Во многих технических приложениях возникает задача
Рис. 5.13
o колебаниях, вызываемых действием негармонической, но периодической силы (рис. 5.13)
$$Q(t)=Q(t+T),$$

где $T$ — период изменения силы. На стр. 107 в связи со случаем гармонического возбуждения колебаний было отмечено, что вследствие нензбежных сопротивлений постепенно исчезают колебания, происходящие с собственной частотой, и можно принять, что по истечении некоторого времени обобщенная координата меняется в «ритме» изменения вынуждающей силы по закону (5.15). Те же соображения позволяют и в рассматриваемом здесь случае периодического возбуждения ограничиться учетом только установившихся вынужденных колебаний. Для решения этой задачи можно воспользоваться двумя путями.

Первый из них основан на разложении функции (5.22) в ряд Фурье:
$$Q(t)=\frac{G_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(G_n\cos n\omega t+H_n\sin n\omega t),$$

коэфициенты которого определяются формулами
$$\begin{array}{c}{G}_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T!}Q(t)\cos n\omega tdt,H_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}Q(t)\sin n\omega tdt\\ (n=0,1,2,\dots ).\end{array}$$

Записав уравнение (5.5) в виде
$$\ddot{aq}+cq=\frac{G_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(G_n\cos n\omega t+H_n\sin n\omega t),$$

учтем, что система линей на; это значит, что можно рассмотреть по отдельности действие каждого из слагаемых вынуждающей силы и найти установившиеся вынужденные колебания, а затем сложить полученные результаты:
$$q=\frac{1}{c}[\frac{G_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{G_n\cos n\omega t+H_n\sin n\omega t}{1-n^2{\omega }^2/k^2}].$$

Таким образом, движение, вызываемое полигармонической вынуждающей силой, также является полигармоническим. Конечно, отношения между амплитудами гармоник этого движения не равны отнопениям между амплитудами соответствующих гармоник вынуждающей силы; в частности, может случиться, что какая-либо $n$-я

составляющая вынуждающей силы с относительно небольшой амплитудой вызывает особенно значительные колебания. Это будет тогда, когда частота $n\omega$ этой гармоники близка к собственной частоте $k$, так как при этом знаменатель соответствующего члена суммы (5.25) близок к нулю. При равенстве частот $n\omega =k$ наступает резонанс (за исключением случаев, когда соответствующие величины $G_n$ и $H_n$ равны нулю).

Описанный способ отчетливо выделяет опасные возможности резонансных режимов, но не очень удобен, так как приводит к бесконечным рядам, которые не всегда достаточно быстро сходятся.

Рассмотрим теперь иной способ, который приводит к замкнутому решению для установившихся вынужденных колебаний. Рассматривая действие периодической силы (5.22), будем разыскивать решение $q=q(t)$, имеющее тот же период $T$, что и у силы, т. е. оно должно удовлетворять условиям периодичности:
$$q_0=q(0)=q(T),{\dot{q}}_0=\dot{q}(0)=\dot{q}(T),$$

где $q_0$ и ${\dot{q}}_0$ — обобщенная координата и обобщенная скорость в момент, принимаемый за начало отсчета времени $t$. Движение в интервале $[0,T]$ описывается выражением
$$q=q_0\cos kt+\frac{{\dot{q}}_0}{k}\sin kt+\frac{1}{ak}{\int }_0^{t}Q(\xi )\sin k(t-\xi )d\xi ,$$

которое является обобщением решения (5.19) на случай ненулевых значений $q_0$ и ${\dot{q}}_0$.

Для дальнейшего необходимо образовать выражение обобщенной скорости $\dot{q}$. При дифференцировании по времени $t$ интеграла, входящего в (5.27), должно получиться два слагаемых: первое представляет производную по верхнему пределу $t$ и равно подынтегральной функции при $\xi =t$, а второе — результат дифференцирования по $t$, входящему как параметр под знак интеграла. Но первое из этих слагаемых равно нулю и, таким образом,
$$\dot{q}=-q_{0}k\sin kt+{\dot{q}}_0\cos kt+\frac{1}{a}{\int }_0^{t}Q(\xi )\cos k(t-\xi )d\xi .$$

Для момента времени $t=T$ выражения (5.27) и (5.28) дают
$$\begin{array}{c}q(T)=q_0\cos kT+\frac{{\dot{q}}_0}{k}\sin kT+\frac{1}{ak}{\int }_0^{T}Q(\xi )\sin k(T-\xi )d\xi ,\\ \dot{q}(T)=-q_{0}k\sin kT+{\dot{q}}_0\cos kT+\frac{1}{a}{\int }_0^{T}Q(\xi )\cos k(T-\xi )d\xi .\end{array}$$

Теперь введем сокращеншые обозначения для постоянных величин:
$${\int }_0^{T}Q(\xi )\cos k\xi d\xi =C_0,{\int }_0^{T}Q(\xi )\sin k\xi d\xi =S_0$$

