Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Во многих технических приложениях возникает задача где $T$ — период изменения силы. На стр. 107 в связи со случаем гармонического возбуждения колебаний было отмечено, что вследствие нензбежных сопротивлений постепенно исчезают колебания, происходящие с собственной частотой, и можно принять, что по истечении некоторого времени обобщенная координата меняется в «ритме» изменения вынуждающей силы по закону (5.15). Те же соображения позволяют и в рассматриваемом здесь случае периодического возбуждения ограничиться учетом только установившихся вынужденных колебаний. Для решения этой задачи можно воспользоваться двумя путями. Первый из них основан на разложении функции (5.22) в ряд Фурье: коэфициенты которого определяются формулами Записав уравнение (5.5) в виде учтем, что система линей на; это значит, что можно рассмотреть по отдельности действие каждого из слагаемых вынуждающей силы и найти установившиеся вынужденные колебания, а затем сложить полученные результаты: Таким образом, движение, вызываемое полигармонической вынуждающей силой, также является полигармоническим. Конечно, отношения между амплитудами гармоник этого движения не равны отнопениям между амплитудами соответствующих гармоник вынуждающей силы; в частности, может случиться, что какая-либо $n$-я составляющая вынуждающей силы с относительно небольшой амплитудой вызывает особенно значительные колебания. Это будет тогда, когда частота $n \omega$ этой гармоники близка к собственной частоте $k$, так как при этом знаменатель соответствующего члена суммы (5.25) близок к нулю. При равенстве частот $n \omega=k$ наступает резонанс (за исключением случаев, когда соответствующие величины $G_{n}$ и $H_{n}$ равны нулю). Описанный способ отчетливо выделяет опасные возможности резонансных режимов, но не очень удобен, так как приводит к бесконечным рядам, которые не всегда достаточно быстро сходятся. Рассмотрим теперь иной способ, который приводит к замкнутому решению для установившихся вынужденных колебаний. Рассматривая действие периодической силы (5.22), будем разыскивать решение $q=q(t)$, имеющее тот же период $T$, что и у силы, т. е. оно должно удовлетворять условиям периодичности: где $q_{0}$ и $\dot{q}_{0}$ — обобщенная координата и обобщенная скорость в момент, принимаемый за начало отсчета времени $t$. Движение в интервале $[0, T]$ описывается выражением которое является обобщением решения (5.19) на случай ненулевых значений $q_{0}$ и $\dot{q}_{0}$. Для дальнейшего необходимо образовать выражение обобщенной скорости $\dot{q}$. При дифференцировании по времени $t$ интеграла, входящего в (5.27), должно получиться два слагаемых: первое представляет производную по верхнему пределу $t$ и равно подынтегральной функции при $\xi=t$, а второе — результат дифференцирования по $t$, входящему как параметр под знак интеграла. Но первое из этих слагаемых равно нулю и, таким образом, Для момента времени $t=T$ выражения (5.27) и (5.28) дают Теперь введем сокращеншые обозначения для постоянных величин: II перепишем выражения (5.29) в виде В левых частях этих соотношений заменено $q(T)$ на $q_{0}$ и $\dot{q}(T)$ на $\dot{q}_{0}$, как это следует из условий периодичности решения (5.26). Два соотношения (5.31) представляют собой простую систему двух алгебраических уравнений относительно неизвестных $q_{0}$ и $\dot{q}_{0}$; решив ее, найдем Теперь с помощью выражения (5.27) можно окончательно получить Это решение представляет движение в промежутке времени $[0, T]$, и в него нельзя формально подставлять $t>T$. Однако, имея график $q(t)$ для $0 \leqslant t \leqslant T$, можно вследствие периодичности решешия без всяких пзменений сместить его в соседние промежутки $[T, 2 T],[2 T, 3 T], \ldots$ Iример 5.6. Найти установившиеся вынужденные колебания, вызываемые в линейпой системе с одной степенью свободы периодической кусочпо-постоянной вынуждающей силой $Q(t+T)=Q(t)$ (рис. 5.14): Пользуясь разложением в ряд Фурье, по формулам (5.24) находим и согласно (5.25) исследуемые колебания представляются суммой нечетпых гармоник: При $k / \omega=n(n=1,3,5, \ldots$ ) наступает резонанс. Теперь выражение (5.33) принимает вид Как видно, этот результат значительно более удобен для последующих вычислений, чем ряд, полученный выше по первому способу. Отметим, что и в этой записи сразу можно выделить прежнее условие резонанса $k T / 4=n \pi / 2(n=1,3,5, \ldots)$. Пример 5.7. Найти напбольшее отклопеппе линейвой системы с одной степенью свободы от положения равновесия, если на нее действует периодическая последовательность одпосторонне направленных мгповенных импульсов $S$, имеющих период чередовапия $T$, вдвое меньший собственпого периода $2 \pi / k$. В данном случае разложение в ряд особенпо неэффективно изза его медленной сходимости. Воспользуемся вторым способом решепия и примем за начало отсчета времени момент, нешосредственно следующий за момептом приложения какого-либо импульса. По формулам (5.30) пайдем Кроме того, в дапном случае Іодставляя его в выражешие (5.33) и учитывая, что $k T=\pi$, получаем Наибольщее отклогепие равно $S /(2 a k)$, т. е. вдвое меньше, чем в случае действия одпонатпого импльса. Графнк движения показан на рис. 5.15, а. Іа Ірафике скорости (рис. 5.15, б) ясно видны разрывы скорости, обусловленные приложением импульсов.
|
1 |
Оглавление
|