Каждый из разобранных выше способов определения переходных процессов дает непосредственную возможность выяснить устойчивость (неустойчивость) стационарного режима или состояния равновесия.

Прежде всего остановимся на системе с нелинейным трением, характеристика которого показана на рис. 13.5, a. Для этой системы стационарная амплитуда определяется выражением (13.11) в виде $A_{\text{ст }}=\alpha R_0/[c(1-\beta )]$, а пе$5^{\ast }$

реходный процесс — соотношением (14.2). Для того чтобы проверить устойчивость стационарного режима, положим, что он некоторым образом нарушен, так что амплитуда колебаний приобрела значение $A_{\text{ст }}+{\mathrm{\Delta }}_0$, где ${\mathrm{\Delta }}_0$ — начальное возмущение стационарной амплитуды. Тогда (14.2) можно записать в виде
$$A_{\text{ст }}+{\mathrm{\Delta }}_1=\beta (A_{\text{ст }}+{\mathrm{\Delta }}_0)+\alpha R_0/c,$$

где ${\mathrm{\Delta }}_1$ — возмущение последующей амплитуды. В дальнейшем движении амплитуды колебаний будут подчиняться соотношению
$$A_{\text{cr }}+{\mathrm{\Delta }}_n=\beta (A_{\text{cr }}+{\mathrm{\Delta }}_{n-1})+\alpha R_0/c,$$

в котором ${\mathrm{\Delta }}_{n-1}$ и ${\mathrm{\Delta }}_n$-два последовательных значения возмущения амплитуды. Из (14.12) находим
$${\mathrm{\Delta }}_n=\beta {\mathrm{\Delta }}_{n-1}\text{. }$$

Отсюда видно, что поскольку $\beta <1$, то ${\mathrm{\Delta }}_n<{\mathrm{\Delta }}_{n-1}$; убывание возмущений означает, что стационарный режим устойчив.

Если для той же системы решение найдено методом точечных отображений, то об устойчивости стационарного режима можно судить с помощью построения Кенигса-Ламерея (см. рис. 14.2) в окрестности абсциссы $A_{\text{ст. }}$.
Рис. 14.2
Pис. 14.3

Здесь непосредственно видно, что возмущенное движение постепенно приближается к движению по предельному циклу.

Для системы с двумя предельными циклами (см. рис. $13.4,a$ ) построение Кенигса — Ламерея в принципе

выглядит, как показано на рис. 14.3. Вид ломаных отчетливо обнаруживает устойчивость первого стационарного режима и неустойчивость второго.

В некоторых случаях имеет смысл изучать не последовательность амплитуд, а последовательность (также дискретную) максимальных значений скорости, такую, как, например, была найдена выше в виде (13.6). Применительно к этой зависимости возмущенное движение будет описываться соотношением
$${\dot{q}}^{+}+{\mathrm{\Delta }}_n=({\dot{q}}^{+}+{\mathrm{\Delta }}_{n-1})e^{-2\pi h/k\ast }+S/a,$$

в котором ${\mathrm{\Delta }}_{n-1}$ и ${\mathrm{\Delta }}_n$ — последовательные значения возмущения скорости ${\dot{q}}^{+}$. Учитывая найденное выше значение ${\dot{q}}^{+}$, из зашисанного соотношения следует
$${\mathrm{\Delta }}_n={\mathrm{\Delta }}_{n-1}{e}^{-2\pi /k\ast },$$
т. е. ${\mathrm{\Delta }}_n<{\mathrm{\Delta }}_{n-1}$ — стационарный режим устойчив.

