что любые линейные операции над функциями типа гармонических колебаний (дифференцирование, интегрирование, решение линейных уравнений и т. д.) выполняются гораздо проще, когда эти функции представляются не в виде синусов и косинусов, а в комплексной форме в виде әкспонент (показательных функций).

Переход к комплексной форме может выполняться поразному. Например, при гармоническом возбуждении колебаний и надлежащем выборе начала отсчета времени гармоническую вынуждающую силу можно описать выражением $Q=H \sin \omega t$ (такой выбор начала отсчета времени не обязателен; ниже будут рассмотрены иные варианты). Далее вводится комплексная вынуждающая сила $\widetilde{Q}=H e^{i \omega t}$, мнімая часть которой равна заданной вынуждающей спле: $\operatorname{Im} \widetilde{Q}=Q \quad\left(e^{i \omega t}=\cos \omega t+i \sin \omega t\right)$, ц комплексное иеремещение $\tilde{q}$, мнимая часть которого

представляет собой искомую обобщенную координату: $\operatorname{Im} \tilde{q}=q$. Таким образом, дифференциальное уравнение (6.2) можно переписать в виде
\[
\operatorname{Im}(a \ddot{\tilde{q}}+\dot{\tilde{q}}+\tilde{c q})=\operatorname{Im}\left(H e^{i \omega t}\right),
\]

а отсюда – перейти к уравнению, связывающему комплексные величины $\tilde{q}$ и $\left.\widetilde{Q}^{*}\right)$ :
\[
a \ddot{\tilde{q}}+b \dot{\tilde{q}}+c \tilde{q}=H e^{i \omega t} \text {. }
\]

Частное решение этого уравнения имеет вид
\[
\tilde{q}=\tilde{A} e^{i \omega t} .
\]

Подставляя (6.26) в (6.25) и сокращая на общий множитель $e^{i \omega t}$, получаем уравнение относительно комплексной амплитуды $\widetilde{A}$, из которого находим
\[
\tilde{A}=\frac{H}{c-a \omega^{2}+i b \omega} .
\]

Знаменатель правой тасти
\[
\tilde{c}=c-a \omega^{2}+i b \omega
\]

называется комплексной динамической жесткостью. Таким образом, комплексная амплитуда вынужденных колебаний равна отношению амплитуды гармонической вынуждающей силы и комплексной динамической жесткости системы. Величина, обратная комплексной динамической жесткости
\[
W=\frac{1}{c-a \omega^{2}+i b \omega}
\]

представляет собой частотную характеристику (комплексную динамическую податливость) системы. Как видно, частотная характеристика системы определяет комплексную амплитуду вынужденных колебаний при единичной амплитуде вынуждающей силы.
*) Иногда вместо уравнения (6.25) пишут
\[
a \ddot{q}+b \dot{q}+c q=H e^{i \omega t},
\]

мысленно подразумевая под $q$ комплексное перемещение и пмея в виду, что затем в вайденном выражении $q$ будет удержана только его мнимая часть (см. также сноску на стр. 134).

Комплексная амплитуда (6.27) может быть представлена также в виде экспоненты. Для этого нужно прежде всего освободиться от мнимости в знаменателе, умножив числитель и знаменатель (6.27) на выражение $c-a \omega^{2}-$ $-i b \omega$. Тогда получится
\[
\widetilde{A}=\frac{H\left[\left(c-a \omega^{2}\right)-i b \omega\right]}{\left(c-a \omega^{2}\right)^{2}+(b \omega)^{2}} .
\]

Отсюда непосредственно следует, что
\[
\widetilde{A}=A e^{-i \varphi},
\]

где
\[
A=|\widetilde{A}|=\frac{H}{\sqrt{\left(c-a \omega^{2}\right)^{2}+(b \omega)^{2}}}, \quad \gamma=\operatorname{arctg}\left[\frac{b \omega}{c-a \omega^{2}}\right] .
\]

Таким образом, согласно (6.26) и (6.30) комплексное перемещение определяется в виде
\[
\tilde{q}=\widetilde{A} e^{i \omega t}=A e^{i(\omega t-\gamma)},
\]

а его мнимая часть, т. е. искомое перемещение,- в виде
\[
q=A \sin (\omega t-\gamma) .
\]

Естественно, полученные результаты совпадают с полученными выше (см. выражения (6.7) и (6.8)).

