Если сила задана в виде периодической функции времени периода $T$, то, как іл в $\S 5$ п. 3 , вызываемые ею установив-

шиеся вынужденные колебания можно найти двумя способами.

Чаще всего исходят из того, что периодическую функцию $Q(t)$ можно разложить в ряд Фурье п затем суммпровать движения, вызываемые каждой пз гармоник. Тогда на основе решения (6.8) можно, подобно (5.25), записать для установившихся колебаний
\[
q=\frac{1}{c}\left[\frac{G_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{G_{n} \cos \left(n \omega t-\gamma_{n}\right)+H_{n} \sin \left(n \omega t-\gamma_{n}\right)}{\sqrt{\left(1-\frac{n^{2} \omega^{2}}{k^{2}}\right)^{2}+\frac{4 h^{2} \omega^{2}}{k^{4}}}}\right] .
\]

Кроме обозначений, поясненных выше в связи с выражением (5.25), здесь обозначено:
\[
\operatorname{tg} \gamma_{n}=\frac{2 h n \omega}{k^{2}-n^{2} \omega^{2}} .
\]

Как уже указывалось, ряд (6.19) иногда сходится предостаточно быстро и для достаточно точного описания движения приходится учитывать значительное число члепи ряда. От этого педпстатка спободеп пругой способ, который основан на свойстве периодпчности установивпегося процесса движения.

Примем некоторый момент за начало отсчета времени пг обозначим, как обычно, $q_{0}$ – пачальное знатенте обобценной координаты, $\dot{g}_{0}$ – начальное значение обобщепной скорости. Тогда, подобно (5.27) и (5.28), найдем
\[
\begin{array}{l}
q=e^{-h t}\left(\frac{\dot{q}_{0}+h q_{0}}{k_{*}} \sin k_{*} t+q_{0} \cos k_{*} t\right)+ \\
+\frac{1}{a k_{*}} \int_{0}^{t} Q(\xi) e^{-h(t-\xi)} \sin k_{*}(t-\xi) d \xi \text {. } \\
\dot{q}=e^{-h t}\left(-\frac{k^{2} q_{0}+h \dot{q}_{0}}{k_{*}} \sin k_{*} t+\dot{q}_{0} \cos k_{*} t\right)+ \\
+\frac{1}{a} \int_{0}^{t} Q(\xi) e^{-h(t-\xi)} \cos k_{*}(t-\xi) d \xi- \\
-\frac{h}{a k_{*}} \int_{0}^{t} Q(\xi) e^{-h(t-\xi)} \sin k_{*}(t-\xi) d \xi \text {. } \\
\end{array}
\]

Подставив сюда $t=T$, получим выражения для $q(T)$ и $\dot{q}(T)$. Далее в соответствии с условиями периодичности в левые части вместо $q(T)$ и $\dot{q}(T)$ можно подставить соответственно $q_{0}$ и $\dot{q}_{0}$. Это приводит к двум алгебраическим относительно $q_{0}$ и $\dot{q}_{0}$ уравнениям:
\[
\begin{array}{l}
q_{0}\left(e^{h T}-\cos k_{*} T\right)-\frac{\dot{q}_{0}+h q_{0}}{k_{*}} k_{*} T= \\
=\frac{1}{a k_{*}}\left(C_{*} \sin k_{*} T-S_{*} \sin k_{*} T\right) ; \\
q_{0} \sin k_{*} T+\frac{\dot{q}_{0}+h q_{0}}{k_{*}}\left(e^{h T}-\cos k_{*} T\right)= \\
=\frac{1}{a k_{*}}\left(C_{*} \cos k_{*} T+S_{*} \sin k_{*} T\right),
\end{array}
\]

в которых для краткости введены обозначения
\[
\begin{aligned}
C_{*} & =\int_{0}^{T} Q(\xi) e^{h \xi} \cos k_{*} \xi d \xi, \\
S_{*} & =\int_{0}^{T} Q(\xi) e^{h \xi} \sin k_{*} \xi d \xi .
\end{aligned}
\]