II перепишем выражения (5.29) в виде
$$\begin{array}{l}{q}_0=q_0\cos kT+\frac{{\dot{q}}_0}{k}\sin kT+\frac{\sin kT}{ak}{C}_0-\frac{\cos kT}{ak}{S}_0,\\ {\dot{q}}_0=-q_{0}k\sin kT+{\dot{q}}_0\cos kT+\frac{\cos kT}{a}{C}_0+\frac{\sin kT}{a}{S}_0.\end{array}$$

В левых частях этих соотношений заменено $q(T)$ на $q_0$ и $\dot{q}(T)$ на ${\dot{q}}_0$, как это следует из условий периодичности решения (5.26). Два соотношения (5.31) представляют собой простую систему двух алгебраических уравнений относительно неизвестных $q_0$ и ${\dot{q}}_0$; решив ее, найдем
$$q_0=\frac{1}{2ak}[C_0\mathrm{ctg}\frac{kT}{2}+S_0],{\dot{q}}_0=\frac{1}{2a}[S_0\mathrm{ctg}\frac{kT}{2}-C_0].$$

Теперь с помощью выражения (5.27) можно окончательно получить
$$\begin{array}{l}q(t)=\frac{1}{2ak}[(C_0\mathrm{ctg}\frac{kT}{2}+S_0)\cos kt+\\ +(S_0\mathrm{ctg}\frac{kT}{2}-C_0)\sin kt+2{\int }_0^{t}Q(\xi )\sin k(t-\xi )d\xi ].\end{array}$$

Это решение представляет движение в промежутке времени $[0,T]$, и в него нельзя формально подставлять $t>T$. Однако, имея график $q(t)$ для $0⩽t⩽T$, можно

вследствие периодичности решешия без всяких пзменений сместить его в соседние промежутки $[T,2T],[2T,3T],\dots$

Iример 5.6. Найти установившиеся вынужденные колебания, вызываемые в линейпой системе с одной степенью свободы
Рис. 5.14

периодической кусочпо-постоянной вынуждающей силой $Q(t+T)=Q(t)$ (рис. 5.14):
$$Q_i^{\ast }(t{)}_2^{\prime }=Q_0\text{ при\_0. }<t<\frac{T}{2},Q_{:}(t)=-Q_0\text{ при }\frac{T}{2}<t<T.$$

Пользуясь разложением в ряд Фурье, по формулам (5.24) находим
$$\begin{array}{c}{G}_n=0(n=0,1,2,3,\dots );\\ H_n=\frac{4Q_0}{\pi n}(n=1,3,5,\dots );H_n=0(n_n=2,4,6,\dots ),\end{array}$$

и согласно (5.25) исследуемые колебания представляются суммой нечетпых гармоник:
$$q=\frac{4Q_0}{\pi n}\sum _{n=1,3,5,\dots }^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin n\omega t}{n[1-(n\omega /k{)}^2]}.$$

При $k/\omega =n(n=1,3,5,\dots$ ) наступает резонанс.
Воспользуемся теперь вторым способом решения. Для этого предварительно вычислим по формулам (5.30):
$$c_0=\frac{2Q_0}{k}\sin \frac{kT}{2}(1-\cos \frac{kT}{2}),S_0=-\frac{2Q_0}{k}\cos \frac{kT}{2}(1-\cos \frac{kT}{2}).$$

Теперь выражение (5.33) принимает вид
$$\begin{array}{c}q=\frac{Q_0}{c}(1-\cos kt-\mathrm{tg}\frac{kT}{4}\sin kt)(0<t<\frac{T}{2}),\\ q=-\frac{Q_0}{c}[1-\cos k(t-\frac{T}{2})-\mathrm{tg}\frac{kT}{4}\sin k(t-\frac{T}{2})]\\ (\frac{T}{2}<t<T).\end{array}$$

Как видно, этот результат значительно более удобен для последующих вычислений, чем ряд, полученный выше по первому способу. Отметим, что и в этой записи сразу можно выделить прежнее условие резонанса $kT/4=n\pi /2(n=1,3,5,\dots )$.

Пример 5.7. Найти напбольшее отклопеппе линейвой системы с одной степенью свободы от положения равновесия, если на нее действует периодическая последовательность одпосторонне направленных мгповенных импульсов $S$, имеющих период чередовапия $T$, вдвое меньший собственпого периода $2\pi /k$.

В данном случае разложение в ряд особенпо неэффективно изза его медленной сходимости. Воспользуемся вторым способом
Рис. 5.15

решепия и примем за начало отсчета времени момент, нешосредственно следующий за момептом приложения какого-либо импульса. По формулам (5.30) пайдем
$$C_0=S,S_0=0.$$

Кроме того, в дапном случае
$${\int }_0^{t}Q(\xi )\sin k(t-\xi )d\xi =S\sin kt.$$

Іодставляя его в выражешие (5.33) и учитывая, что $kT=\pi$, получаем
$$q(t)=\frac{S\sin (\pi t/T)}{2ak}.$$

Наибольщее отклогепие равно $S/(2ak)$, т. е. вдвое меньше, чем в случае действия одпонатпого импльса. Графнк движения показан на рис. 5.15, а. Іа Ірафике скорости (рис. 5.15, б) ясно видны разрывы скорости, обусловленные приложением импульсов.