Принятый выше выбор начала отсчета времени, конечно, не имеет принципиального значения. Так, при другом специальном выборе начала отсчета времени ту же вынуждающую силу можно записать в виде $Q=$ $=H \cos \omega t$. Тогда комплексные величины вводятся так, чтобы было $Q=\operatorname{Re} \widetilde{Q}, q=\operatorname{Re} \tilde{q}$. Для этих величин вновь получится уравнение (6.25)*) и останутся справедливыми все соотношения (6.26)-(6.32); лишь вместо (6.33) естественно получится
\[
q=A \cos (\omega t-\gamma) .
\]

Наконец, если начало отсчета времени принято произвольно, то вынуждающая сила представляется в виде $H \sin (\omega t+\varphi)$. Вместо уравнения (6.25) будет
\[
\ddot{\sim} \dot{\tilde{q}}+\dot{b}+\tilde{q}=H e^{i(\omega t+\varphi)}
\]
*) В этом случае иногда поступают, как сказано в сноске на стр. 133, но удерживают в решении не мнимую, а действительную часть.

и вместо частного решения (6.26) нужно принять
\[
\tilde{q}=\tilde{A} e^{i(\omega t+\varphi)} .
\]

При этом опять окажутся справедливыми выражения $(6.27)-(6.31)$, но вместо (6.32) получим
\[
\tilde{q}=A e^{i(\omega t+\varphi-\gamma)},
\]

а вместо (6.33)-
\[
q=A \sin (\omega t+\varphi-\gamma) .
\]

Как и должно было получиться, общие характеристики колебаний (амплитуда, частота) совпадают с тем, что было найдено выше для случая, когда вынуждающая сила записывалась в виде $H$ sin $\omega t$.

Комплексная форма удобна и при анализе действия произвольной периодической вынуждающей силы, которую можно представить в виде разложения в ряд Фурье (5.23). В данном случае к комплексной форме удобно перейти несколько иначе, чем это было сделано выше.
В каждый член ряда (5.23) подставим
\[
\cos n \omega t=\frac{1}{2}\left(e^{i n \omega t}+e^{-i n \omega t}\right), \quad \sin n \omega t=\frac{1}{2 i}\left(e^{i n \omega t}-e^{-i n \omega t}\right) .
\]

Тогда после перегруппировки слагаемых вынуждающая сила запишется в виде
\[
Q(t)=\frac{G_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}\left[\left(G_{n}-i H_{n}\right) e^{i n \omega t}+\left(G_{n}+i H_{n}\right) e^{-i n \omega t}\right] .
\]

Входящую сюда сумму можно представить в виде двух сумм. Первую из них запишем в виде $\sum_{n=1}^{\infty} B_{n} e^{i n \omega t}$, где $B_{n}=$ $=\frac{1}{2}\left(G_{n}-i H_{n}\right)$, а вторую – в виде $\sum_{n=1}^{\infty} B_{n}^{*} e^{-i n \omega t}$, где $B_{n}^{*}=$ $=\frac{1}{2}\left(G_{n}+i H_{n}\right)$. Заменив вторую сумму эквивалентным выражением $\sum_{n=-1}^{-\infty} B_{n}^{*} e^{i n \omega t}$, придадим всему разложению (6.34) компактную форму
\[
Q(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} B_{n} e^{i n \omega t},
\]
в которой
\[
B_{n}=\left\{\begin{array}{lll}
\frac{1}{2}\left(G_{n}-i H_{n}\right) & \text { при } & n>0 ; \\
\frac{1}{2} G_{0} & \text { при } & n=0 ; \\
\frac{1}{2}\left(G_{n}+i H_{n}\right) & \text { при } & n<0 .
\end{array}\right.
\]

Отметим, что каждое из слагаемых $B_{n} e^{\text {inюt }}$ – комплексная величина (кроме вещественного слагаемого $B_{0}$ ), но сумма любой пары слагаемых с номерами $n$ и $-n$ вещественна. Соответственно вещественна и вся сумма (6.35). Совокупность величин $\left|2 B_{n}\right|$ представляет амплитудіый спектр силы $Q(t)$.

