В некоторых системах основной причиной затухания колебаний является не непрерывное действие сил трения, а мгновенные потери энергии при соударениях. Рассмотрим случай, когда такие соударения происходят всякий раз, когда система проходит через положение равновесия, причем мгновенная потеря энергии пропорциональна энергии системы перед соударением. В этом случае мгновенную потерю энергии удобно представить через скорость системы $v$ перед соударением;
\[
\Omega=b v^{2},
\]

где $b$ – некоторый постоянный коэффициент, имеющий размерность массы.

Рассмотрим какой-либо полуцикл колебаний, который начинается при наибольшем отклонении $A(0)$.

В течение первой четверти цикла система движется с постоянной энергией $\frac{1}{2} c A^{2}(0)$, и квадрат скорости в конце этой четверти цикла равен $v^{2}=\frac{c}{a} A^{2}(0)$. После этого происходит соударение и вследствие этого – мгновенная потеря энергии на величину (2.46); далее система начинает движение, обладая энергией
\[
\frac{c A^{2}(0)}{2}-\frac{b c}{a} A^{2}(0)=\frac{c A^{2}(0)}{2}\left(1-\frac{2 b}{a}\right),
\]

которая остается постоянной в течение всей второй четверти цикла. Поэтому, в момент, завершающий эту четверть цикла, потенциальная энергия равна величине (2.47):
\[
\frac{c A^{2}(T / 2)}{2}=\frac{c A^{2}(0)}{2}\left(1-\frac{2 b^{\mathrm{c}}}{a}\right) .
\]

Отсюда находим отношение отклонений в начале и конце первого полуцикла:
\[
\frac{A(0)}{A(T / 2)}=\frac{1}{\sqrt{1-2 b / a}} .
\]

Для следующего полуцикла аналогично можно получить
\[
\frac{A(T / 2)}{A(T)}=\frac{1}{\sqrt{1-2 b / a}}
\]

Сравнивая наибольшие отклонения $A(0)$ и $A(T)$, находим
\[
\frac{A(0)}{A(T)}=\frac{1}{1-2 b / a}
\]
т. е. отношение последовательных наибольших отклонений является постоянной величиной. Отсюда можно заключить, что огибающая кривой затухающих колебаний представляет собой экспоненту
\[
A=A_{0} e^{-h t},
\]

которая характеризуется логарифмическим декрементом
\[
\Lambda=h T=\ln \frac{1}{1-2 b / a} .
\]

При малых отношениях $2 b / a$ можно принять
\[
\Lambda \approx 2 b / a \text {. }
\]

Фазовая диаграмма для рассматриваемого процесса представлена на рис. 2.8 ; она состоит из отрезков оси $\dot{q}$ и эллиптических дуг.