Если на линейную колебательную систему без трения с $s$ степенями свободы действуют внешние силы, являющиеся заданными функциями времени, то уравнения Лагранжа принимают вид
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial q_{j}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{j}}+\frac{\partial \Pi}{\partial q_{j}}=Q_{j} \quad(j=1,2, \ldots, s),
\]

где $Q_{j}=Q_{j}(t)$ – обобщенные вынуждающие силы, соответствующие избранным обобщенным координатам $q_{j}$. Пользуясь общими выражениями (4.2) для кинетической и потенциальной энергии, приходим согласно (8.1) к следующей системе дифференциальных уравнений:
\[
\sum_{k=1}^{s}\left(a_{j k} \ddot{q}_{k}+c_{j k} q_{k}\right)=Q_{j} \quad(j=1,2, \ldots, s) .
\]

Если обобщенные координаты выбраны так, что кинетическая энергия представляется канонической формой (4.6), то $a_{j h}=0$ при $j
eq k$, и спстема уравнений (8.2) упрощается:
\[
a_{j} \ddot{q_{j}}+\sum_{k=1}^{s} c_{j k} q_{k}=Q_{j} \quad(j=1,2, \ldots, s) .
\]

К этим уравнениям, каждое из которых содержит по одному обобщенному ускорению, можно прийти с помощью прямого способа, не пользуясь уравнениями Лагранжа.

Если при соответствующем выборе обобщенных координат к канонической форме приводится потенциальная энергия ( $c_{j k}=0$ при $j
eq k$ ), то уравнения (8.2) принимают вид
\[
\sum_{k=1}^{s} a_{j k} \ddot{q}_{k}+c_{j} q_{j}=Q_{j} \quad(j=1,2, \ldots, s) .
\]

Каждое из уравнений (8.4) содержит по одной обобщенной координате; эти уравнения можно получить непосредственно по обратному способу.

Ниже мы остановимся на некоторых важных типах зависимостей обобщенных вынуждающих сил $Q_{j}(t)$ от времени.