Опираясь на представление (6.35), зашишем дифференцильное уравнение вынужденных колебаний
\[
\ddot{a q}+\dot{b}+c q=\sum_{n=-\infty}^{\infty} B_{n} e^{i n \omega t}
\]

и будем разыскивать его решение в виде
\[
q=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \widetilde{A}_{n} e^{i n \omega t} .
\]

Подставляя (6.37) в (6.36) п почленно приравнивая коэффициенты при одинаковых членах $e^{\text {inшt }}$, входящих в обе части равенства, найдем комплексные амплитуды

Здесь
\[
A_{n}=B_{n} W_{n} \text {. }
\]
\[
W_{n}=\frac{1}{c-a(n \omega)^{2}+i b n \omega}
\]
– частотная характеристика, подобная (6.29), но с заменой $\omega$ на $n \omega$. Окончательно имесм
\[
q=\sum_{n=-\infty}^{\infty} B_{n} W_{n} e^{i n \omega t} .
\]

Отметим, что здесь, как и в (6.36), каждому слагаемому номера $n$ соответствует комплексно сопряженное слагаемое номера $-n$, так что сумма любой такой пары слагаемых вещественна.

Совокудность величин $\left|2 B_{n} W_{n}\right|$ образует амплитудный спектр перемещения $q(t)$. Сопоставляя (6.35) и (6.40),

можно условно сказать, что амшлитудный спектр перемещений «равен» амплитудному спектру вынуждающей силы, «умноженному» на частотную характеристику снстемы. Так как частотная характеристика зависит от номера $n$, то соотношения между амплитудами гармоник перемещения отличаются (чаще всего, существенно отличаются) от соотношений между амплитудами гармоник
Pис. 6.7

вынуждающей силы. Естественно, что, как правило, особенно значительными оказываются амплитуды тех гармоник перемещения, частота которых близка к собственной частоте системы.

Один из примеров такого рода показан на рис. 6.7, который относится к случаю, когда на систему с собственной частотой $k$ действует периодическая вынуждающая сила с периодом $8 \pi / k$. Частоты гармоник этой силы равны $\frac{k}{4} ; \frac{k}{2} ; \frac{3 k}{4} ; k ; \frac{5 k}{4} \ldots$, т. е. частота четвертой гармоники совпадает с собственной частотой системы. На рис. 6.7, а показаны амплитуды гармоник вынуждающей силы, а на рис. 6.7, б- амплитуды гармоник перемещения.

Таким образом, переход к комплексной форме создает определенные удобства при анализе колебаний, вызывае-

мых не только гармонической, но и произвольной периодической вынуждающей силой. Более того, комплексная форма также позволяет успешно изучать колебания, вызываемые действием непериодических вынуждающих сил $Q(t)$. Такую силу можно представить в виде интеграла Фурье
\[
Q(t)=\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i \omega t} d \omega,
\]

который можно рассматривать как обобщение суммы дискретных слагаемых, данной в выражении (6.35). В (6.41) сила $Q(t)$ представлена совокупностью элементарных гармонических составляющих со всеми частотами, непрерывно распределенными в бесконечных пределах $[-\infty, \infty]$, причем малому интервалу частот от $\omega$ до $\omega+d \omega$ соответствует элементарная гармоническая составляющая с амплитудой $F(\omega) d \omega$. Соответственно сказанному, $F(\omega)$ можно рассматривать как непрерывный амплитудный спектр силы $Q(t)$. Для него справедливо выражение
\[
F(\omega)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} Q(t) e^{-i \omega t} d t,
\]

