Во многих технических приложениях возникает задача
Рис. 5.13
o колебаниях, вызываемых действием негармонической, но периодической силы (рис. 5.13)
\[
Q(t)=Q(t+T),
\]

где $T$ – период изменения силы. На стр. 107 в связи со случаем гармонического возбуждения колебаний было отмечено, что вследствие нензбежных сопротивлений постепенно исчезают колебания, происходящие с собственной частотой, и можно принять, что по истечении некоторого времени обобщенная координата меняется в «ритме» изменения вынуждающей силы по закону (5.15). Те же соображения позволяют и в рассматриваемом здесь случае периодического возбуждения ограничиться учетом только установившихся вынужденных колебаний. Для решения этой задачи можно воспользоваться двумя путями.

Первый из них основан на разложении функции (5.22) в ряд Фурье:
\[
Q(t)=\frac{G_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(G_{n} \cos n \omega t+H_{n} \sin n \omega t\right),
\]

коэфициенты которого определяются формулами
\[
\begin{array}{c}
G_{n}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T !} Q(t) \cos n \omega t d t, \quad H_{n}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} Q(t) \sin n \omega t d t \\
(n=0,1,2, \ldots) .
\end{array}
\]

Записав уравнение (5.5) в виде
\[
\ddot{a q}+c q=\frac{G_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(G_{n} \cos n \omega t+H_{n} \sin n \omega t\right),
\]

учтем, что система линей на; это значит, что можно рассмотреть по отдельности действие каждого из слагаемых вынуждающей силы и найти установившиеся вынужденные колебания, а затем сложить полученные результаты:
\[
q=\frac{1}{c}\left[\frac{G_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{G_{n} \cos n \omega t+H_{n} \sin n \omega t}{1-n^{2} \omega^{2} / k^{2}}\right] .
\]

Таким образом, движение, вызываемое полигармонической вынуждающей силой, также является полигармоническим. Конечно, отношения между амплитудами гармоник этого движения не равны отнопениям между амплитудами соответствующих гармоник вынуждающей силы; в частности, может случиться, что какая-либо $n$-я

составляющая вынуждающей силы с относительно небольшой амплитудой вызывает особенно значительные колебания. Это будет тогда, когда частота $n \omega$ этой гармоники близка к собственной частоте $k$, так как при этом знаменатель соответствующего члена суммы (5.25) близок к нулю. При равенстве частот $n \omega=k$ наступает резонанс (за исключением случаев, когда соответствующие величины $G_{n}$ и $H_{n}$ равны нулю).

Описанный способ отчетливо выделяет опасные возможности резонансных режимов, но не очень удобен, так как приводит к бесконечным рядам, которые не всегда достаточно быстро сходятся.

Рассмотрим теперь иной способ, который приводит к замкнутому решению для установившихся вынужденных колебаний. Рассматривая действие периодической силы (5.22), будем разыскивать решение $q=q(t)$, имеющее тот же период $T$, что и у силы, т. е. оно должно удовлетворять условиям периодичности:
\[
q_{0}=q(0)=q(T), \quad \dot{q}_{0}=\dot{q}(0)=\dot{q}(T),
\]

где $q_{0}$ и $\dot{q}_{0}$ – обобщенная координата и обобщенная скорость в момент, принимаемый за начало отсчета времени $t$. Движение в интервале $[0, T]$ описывается выражением
\[
q=q_{0} \cos k t+\frac{\dot{q}_{0}}{k} \sin k t+\frac{1}{a k} \int_{0}^{t} Q(\xi) \sin k(t-\xi) d \xi,
\]

которое является обобщением решения (5.19) на случай ненулевых значений $q_{0}$ и $\dot{q}_{0}$.

Для дальнейшего необходимо образовать выражение обобщенной скорости $\dot{q}$. При дифференцировании по времени $t$ интеграла, входящего в (5.27), должно получиться два слагаемых: первое представляет производную по верхнему пределу $t$ и равно подынтегральной функции при $\xi=t$, а второе – результат дифференцирования по $t$, входящему как параметр под знак интеграла. Но первое из этих слагаемых равно нулю и, таким образом,
\[
\dot{q}=-q_{0} k \sin k t+\dot{q}_{0} \cos k t+\frac{1}{a} \int_{0}^{t} Q(\xi) \cos k(t-\xi) d \xi .
\]

Для момента времени $t=T$ выражения (5.27) и (5.28) дают
\[
\begin{array}{c}
q(T)=q_{0} \cos k T+\frac{\dot{q}_{0}}{k} \sin k T+\frac{1}{a k} \int_{0}^{T} Q(\xi) \sin k(T-\xi) d \xi, \\
\dot{q}(T)=-q_{0} k \sin k T+\dot{q}_{0} \cos k T+\frac{1}{a} \int_{0}^{T} Q(\xi) \cos k(T-\xi) d \xi .
\end{array}
\]

Теперь введем сокращеншые обозначения для постоянных величин:
\[
\int_{0}^{T} Q(\xi) \cos k \xi d \xi=C_{0}, \quad \int_{0}^{T} Q(\xi) \sin k \xi d \xi=S_{0}
\]

II перепишем выражения (5.29) в виде
\[
\begin{array}{l}
q_{0}=q_{0} \cos k T+\frac{\dot{q}_{0}}{k} \sin k T+\frac{\sin k T}{a k} C_{0}-\frac{\cos k T}{a k} S_{0}, \\
\dot{q}_{0}=-q_{0} k \sin k T+\dot{q}_{0} \cos k T+\frac{\cos k T}{a} C_{0}+\frac{\sin k T}{a} S_{0} .
\end{array}
\]

