Дифференциальные уравнения движения изменятся, если учесть, что при колебаниях механической системы возникают силы трения. В случаях, когда они линейно зависят от скоростей точек системы, дифференциальные уравнения движения вместо(4.4) примут вид
\[
\begin{array}{c}
a_{j 1} \ddot{q}_{1}+a_{.2} \ddot{q}_{2}+\ldots+a_{j s} \ddot{q}_{s}+b_{j 1} \dot{q}_{1}+b_{j 2} \dot{q}_{2}+\ldots+b_{j s} \dot{q}_{s}+ \\
\quad+c_{j 1} q_{1}+c_{j 2} q_{2}+\ldots+c_{j s} q_{s}=0(j=1,2, \ldots, s)
\end{array}
\]

или, в матричной форме,
\[
[a]\{\ddot{q}\}+[b]\{\dot{q}\}+[c]\{q\}=0,
\]

где матрицы $[a]$ п $[c]$ определяются выражениями

(4.49) и (4.50), а
\[
[b]=\left[\begin{array}{cccc}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1 s} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2 s} \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
b_{s 1} & b_{s 2} & \cdots & b_{s s}
\end{array}\right\rceil
\]
— матрица демпфирования.

Решение уравнений (4.80) следует пскать в форме, отличающейся от (4.27), а именно
\[
q_{j}=A_{j} e^{\lambda t} \quad(j=1,2, \ldots, s) .
\]

После подстановки (4.83) в (4.80) получится однородная система алгебраических уравнений относительно $A_{j}$; в матритной форме эта система имеет вид
\[
\left([a] \lambda^{2}-[b] \lambda+[c]\right)\{A\}=0 .
\]

Для того чтобы все $A_{j}$ одновременно не обращались в нуль, необходимо, чтобы равнялся нулю определитель системы (4.84); это приводит к характеристическому уравнению
\[
\operatorname{det}\left([a] \lambda^{2}+[b] \lambda+[c]\right)=0 .
\]

Если все элемепты матрицы (4.82) положительные, то вещественные части всех корней характеристического уравнения — отрицательны. При әтом среди корней уравнения (4.85) могут оказаться отрицательные вещ ственны е корни, каждому из которых согласно (4.83) соответствует монотонное затухающее движение неколебательного характера. Наряду с этим среди корней могут оказаться и комплексные сопряженные корни вида $\lambda=-\alpha+i \beta, \lambda^{\prime}=-\alpha-i \beta(\alpha>0)$. Им соответствует затухающее колебательное движение, описываемое выражением
\[
q_{k}=e^{-\alpha t}\left(B_{k} \cos \beta t+C_{k} \sin \beta t\right) .
\]

Общее репение (4.80) получится как результат наложения всех частных решений.
Рис. 4.10
Пример 4.6. Показанная на рис. 4.10 система состоит из способного перемещаться по горизонтали труза 1 массы $m$, двух упругих пружин 2 и 3 с коэффициептами жесткости $c_{2}$ и $c_{1}$ и линейного демпфера 4 , характеризуемого коэффициентом вязкости $b$. Найти общий характер движения системы, которое возникнет по7*

сле нарушения состояния равновесия груза. Пластинку 5 считать безынердионной.

Обозначим через $x_{1}$ и $x_{2}$ отклонения пластинки и груза от положения равновесия. Тогда для пластинки имеем
\[
-c_{1} x_{1}-b \dot{x}_{1}+c_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)=0,
\]

для груза —
\[
-c_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)=m \ddot{x}_{2} .
\]

Полагая $x_{1}=A_{1} e^{\lambda t}, x_{2}=A_{2} e^{\lambda t}$, получаем однородную систему
\[
\left(c_{1}+c_{2}+b \lambda\right) A_{1}-c_{2} A_{2}=0 ; \quad-c_{2} A_{1}+\left(c_{2}+m \lambda^{2}\right) A_{2}=0 .
\]

Приравняв нулю определитель
\[
\left|\begin{array}{cc}
c_{1}+c_{2}+b \lambda & -c_{2} \\
-c_{2} & c_{2}+m \lambda^{2}
\end{array}\right|=0,
\]

придем к характеристическому уравнению
\[
m b \lambda^{3}+m\left(c_{1}+c_{2}\right) \lambda^{2}+b c_{2} \lambda+c_{1} c_{2}=0 .
\]

К тому же результату можно было прийти, если исключить координату $x_{1}$ из уравнений (а) и (б) и записать уравнения третьего порядка для $x_{2}$ :
\[
m \ddot{b} x_{2}+m\left(c_{1}+c_{2}\right) \ddot{x_{2}}+b c_{2} \dot{x_{2}}+c_{1} c_{2} x_{2}=0 .
\]

Соответственно порядку уравнения (в) рассматриваемую механическую систему можно назвать системой с $1 \frac{1}{2}$ степенями свободы (представление о нецелом числе степеней свободы было введено А. А. Андроновым и относится к вырожденным системам. В нашем примере достаточно было учесть массу пластинки 5 , чтобы система дифференциальных уравнений имела четвертый порядок; такая механическая система обладает двумя степенями свободы).

Среди корней характеристического уравнения (в) по крайней мере один окажется вещественпым отрицательным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим левую часть уравнепия. При $\lambda=0$ она, очевидно, положительная, а при достаточно больших отрицательшых значевиях $\lambda$ ова становится отрицательной. Следовательво, должен существовать корешь $\lambda_{1}=-\alpha_{1} \quad\left(\alpha_{1}>0\right)$.

После того как этот корень найден (для вычисления достаточно самой цростой эВМ), нужно левую часть уравневия (в) разделить на разность $\lambda-\lambda_{1}$ и решить полученное таким образом квадратпое уравнение. При этом вайдутся два остальных корня, в общем случае комплексных, вида $\lambda_{2,3}=-\alpha_{2} \pm i \beta\left(\alpha_{2}>0\right)$.
Таким образом, движение груза описывается выражением
\[
x_{1}=A_{11} e^{-\alpha_{1} t}+e^{-\alpha_{2} t}\left(A_{12} \sin \beta t+A_{13} \cos \beta t\right),
\]

содержащим три постоянные. Для их нахождения необходимо указать три начальных условия, определяющих $x_{1}(0), x_{2}(0)$ и $\dot{x}_{2}(0)$ в пачальный момент времепи. (Отметим, что начальное заченше $\dot{x}_{1}(0)$ пезависимо задать нельзя — опо определяется из соотнощения (a).)