То же соотношение энергетического баланса может быть положено в основу исследования вынужденных колебаний при наличии «частотно-независимого» гистерезиса. Для этого нужно приравнять плотадь петли гистерезиса, определяемую формулой (2.43)
\[
\Omega=\alpha A^{n+1} .
\]

работе, совершаемой за один период эквивалентной силой линейного трения. Эта работа вдвое больше правой части соотношения (6.53), вычисленной для полупериода, так что получаем равенство
\[
\alpha A^{n+1}=\pi A^{2} \omega b_{0} .
\]

Отсюда находим коэффициент эквивалентного линейного трения в виде
\[
b_{0}=\frac{\overline{\alpha A}{ }^{n-1}}{\pi \omega},
\]

и уравнение (6.56) принимает вид
\[
A=\frac{H}{c \sqrt{\left(1-\frac{\omega^{2}}{k^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\alpha A^{n-1}}{\pi c}\right)^{2}}} .
\]
Решение этого нелинейного алгебраического уравнения несложно при значениях $n=0$ (сухое трение) и $n=2$; для вычислений при иных значениях $n$ удобнєе пользоваться обратной зависимостью
\[
\frac{\omega}{k}=\sqrt{1 \pm \frac{H}{c A} \sqrt{1-\left(\frac{\alpha A^{n}}{\pi H}\right)^{2}}} .
\]

Для резонансных условий ( $\omega=k$ ) из (6.57) сразу находим $A=\sqrt[n]{\pi H / \alpha}$.

Отметим, что гистерезисную силу трения при незатухающих гармонических колебаниях удобно описывать соотношением
\[
R=\frac{\alpha A^{n}}{\pi} \sqrt{1-\frac{q^{2}}{A^{2}}} \operatorname{sign} \dot{q} .
\]
(эллиптическая петля гистерезиса – см. рис. 6.8), которое соответствует выражению (2.43) для рассеиваемой за один цикл энергии. Если воспользоваться выражением (6.58), то можно найти установившиеся вынужденные колебания, не прибегая к методу энергетического бабанса, непосредственно из дифференциального уравнения движения
\[
\begin{array}{c}
\ddot{q}+\frac{\alpha A^{n}}{\pi a} \sqrt{1-\frac{q^{2}}{A^{2}}} \operatorname{sign} \dot{q}+ \\
+k^{2} q=\frac{H}{a} \sin \omega t . \quad(6.59)
\end{array}
\]

Рис. 6.8
Это, казалось бы, сложное, нелинейное уравнение имеет весьма простое точное решение
\[
q=A \sin (\omega t-\gamma) .
\]

Для определения $A$ и $\gamma$ подставим решение (6.60) в уравнение (6.59), получим
\[
\begin{array}{l}
-A \omega^{2} \sin (\omega t-\gamma)+\frac{\alpha A^{n}}{\pi a} \cos (\omega t-\gamma) \\
\quad+A k^{2} \sin (\omega t-\gamma)=\frac{H}{a} \sin \omega t .
\end{array}
\]

Второй член в левой части записан без множителя $\operatorname{sign} \dot{q}$, так как нужная для уравнения смена знака силы тре-

ния (при изменении знака скорости) здесь обеспечивается изменением знака косинуса. Преобразуя соотношение (6.61), получаем
\[
\begin{array}{l}
{\left[A\left(k^{2}-\omega^{2}\right) \cos \gamma+\frac{\alpha A^{n}}{\pi a} \sin \gamma-\frac{H}{a}\right] \sin \omega t-} \\
-\left[A\left(k^{2}-\omega^{2}\right) \sin \gamma-\frac{\alpha A^{n}}{\pi a} \cos \gamma\right] \cos \omega t=0 .
\end{array}
\]

Для тождественного выполнения этого равенства необходимо, чтобы выражения, стоящие в квадратных скобках, были порознь равны нулю, т. е.
\[
\begin{array}{l}
A\left(k^{2}-\omega^{2}\right) \cos \gamma+\frac{\alpha A^{n}}{\pi a} \sin \gamma=\frac{H}{a}, \\
A\left(k^{2}-\omega^{2}\right) \sin \gamma-\frac{\alpha A^{n}}{\pi a} \cos \gamma=0,
\end{array}
\]

Отсюда ваходим
\[
A=\frac{H}{c \sqrt{\left(1-\frac{\omega^{2}}{k^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\alpha A^{n-1}}{\pi c}\right)^{2}}} \operatorname{tg} \gamma=\frac{\alpha A^{n-1}}{\pi a\left(k^{2}-\omega^{2}\right)} \bullet
\]

Заметим, что первое из соотношений (6.62) совпадает с ранее найденным соотношением (6.57).