$\mathrm{K}$ дифференциальному уравнению (5.6) сводятся не только задачи о силовом возбуждении, но также задачи о кинематическом возбуждении, когда колебания механической системы вызываются некоторым заданным (в частности, колебательным) движением каких-либо ее точек.

Так, например, если к грузу маятника не приложена сила, но ось шарнира обладает горизонтальной подвижностью и ей заданы колебания $x=x(t)$, то они вызовут колебания и самого маятника (рис. 5.1, в). Для того чтобы получить дифференциальное уравнение абсолютного движения, зашишем (сравнить с выражениями (5.7)):
\[
T=\frac{m(\dot{x}+l \dot{\varphi})^{2}}{2}, \quad \Pi=\frac{m g l \varphi^{2}}{2}, \quad Q=0 ;
\]

отсюда для угла $\varphi$ следует уравнение Лагранжа
\[
\ddot{\varphi}+\frac{g}{l} \varphi=-\frac{\ddot{x}}{l} .
\]

Как видно, оно совпадает с основным дифференциальным уравнением (5.8), составленным для случая силового возбуждения, если ввести эквивалентную вынуждающую силу $Q(t)=-m \ddot{x}$.

Возможна несколько иная трактовка этой задачи, если рассматривать движение маятника как сложное, состоящее из заданного поступательного переносного движения вместе с шарниром и искомого относительного вращательного движения. Дифференңиальное уравнение относительного движения следует составлять с учетом переносной силы инерции – тй , момент которой составляет $-m l \ddot{x}$. При этом придем к уравнению моментов
\[
-m g l \varphi-m l \ddot{x}=m l^{2} \ddot{\varphi},
\]

которое совпадает с уравнением (5.11).
Формально системы, показанные на рис. 5.1, a, в, обладают различным числом степеней свободы, так как положение системы на рис. 5.1, в определяется двумя координатами – углом $\varphi$ и линейным перемещением $x$. Но координата $x(t)$ задана, она не «свободная», так что второй степенью свободы система в сущности не обладает; «свободной» координатой, т. е. неизвестной функцией времени, является только угол отклонения $\varphi$ и, как мы видели, для его определения достаточно одного дифференциального уравнения (5.6).

Конечно, в этой задаче можно составить и второе уравнение गагранжа, соответствуюее кордипате $x$. Из такого уравнения определяется приложешная к оси шарнира сила, необходимая для создания заданиого движения шарнира: вшрочем, вопрос об определении этой силы может и не возникать.

На рис. 5.2 показаны еще два примера систем с кинематическим возбуждением колебаний. В первом случае вертикальные колебания упруго подвешенного груза 1 вызываются заданными вертикальными колебаніями платформы 2; во втором случае крутильные колебания

диска 1 возникают из-за вращательных колебаний опорного диска 2 , которые здесь считаются заданными.

В подобных случаях удобнее составлять дифференциальные уравнения относительного движения тел, обозначенных на рисунках дифрами 1. Результаты решения такой задачи позволяют сразу определить усилия в упругих элементах.

Пример 5.1. Составить дифференциальное уравнение вертикальных колебаний упруго подрессоренного груза при безотрывном движении колеса по веровному участку пути (рис. 5.3). Профиль участка задан уравнением
\[
y=h\left(1-e^{-\gamma x}\right),
\]

где $h$ – предел, к которому стремится высота неровности; $\gamma$ – параметр, характеризующий кривизну профиля. Кроме того, дано:
Рис. 5.2
$m$ – масса груза, $l$ – высота расположения центра тяжести груза при его относительном покое, $c$ – коэффициент жесткости упругой подвески, $v$ – постоянная горизонтальная скорость груза. Размерами колеса пренебречь.

Рассмотрим движение груза относительно поступательно движущихся осей $\xi, \eta$, которые жестко связаны с центром колеса. Ось $\xi$ совместим с вертикальной осью подвески, а горизонтальную ось $\eta$ проведем на высоте $l$, считая от уровня профиля. Тогда при движении по неровности абсолютная вертикальная координата начала подвижной координатной системы определяется выражением
\[
y_{*}=h\left(1-e^{-\gamma x}\right)+l .
\]

Подставляя сюда $x=v t$ и дважды дифференцируя по времени, находим переносное вертикальное ускорение
\[
w_{e}=-h \gamma^{2} v^{2} e^{-\gamma v t}
\]

Рис. 5.3
п переносвую силу ипердии упруго подрессоревного груза
\[
I_{e}=m h \gamma^{2} v^{2} e^{-\gamma v t} .
\]

Дифференциальное уравнение относительного движения груза имеет вид
\[
\ddot{\eta}=-c \eta+m h \gamma^{2} v^{2} e^{-\gamma v t}
\]

приводя его к форме (5.6), имеем
\[
\ddot{\eta}+k^{2} \eta=h \gamma^{2} v^{2} e^{-\gamma v t} .
\]

Решение этого уравнения см, ниже в примере 5.4 (стр. 114-115).