Для определения $2 s$ постоянных, входящих в общее решение (4.45), используются значения обобщенных координат $q_{j}(0)$ п обобщенных скоростей $\dot{q}_{j}(0)$ в момент $t=0$. Подставив эти значения в общее решение (4.45) и в соответствующие выражения для скоростей, получим систему уравнеиий относительно постоянных $A_{1 i}$ и $\alpha_{i}$ :
\[
\begin{array}{c}
q_{j}(0)=\sum_{i=1}^{s} x_{j i} A_{1 i} \sin \alpha_{i}, \\
\dot{q}_{j}(0)=\sum_{i=1}^{s} x_{j i} A_{1} k_{i} \cos \alpha_{i}, \\
(j=1,2, \ldots, s) .
\end{array}
\]

Соотношения между амплитудами гармопических составляющих $A_{11}, A_{12}, \ldots, A_{1 s}$, входящих в закон изменения любой координаты $q_{j}$, зависят от начальных условий.

При произвольно заданных начальных условиях изменение любой обобщенной координаты будет происходить по полигармоническому закону, так что отношения между обобщенными координатами будут нешрерывно изменяться во времени. По этой причине экспериментальная запись (виброграмма, осциллограмма) реального процесса свободных колебаний, как правило, не представляет собой синусоиду, характерную для процесса свободных колебаний системы с одной степенью свободы. Однако при специальном выборе начальных условий можно добиться того, что движение будет описываться только какой-либо одной, например $r$-й, составляющей:
\[
q_{j}=A_{j r} \sin \left(k_{r} t+\alpha_{r}\right) \quad(j=1,2, \ldots, s) .
\]

В этом случае отношения между обобщенными координатами будут оставаться неизменными во времени и соответствуют $r$-й собственной форме. В частности, для реализации этого $r$-го главного колебания достаточно, чтобы в начальный момент обобщенные скорости равнялись нулю, а обобщенным координатам были придапы значения, определяющие $r$-ю собственную форму.

П ример 4.5. Найти движение системы, рассмотрєнной в примере 4.1, если состояпие равновесия парушается приложением к центру тяжести груза мгновенного импульса $S$.

В данном случае пачальные условия должны быть сформулировапы следующим образом:
\[
y(0)=0, \quad \dot{y}(0)=\frac{S}{m}, \quad \varphi(0)=0, \quad \dot{\varphi}(0)=0 .
\]

Общее решение имеет вид
\[
\begin{array}{l}
y=A_{11} \sin \left(k_{1} t+\alpha_{1}\right)+A_{12} \sin \left(k_{2} t+\alpha_{2}\right), \\
\varphi=A_{21} \sin \left(k_{1} t+\alpha_{1}\right)+A_{22} \sin \left(k_{2} t+\alpha_{2}\right) .
\end{array}
\]

Подставляя сюда пайдепные в примере 4.4 отношения амплитуд, находим
\[
\begin{array}{l}
y=A_{11} \sin \left(k_{1} t+\alpha_{1}\right)+A_{12} \sin \left(k_{2} t+\alpha_{2}\right), \\
\varphi=\frac{3}{2 l} A_{11} \sin \left(k_{1} t+\alpha_{1}\right)-\frac{2 l}{3 \rho^{2}} A_{12} \sin \left(k_{2} t+\alpha_{2}\right) .
\end{array}
\]

Для определения четырех пеизвестных $A_{11}, A_{12}, \alpha_{1}, \alpha_{2}$ используем указанные выше начальпые условия:
\[
\begin{array}{c}
A_{11} \sin \alpha_{1}+A_{12} \sin \alpha_{2}=0, \quad \frac{3}{2 l} A_{11} \sin \alpha_{1}-\frac{2 l}{3 \rho^{2}} A_{12} \sin \alpha_{2}=0, \\
A_{11} k_{1} \cos \alpha_{1}+A_{12} k_{2} \cos \alpha_{2}=\frac{S}{m}, \frac{3}{2 l} A_{11} k_{1} \cos \alpha_{1}-\frac{2 l}{3 \rho^{2}} A_{12} k_{2} \cos \alpha_{2}=0
\end{array}
\]

Отсюда находим
\[
A_{11}=\frac{S l^{2}}{\sqrt{3 m l E J}}, \quad A_{12}=\frac{9 S \rho^{2}}{8 l \sqrt{m l E J}}, \quad \alpha_{1}=0, \quad \alpha_{2}=0 .
\]

Следовательпо, движение описывается уравнениями
\[
\begin{array}{l}
y=\frac{S l^{2}}{\sqrt{m l E J}}\left[\frac{1}{\sqrt{3}} \sin k_{1} t+\frac{9}{8} \frac{\rho^{3}}{l^{3}} \sin k_{2} t\right], \\
\varphi=\frac{S l}{\sqrt{m l E} \bar{J}}\left[\frac{\sqrt{3}}{2} \sin k_{1} t-\frac{3}{4} \frac{\rho}{l} \sin k_{2} t\right]
\end{array}
\]

и носит двухчастотный характер.