Для того чтобы отразить в решении супергармонические колебания, вновь воспользуемся методом гармонического баланса и положим (для случая симметричной характеристики восстанавливающей силы)
\[
q=A_{1} \sin \omega t+A_{3} \sin 3 \omega t+\ldots+A_{s} \sin s \omega t .
\]
В первый член дифференциального уравнения (7.2) подставим (7.11), а во второй член вместо функции
\[
F\left(A_{1} \sin \omega t+A_{3} \sin 3 \omega t+\ldots+A_{s} \sin s \omega t\right)
\]
подставим $s$ первых членов ее разложения в ряд Фурье $F\left(A_{1} \sin \omega t+A_{3} \sin 3 \omega t+\ldots+A_{s} \sin s \omega t\right) \approx$
\[
\approx b_{1} \sin \omega t+b_{3} \sin 3 \omega t+\ldots+b_{s} \sin s \omega t,
\]
коэффициенты которого
\[
\begin{array}{l}
b_{r}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} F\left(A_{1} \sin \omega t+A_{3} \sin 3 \omega t+\ldots\right. \\
\left.\ldots+A_{s} \sin s \omega t\right) \sin r \omega t d t \quad(r=1,2, \ldots, s)
\end{array}
\]
нелинейно зависят от всех амплитуд $A_{1}, A_{3}, \ldots, A_{s}$.
Таким образом, подстановка (7.11) в дифференциальное уравнение (7.2) приводит к соотношению
\[
\begin{array}{c}
-A_{1} \omega^{2} a \sin \omega t-9 \Lambda_{3} \omega^{2} a \sin 3 \omega t-\ldots+b_{1}\left(A_{1}, A_{3}, \ldots\right) \times \\
\times \sin \omega t+b_{3}\left(A_{1}, A_{3}, \ldots\right) \sin 3 \omega t+\ldots=H \sin \omega t .
\end{array}
\]
Для тождественного выполнения этого равенства нужно приравнять коэффициенты при каждой из гармоник $\sin \omega t, \sin 3 \omega t, \ldots, \sin s \omega t$, содержащихся в левой и правой частях (7.14):
\[
\begin{array}{l}
-A_{1} a \omega^{2}+b_{1}\left(A_{1}, A_{3}, \ldots, A_{s}\right)=H, \\
-9 A_{3} a \omega^{2}+b_{3}\left(A_{1}, A_{3}, \ldots, A_{s}\right)=0 \text {, } \\
\text { — . . . . . . . . . . . . } \\
-s^{2} A_{s} a \omega^{2}+b_{s}\left(A_{1}, A_{3}, \ldots, A_{s}\right)=0 . \\
\end{array}
\]
Из нелинейных уравнений (7.15) можно найти значения амплитуд $A_{1}, A_{3}, \ldots, A_{s}$.
Пусть, например, характеристика силы имеет вид (7.6). Ограничиваясь двумя первыми членами суммы (7.12), имеем
$F(q) \approx c_{0}\left(A_{1} \sin \omega t+A_{3} \sin 3 \omega t\right)+\beta\left(A_{1} \sin \omega t+A_{3} \sin 3 \omega t\right)^{3}$.
Далее, по формулам (7.13) находим
\[
\begin{array}{l}
b_{1}=k_{0}^{2}\left[A_{1}+\frac{3}{4} \frac{\beta}{c_{0}}\left(A_{1}^{3}-A_{1}^{2} A_{3}+2 A_{1} A_{3}^{2}\right)\right], \\
b_{3}=k_{0}^{2}\left[A_{3}+\frac{1}{4} \frac{\beta}{c_{0}}\left(-A_{1}^{3}+6 A_{1}^{2} A_{3}+3 A_{3}^{3}\right)\right],
\end{array}
\]
$\left(k_{0}^{2}=c / a\right)$ и уравнения (7.15) принимают вид
\[
\begin{array}{c}
\left(k_{0}^{2}-\omega^{2}\right) A_{1}+\frac{3}{4} \frac{\beta}{a}\left(A_{1}^{3}-A_{1}^{2} A_{3}+2 A_{3}^{2} A_{1}\right)=\frac{H}{a}, \\
\left(k_{0}^{2}-9 \omega^{2}\right) A_{3}+\frac{3}{4} \frac{\beta}{a}\left(-\frac{1}{3} A_{1}^{3}+2 A_{1}^{2} A_{3}+A_{3}^{3}\right)=0 .
\end{array}
\]
Положив в первом уравнении $\beta=0$, приближенно найдем выражение для амплитуды основных колебаний:
\[
A_{1}=\frac{H}{a\left(k_{0}^{2}-\omega^{2}\right)} .
\]
Сохранив в последних скобках второго уравнения (7.16) только основное слагаемое $-\frac{1}{3} A_{1 \text { s }}^{3}$ также приближенно получим амплитуду супергармонических колебаний
\[
A_{3}=\frac{\beta A_{1}^{3}}{4 a\left(k_{0}^{2}-9 \omega^{2}\right)^{\varepsilon}}
\]
т. е. малую величину порядка $\beta$. Если подставить найденные первые приближения в отброшенные члены уравнения (7.16), то получим улучшенные значения $A_{1}$ и $A_{3}$, причем поправка для $A_{1}$ будет иметь порядок $\beta$, а поправка для $A_{3}$ — порядок $\beta^{2}$. Этот процесс последовательных приближений можно продолжить и далее.
Важно отметить, что амплитуда супергармонических колебаний $A_{3}$ м ал а сравнительно с амплитудой $A_{1}$ основных колебаний (конечно, при условии, что не мала разность $\left.k_{0}^{2}-9 \omega^{2}\right)$.