Если стационарный режим найден энергетическим методом или методом Ван дер Поля из условия $\mathrm{\Phi }(A)=0$ (см. выражение (2.42)), то наряду с этим режимом нужно рассмотреть возмущенный режим, т. е. смежное движение, характеризуемое амплитудами $A_{\text{ст }}+\delta A$; здесь $\delta A$ — вариация амплитуды, являющаяся некоторой функцией времени. Характер изменения $\delta \mathrm{A}$ с течением времени позволяет судить об устойчивости исследуемого режима. Поскольку возмущенный режим описывается соотношением (14.8),- конечно, с заменой $A$ на $A_{\text{ст }}+\delta A$, — имеем
$$\frac{d}{!dt}(A_{\mathrm{cT}}+\delta A)=\frac{\mathrm{\Phi }(A_{\mathrm{cT}}+\delta A)}{2\pi k_0}.$$

Заметим, что
$$\frac{d}{dt}(A_{\mathrm{cT}}+\delta A)=\frac{d(\delta A)}{dt},$$
$$\mathrm{\Phi }(A_{\mathrm{cr}}+\delta A)\approx \mathrm{\Phi }\left(A_{\text{ст }}\right)+{\mathrm{\Phi }}^{\prime }\left(A_{\text{ст }}\right)\delta A={\mathrm{\Phi }}^{\prime }\left(A_{\text{ст }}\right)\delta A,$$

поскольку $\mathrm{\Phi }\left(A_{\text{ст }}\right)=0$.
Таким образом, соотношение (14.13) принимает вид
$$\frac{d(\delta A)}{dt}=\frac{{\mathrm{\Phi }}^{\prime }\left(A_{\mathrm{cT}}\right)\delta A}{2\pi k_0}.$$

Отсюда окончательно находим
$$\delta A=\delta A_0{e}^{\frac{{\mathrm{\Phi }}^{\prime }\left(A_{\mathrm{CT}}\right)t}{2\pi k_0}}$$

где $\delta A_0$ — начальное возмущение амплитуды стационарного режима. Если
$${\mathrm{\Phi }}^{\prime }\left(A_{\text{ст }}\right)<0,$$

то возмущения амплитуды будут асимптотичееки стремиться к нулю, т. е. движепие будет приближаться к нарушенному стационарному режиму и последний является устойчивым. Если же ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }\left(A_{\text{ст }}\right)>0$, то возмущения будут возрастать с течением времени и движение будет все больше отклоняться от исследуемого стационарного режима; в этом случае стационарный режим неустойчив. Таким образом, соотношение (14.14) представляет собой условие устойчивости стационарного режима.

Так, например, для системы, описываемой уравнением Ван дер Поля (13.30), было найдено выражение $\mathrm{\Phi }(A)$ в виде (14.9). Следовательно, ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(A)=\mu \pi (1-\frac{3}{4}{A}^2)$; при $A=A_{\text{ст }}=2$ имеем ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(2)=-2\mu \pi <0$, т. е. условие устойчивости (14.14) выполнено — найденный предельный цикл устойчив. Иной результат получится, если дифференциальное уравнение движения механической системы имеет вид
$$a\ddot{q}-b\dot{q}+R_0\mathrm{sign}\dot{q}+cq=0.$$

В отличие от условий примера, рассмотренного в начале п. $2\mathrm{\S }13$ (см. уравнение (13.5)), в данном случае дестабилизирующей является сила отрицательного вязкого трения, а сила кулонова трения демпфирует колебания.
Приводя уравнение (14.15) к виду (2.32), получим
$$f(q,\dot{q})=\frac{b}{a}\dot{q}-\frac{R_0}{a}\mathrm{sign}\dot{q}$$

Теперь по первой из формул (2.42) находим
$$\mathrm{\Phi }(A)=\frac{\pi b{k}_0}{a}A-\frac{4R_0}{a}.$$

Приравняв этот результат нулю, определим амплитуду стационарных автоколебаний:
$$A_{\text{cт }}=\frac{4R_0}{\pi bk}.$$

Однако этот режим неустойчивый, так как производная ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }\left(A_{\text{ст }}\right)$ не удовлетворяет условию (14.14):
$${\mathrm{\Phi }}^{\prime }\left(A_{\mathrm{cT}}\right)=\frac{\pi b{k}_0}{a}>0.$$

При любом возмущении такого стационарного режима система либо будет стремиться к устойчивому в малом состоянию равновесия ( $A\to 0$ ), либо неограниченно удаляться от стационарного режима ( $A\to \mathrm{\infty }$ ) — в зависимости от знака начального возмущения.