Обычное описание движения системы с одной степенью свободы в виде зависимости обобщенной координаты от времени $q=q(t)$ не является единственно возможным. В ряде случаев, особенно при изучении нелинейных механических колебаний, определенными достоинствами обладает представление движения на фазовой плоскости.

Состояние системы в любой фиксированный момент времени $t$ определяется парой соответствующих значений $q$ и $\dot{q}$ и может быть представлено изображающей (фазовой) точкой в плоской декартовой системе координат $q, \dot{q}$, если откладывать по оси абсцисс обобщенную координату $q$, а по оси ординат – обобщенную скорость $\dot{q}$. Такая плоскость называется фазовой.

В процессе движения рассматриваемой системы величины $q$ и $\dot{q}$ изменяются и соответственно меняется положение изображающей точки на фазовой плоскости. Геометрическое место изображающих точек для данного движения называется фазовой траекторией. На рис. 0.9,a,б показаны фазовые траектории для случаев равномерного (a) и равноускоренного (б) движений материальной точки. Положение исходной изображающей точки $M_{0}$ определяется начальными условиями.

Для построения фазовой траектории при заданном законе движения $q(t)$ нужно путем дифференцирования образовать выражение скорости $\dot{q}(t)$, а затем исключить

время пз двух уравнений:
\[
q=q(t), \quad \dot{q}=\dot{q}(t) .
\]

Функция
\[
\dot{q}=\dot{q}(q)
\]

II описывает фазовую траекторию данного движения. Впрочем, для построения фазовой траектории переход к явной функции (0.9) не обязателен; фазовую траекторию
Рис. 0.9

можно строить непосредственно по уравнениям (0.8), которые представляют уравнение фазовой траектории в параметрической форме.

Фазовая плоскость особенно удобна для представления колебательных процессов, когда координата и скорость не выходят за известные пределы; поэтому вся картина движения даже в течение неограниченного времени занимает ограниченную часть фазовой плоскости. Таковы, например, свободные гармонические колебания
\[
q=A \sin (k t+\alpha),
\]

причем угловая частота $k$, а также зависящие от начальных условий величины $A$ и $\alpha$ известны. Для скорости имеем
\[
\dot{q}=A k \cos (k t+\alpha) .
\]

Исключив время из этих двух уравнений, получим уравнение фазовой траектории
\[
q^{2}+\frac{\dot{q}^{2}}{k^{2}}=A^{2}
\]
т. е. уравнение эллипса.

В данном случае вся фазовая плоскость заполнена бесконечным множеством вложенных друг в друга таких эллипсов с общим центром в начале координат и отли

чающихся друг от друга только параметром $A$ (рис. 0.9, ) . Направления движения изображающих точек вдоль фазовых траекторий показаны на рисунках стрелками. Все фазовые траектории системы однотипны, а начальные условия фиксируют определенный выбор конкретной траектории.

Совокупность фазовых траекторий описывает все возможные движения данной системы и называется базовой диаграммой (фазовым портретом) данной системы. Структура фазовой диаграммы наглядно характеризует качественные особенности возможных движений рассматриваемой системы.

Следует иметь в виду, что фазовая диаграмма не только может служить иллюстрацией закона движения, после того как он найден путем интегрирования дифференциального уравнения задачи. В принципе фазовая диаграмма может быть построена непосредственно, по этому уравнению, без его решения в виде $q=q(t)$.

Так, для автономной системы, описываемой нелинейным дифференциальным уравнением
\[
\ddot{q}+k^{2} q=f(q, \dot{q}),
\]

после замены $\ddot{q}=\dot{q} \frac{d \dot{q}}{d q}$ получается уравнение
\[
\frac{\dot{d q}}{d q}=\frac{f(q, \dot{q})-k^{2} q}{\dot{q}},
\]

которое определяет искомую связь между переменными $q$ и $\ddot{q}$. В принципе решение этого дифференциального уравнения первого порядка имеет вид
\[
\dot{q}=\dot{q}(q, C),
\]

где постоянная $C$ определяется начальным условием $\dot{q}=\dot{q}_{0}$ при $q=q_{0}$ ( $q_{0}$ и $\dot{q}_{0}$ – начальные значения обобщенной координаты и обобщенной скорости). Каждому значению $C$ соответствует определенная фазовая траектория, а совокупность таких траекторий образует фазовую диаграмму системы.

В некоторых случаях дифференциальное уравнение (0.13) удается решить апалитпчески в замкнутой форме; в частности, к квадратурам приводится случай, когда выражение $f(q, \dot{q})$ не содержит $\dot{q}$, и переменные в $(0.13)$ разделяются. В общем случае для интегрирования
уравнения (0.13) нужно обращаться к ЭВМ. (В свое время были предложены различные специальные приемы графического интегрирования названного уравнения; теперь этими приемами практически не пользуются.)

В состояния равновесия равны пулю обобщенная скорость (знаменатель правой части уравнения (0.13)) и обобщенное ускорение (числитель правой части уравнения (0.13)). Таким образом, в точках фазовой плоскости, соответствующих состояниям равновесия, производная $d \dot{q} / d q$ не определена и вместе с этим не определено направление касательной к фазовой траектории. Такие точки называются особыми точками дифференциального уравнения. В качественной теории дифференциальных уравнений устанавливается, что через любую особую точку проходит либо больпе чем одна фазовая траектория, либо не проходит ни одной. Например, как мы видели на рис. 0.9, , через особую точку в начале координат не проходит ни одна из фазовых траекторий (такая точка называется особой точкой типа «центр»; ниже будут рассмотрены особые точки других тиов).

Через всякую регулярную точку фазовой плоскости (т. е. не особую тотку) проходит одна и только одна фазовая траектория. Изображающие точки, лежащие в верхней полуплоскости, определяют состояния системы с положительными значениями обобщенной скорости, т. е. состояния, которым соответствует возрастание обобщенной координаты, поэтому такая пзображающая точка движется вдоль фазовой траектории слева направо. Соответственно, изображающая точка, находящаяся в нижней полуплоскости, движется вдоль фазовой траектории справа налево. Отсюда также следует, что касательная к фазовой траектории в точках пересечения траектории с осью $q$ перпендикулярна этой оси.