Пример 11.1. Найти условия устойчивости вертикального состояния равновесия обращенного маятника (рис. 11.2,), если точна его подвеса гармонически колеблется около среднего положения по закону $y=A \cos (1)$ с частотой $\omega$ и амплитудой $A$. Длина маятника равна $l$.

Понятно, что пи неподвижной опоре обращенный маятник неустойчив; однако, как мы сейчас увидим, колебания опорной точки могут придать устойчивость такому маятнику. Составляя дифференциальное управление относительного движения, необходимо учесть переносную силу инерции $-m \ddot{j}=m A()^{2} \cos \omega t$. Ее момент составляет – $m A \omega^{2} /$ q $\cos (1) t$, п уравнение моментов запишется в форме
\[
m g l \varphi-m A \omega^{2} l \varphi \cos \omega t=m l^{2} \ddot{\varphi},
\]

T. e.
\[
\ddot{\varphi}+\left(-\frac{g}{l}+\frac{A \omega^{2}}{l} \cos \omega t\right) \varphi=0 .
\]

Для приведения уравнения к виду (11.2) положим
\[
2 \tau=\omega t, \quad a=-\frac{4 g}{\omega^{2} l}, \quad \varepsilon=-\frac{2 A}{l} .
\]

Как видно, в нашем примере оба параметра $a$ и $\varepsilon$ отрицательные. Знак $\varepsilon$ вообще роли не играет (об этом уже говорилось выше), и главной особенностью рассматриваемой системы является
Puc. 11.2
Рис. 11.3

отрицательность величины $a$. Как видно из диаграммы устойчивости на рис. 11.1, устойчивость возможна и при отрицательных значениях $a$; действительно, каждому значению $\varepsilon$ отвечает некоторая, довольно узкая область значений $a<0$. в пределах которой состояние равновесия устойчиво. Согласно (11.7) эти зна̇чения лежат в интервале $a_{0}^{\text {пр }}<a<a_{1}^{\text {лев }}$, т. е.
\[
-\frac{1}{2} \varepsilon^{2}<a<1-\varepsilon-\frac{1}{8} \varepsilon^{2}
\]
(рис. 11.3). При малых амплитудах колебаний $A$, т. е. малых значениях параметра $\varepsilon$, правое неравенство удовлетворяется при любых отрицательных значениях $a$ и практически остается лишь одно неравенство $a>-\frac{1}{2} \varepsilon^{2}$, т. е.
\[
|a|<\frac{1}{2} \varepsilon^{2} .
\]

Подставляя сюда выражения $a$ и $\varepsilon$, получим условие устойчивости в виде
\[
A \omega>\sqrt{2 g l} .
\]

Это неравенство определяет нижний уровень максимальной скорости $A \omega$ колебаниї точки подвеса, который обеспечивает устойчивость опрокинутого маятника; как видво, указанная скорость долж-

на превышать скорость свободного падения тела с высоты, равной длине маятника.

П ример 11.2. Исследовать устойчивость режимов стационарно движения
\[
q=A_{i} \sin \omega t \quad(i=1,2,3)
\]

в системе с нелинейной восстанавливающей силой $F(q)=\beta q^{3}$.
Дифференциальное уравнение относительно вариации $\delta q$ было составлено выше (см. (9.11)). Запишем его в виде
\[
\ddot{\delta} \ddot{q}+\left(3 \alpha A_{i}^{2} \sin ^{2} \omega t\right) \delta q=0,
\]

где коэффициент $\alpha$ равен коэффициенту $\beta$, разделенному на инерционный коэффициент системы. Для того чтобы привести уравнение к форме (11.2), нужно положить
\[
\omega t=\tau, \quad a=\frac{3 \alpha A_{i}^{2}}{2 \omega^{2}}, \quad \varepsilon=\frac{3 \alpha A_{i}^{2}}{4 \omega^{2}} .
\]

Таким образом, в данном случае $a=2 \varepsilon$ и на диаграмме устойчивости всевозможные пары значений $a, \varepsilon$ лежат на луче, который выходит из начала координат под углом $\operatorname{arctg} \frac{1}{2}$ к оси (см. схему на рие. 11.4). Поочередная подстановка значений $A_{1}, A_{2}$ и $A_{3}$ в
Рис. 11.4

выражении $a$ и $\varepsilon$ приводит к расположению точек, показанному на рис. 11.4 , т. е. точки $A_{1}$ и $A_{2}$ соответствуют устойчивым, а точка $A_{3}$ – неустойчивым решениям. Этим подтверждается сказанное в $\S 7$ относительно устойчивости найденных там решений на различных ветвях резонансной кривой.