Из уравнений (6.22) находим значения $q_{0}$ и $\dot{q}_{0}$ и, вернувшись к первому из выражений (6.21), получаем окончательное решение задачи:
\[
\begin{array}{l}
q=\frac{e^{-h T}}{a k_{*}\left(1-2 e^{h T} \cos k_{*} T+e^{2 h T}\right)} * \times \\
\times\left\{\left[e^{h T}\left(C_{*} \sin k_{*} T-S_{*} \cos k_{*} T\right)+S_{*}\right] \cos k_{*} t+\right. \\
\left.+\left[e^{h T}\left(C_{*} \cos k_{*} T+S_{*} \sin k_{*} T\right)-C_{*}\right] \sin k_{*} t\right\}+ \\
\quad+\frac{1}{a k_{*}} \int_{0}^{t} Q(\xi) e^{-h(t-\xi)} \sin k_{*}(t-\xi) d \xi
\end{array}
\]

Уравнение (6.24) описывает закон движения системы в интервале времени $[0, T]$. Этот закон затем повторяется в следующих интервалах времени: $[T, 2 T],[2 T, 3 T]$ и т. д. Если построен трафик функции (6.24), то смещением его на период, два периода и т. д. получим графики движения для следующих (или предыдущих) интервалов времени.

В частном случае, когда трение в системе отсутствует, т. е. $h=0$, выражение (6.24) переходит в ранее найденное выражение (5.33).

Пример 6.3. Найти движение, которое вызывается действием односторонних периодических импульсов $S$. Период импульсов $T$ и значения коэффициентов $a$, $b$ и $c$ будем считать заданными.

Совместив начало отсчета времени с моментом, наступающим сразу после приложения какого-либо импульса, получим по формулам (6.23), как в примере $5.6, \quad C_{*}=S, S_{*}=0$. При этом выражение (6.24) приобретает вид
\[
q=\frac{S e^{-h(T-t)}\left[\sin k_{*}(T-t)+e^{h T} \sin k_{*} t\right]}{a k_{*}\left(1-2 e^{h T} \cos k_{*} T+e^{2 h T}\right)} .
\]

При малом отнопении периода $T$ импульсов к собственному периоду $2 \pi / k_{*}$ (высокочастотное возбуждение) зависимость $q(t)$ имеет вид, показанный на рпс. $6.5, a$; при этом за один период $T$
Рис. 6.5

успевает осуществиться лишь часть одного цикла свободных колебаний и роль вязкого трения относительно невелика. В противоположном случае, когда указанное отношение периодов велико (низкочастотное возбуядение), зависимость $q(t)$ подобна показанной на рис. 6.5 , б. Здесь за один период $T$ происходит более одного цикла свободных колебаний и становится заметной роль вязкого трения.

Особенно важен случай резонанса, когда период $T$ импульсов в целое число раз больше периода $2 \pi / k_{*}$ свободных колебаний. Обозначив указанное число буквой $r$, имеем $T=2 \pi r / k_{*}$. В этом случае $\sin k_{*} T=0, \cos k_{*} T=1$ движение описывается выражением
\[
q=\frac{S e^{-h t} \sin k_{*} t}{a k_{*}\left(1-e^{-h T}\right)} .
\]

Вспомнив, что однократный импульс вызывает движение
\[
q_{1}=\frac{S}{a k_{*}} e^{-h t} \sin k_{*} t,
\]

найдем, что в случае резонанса, вызываемого периодическими ударами, движение ошисывается тем же выражением, но с допол-
Рис. 6.6
нительным коэффициентом:
\[
q=q_{1} \frac{1}{1-e^{-h T}} .
\]

Множитель $1 /\left(1-e^{-h T}\right)$ характеризует влияние повторений ударов. Для этого множителя приближенно можно записать
\[
\beta=\frac{1}{1-e^{-h T}} \approx \frac{1}{h T}=\frac{k_{*}}{2 \pi r h} .
\]

Отсюда, между прочим, видно, тто самым опасным является первый резонанс, когда $r=1$. Зависимость коэффициента $\beta$ от отношения частоты импульсов $\omega=2 \pi / T$ к собственной частоте $k_{*}$ показава на рис. 6.6 для случая $h / k=0,1$.