В левых частях этих соотношений заменено $q(T)$ на $q_{0}$ и $\dot{q}(T)$ на $\dot{q}_{0}$, как это следует из условий периодичности решения (5.26). Два соотношения (5.31) представляют собой простую систему двух алгебраических уравнений относительно неизвестных $q_{0}$ и $\dot{q}_{0}$; решив ее, найдем
\[
q_{0}=\frac{1}{2 a k}\left[C_{0} \operatorname{ctg} \frac{k T}{2}+S_{0}\right], \quad \dot{q}_{0}=\frac{1}{2 a}\left[S_{0} \operatorname{ctg} \frac{k T}{2}-C_{0}\right] .
\]

Теперь с помощью выражения (5.27) можно окончательно получить
\[
\begin{array}{l}
q(t)=\frac{1}{2 a k}\left[\left(C_{0} \operatorname{ctg} \frac{k T}{2}+S_{0}\right) \cos k t+\right. \\
\left.+\left(S_{0} \operatorname{ctg} \frac{k T}{2}-C_{0}\right) \sin k t+2 \int_{0}^{t} Q(\xi) \sin k(t-\xi) d \xi\right] .
\end{array}
\]

Это решение представляет движение в промежутке времени $[0, T]$, и в него нельзя формально подставлять $t>T$. Однако, имея график $q(t)$ для $0 \leqslant t \leqslant T$, можно

вследствие периодичности решешия без всяких пзменений сместить его в соседние промежутки $[T, 2 T],[2 T, 3 T], \ldots$

Iример 5.6. Найти установившиеся вынужденные колебания, вызываемые в линейпой системе с одной степенью свободы
Рис. 5.14

периодической кусочпо-постоянной вынуждающей силой $Q(t+T)=Q(t)$ (рис. 5.14):
\[
Q_{i}^{*}(t)_{2}^{\prime}=Q_{0} \quad \text { при_0. }<t<\frac{T}{2}, \quad Q_{:}(t)=-Q_{0} \quad \text { при } \quad \frac{T}{2}<t<T .
\]

Пользуясь разложением в ряд Фурье, по формулам (5.24) находим
\[
\begin{array}{c}
G_{n}=0 \quad(n=0,1,2,3, \ldots) ; \\
H_{n}=\frac{4 Q_{0}}{\pi n} \quad(n=1,3,5, \ldots) ; \quad H_{n}=0 \quad\left(n_{n}=2,4,6, \ldots\right),
\end{array}
\]

и согласно (5.25) исследуемые колебания представляются суммой нечетпых гармоник:
\[
q=\frac{4 Q_{0}}{\pi n} \sum_{n=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{\sin n \omega t}{n\left[1-(n \omega / k)^{2}\right]} .
\]

При $k / \omega=n(n=1,3,5, \ldots$ ) наступает резонанс.
Воспользуемся теперь вторым способом решения. Для этого предварительно вычислим по формулам (5.30):
\[
c_{0}=\frac{2 Q_{0}}{k} \sin \frac{k T}{2}\left(1-\cos \frac{k T}{2}\right), \quad S_{0}=-\frac{2 Q_{0}}{k} \cos \frac{k T}{2}\left(1-\cos \frac{k T}{2}\right) .
\]

Теперь выражение (5.33) принимает вид
\[
\begin{array}{c}
q=\frac{Q_{0}}{c}\left(1-\cos k t-\operatorname{tg} \frac{k T}{4} \sin k t\right) \quad\left(0<t<\frac{T}{2}\right), \\
q=-\frac{Q_{0}}{c}\left[1-\cos k\left(t-\frac{T}{2}\right)-\operatorname{tg} \frac{k T}{4} \sin k\left(t-\frac{T}{2}\right)\right] \\
\left(\frac{T}{2}<t<T\right) .
\end{array}
\]

Как видно, этот результат значительно более удобен для последующих вычислений, чем ряд, полученный выше по первому способу. Отметим, что и в этой записи сразу можно выделить прежнее условие резонанса $k T / 4=n \pi / 2(n=1,3,5, \ldots)$.

Пример 5.7. Найти напбольшее отклопеппе линейвой системы с одной степенью свободы от положения равновесия, если на нее действует периодическая последовательность одпосторонне направленных мгповенных импульсов $S$, имеющих период чередовапия $T$, вдвое меньший собственпого периода $2 \pi / k$.

В данном случае разложение в ряд особенпо неэффективно изза его медленной сходимости. Воспользуемся вторым способом
Рис. 5.15

решепия и примем за начало отсчета времени момент, нешосредственно следующий за момептом приложения какого-либо импульса. По формулам (5.30) пайдем
\[
C_{0}=S, \quad S_{0}=0 .
\]

Кроме того, в дапном случае
\[
\int_{0}^{t} Q(\xi) \sin k(t-\xi) d \xi=S \sin k t .
\]

Іодставляя его в выражешие (5.33) и учитывая, что $k T=\pi$, получаем
\[
q(t)=\frac{S \sin (\pi t / T)}{2 a k} .
\]

Наибольщее отклогепие равно $S /(2 a k)$, т. е. вдвое меньше, чем в случае действия одпонатпого импльса. Графнк движения показан на рис. 5.15, а. Іа Ірафике скорости (рис. 5.15, б) ясно видны разрывы скорости, обусловленные приложением импульсов.