которое называется преобразованием Фурье или фурьеобразом функции $Q(t)$. Фурье-образ $F(\omega)$-комплексная функция частоты:
\[
F(\omega)=A(\omega)+i B(\omega),
\]

в которой $A(\omega)$ и $B(\omega)$ – вещественные функции частоты. Поскольку $Q(t)$ – вещественная функция, то из (6.42) следует, что
$A(\omega)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} Q(t) \cos \omega t d t, \quad B(\omega)=-\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} Q(t) \sin \omega t d t$,

а интеграл Фурье (6.41) для $Q(t)$ принимает вид
\[
Q(t)=2 \int_{0}^{\infty} A(\omega) \cos \omega t d \omega-2 \int_{0}^{\infty} B(\omega) \sin \omega t d \omega .
\]

Согласно (6.38) элементарная вынуждающая сила $F(\omega) e^{i \omega t} d \omega$ вызывает колебания той же частоты, а их

амплитуда равна $F(\omega) W(\omega) d \omega$. Следовательно, колебания, вызываемые всемп элементарными воздействиями, т. е. заданной вынуждающей силой $Q(t)$, определяются в виде интеграла
\[
q(t)=\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) W(\omega) e^{i \omega t} d \omega,
\]

где $W(\omega)$ – частотная характеристика (6.29), которая в данном случае является непрерывной функцией частоты. Однако перемещение $q(t)$ также можно представить в віде, аналогичном (6.41):
\[
q(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\omega) e^{i \omega t} d \omega,
\]

где $f(\omega)$ – амплитудный спектр перемещения. Сопоставляя выражения (6.46) и (6.47), видим, что
\[
f(\omega)=F(\omega) W(\omega) .
\]

Таким образом, можно сказать, что амплитудный спектр перемещения равен амплитудному спектру вынуждающей силы, умноженному на частотную характерпстику системы.

Рассмотрим пример. Положим, что на линейную систему с одной степенью свободы, начиная с момента $t=0$, действует произвольная вынуждающая сила $Q(t)$, псчезающая в некоторый заданный момент $T$, так что при $t>T$ сила равна нулю. Как будет происходить движение системы после исчезновения силы, т. е. при $t>T$ ?

Перемещения системы при $t>T$ можно определить с помощью (5.19) в виде
\[
\begin{array}{l}
q=\frac{1}{a k} \int_{0}^{T} Q(\xi) \sin k(t-\xi) d \xi= \\
=\frac{1}{a k}\left[\sin k t \int_{0}^{T} Q(\xi) \cos k \xi d \xi-\cos k t \int_{0}^{T} Q(\xi) \sin k \xi d \xi\right] .
\end{array}
\]

Так как при $t<0$ и $t>T$ сила $Q(t)$ равна нулю, то последнее выражение можно записать, формально расширив

пределы интегрирования:
\[
q=\frac{1}{a k}\left[\sin k t \int_{-\infty}^{\infty} Q(\xi) \cos k \xi d \xi-\cos k t \int_{-\infty}^{\infty} Q(\xi) \sin k \xi d \xi\right] .
\]

Согласно (6.48) можно записать
\[
q=\frac{2 \pi}{a k}[A(k) \sin k t+B(k) \cos k t] .
\]

Здесь $A(k)$ и $B(k)$ – составляющие амплитудного спектра вынуждающей силы, соответствующие частоте $\omega=k$. Амплитуда колебаний величины $q(t)$ определяется выражением
\[
q_{\max }=\frac{2 \pi}{a k} \sqrt{A^{2}(k)+B^{2}(k)}=\frac{2 \pi}{a k}|F(k)| .
\]

Отсюда видно, что при любой вынуждающей силе амплитуда «остаточных» колебаний зависит только от модуля величины $F(\omega)$ прп $\omega=k$.