Каждый из разобранных выше способов определения переходных процессов дает непосредственную возможность выяснить устойчивость (неустойчивость) стационарного режима или состояния равновесия.

Прежде всего остановимся на системе с нелинейным трением, характеристика которого показана на рис. 13.5, a. Для этой системы стационарная амплитуда определяется выражением (13.11) в виде $A_{\text {ст }}=\alpha R_{0} /[c(1-\beta)]$, а пе$5^{*}$

реходный процесс – соотношением (14.2). Для того чтобы проверить устойчивость стационарного режима, положим, что он некоторым образом нарушен, так что амплитуда колебаний приобрела значение $A_{\text {ст }}+\Delta_{0}$, где $\Delta_{0}$ – начальное возмущение стационарной амплитуды. Тогда (14.2) можно записать в виде
\[
A_{\text {ст }}+\Delta_{1}=\beta\left(A_{\text {ст }}+\Delta_{0}\right)+\alpha R_{0} / c,
\]

где $\Delta_{1}$ – возмущение последующей амплитуды. В дальнейшем движении амплитуды колебаний будут подчиняться соотношению
\[
A_{\text {cr }}+\Delta_{n}=\beta\left(A_{\text {cr }}+\Delta_{n-1}\right)+\alpha R_{0} / c,
\]

в котором $\Delta_{n-1}$ и $\Delta_{n}$-два последовательных значения возмущения амплитуды. Из (14.12) находим
\[
\Delta_{n}=\beta \Delta_{n-1} \text {. }
\]

Отсюда видно, что поскольку $\beta<1$, то $\Delta_{n}<\Delta_{n-1}$; убывание возмущений означает, что стационарный режим устойчив.

Если для той же системы решение найдено методом точечных отображений, то об устойчивости стационарного режима можно судить с помощью построения Кенигса-Ламерея (см. рис. 14.2) в окрестности абсциссы $A_{\text {ст. }}$.
Рис. 14.2
Pис. 14.3

Здесь непосредственно видно, что возмущенное движение постепенно приближается к движению по предельному циклу.

Для системы с двумя предельными циклами (см. рис. $13.4, a$ ) построение Кенигса – Ламерея в принципе

выглядит, как показано на рис. 14.3. Вид ломаных отчетливо обнаруживает устойчивость первого стационарного режима и неустойчивость второго.

В некоторых случаях имеет смысл изучать не последовательность амплитуд, а последовательность (также дискретную) максимальных значений скорости, такую, как, например, была найдена выше в виде (13.6). Применительно к этой зависимости возмущенное движение будет описываться соотношением
\[
\dot{q}^{+}+\Delta_{n}=\left(\dot{q}^{+}+\Delta_{n-1}\right) e^{-2 \pi h / k *}+S / a,
\]

в котором $\Delta_{n-1}$ и $\Delta_{n}$ – последовательные значения возмущения скорости $\dot{q}^{+}$. Учитывая найденное выше значение $\dot{q}^{+}$, из зашисанного соотношения следует
\[
\Delta_{n}=\Delta_{n-1} e^{-2 \pi / k *},
\]
т. е. $\Delta_{n}<\Delta_{n-1}$ – стационарный режим устойчив.

Если стационарный режим найден энергетическим методом или методом Ван дер Поля из условия $\Phi(A)=0$ (см. выражение (2.42)), то наряду с этим режимом нужно рассмотреть возмущенный режим, т. е. смежное движение, характеризуемое амплитудами $A_{\text {ст }}+\delta A$; здесь $\delta A$ – вариация амплитуды, являющаяся некоторой функцией времени. Характер изменения $\delta \mathrm{A}$ с течением времени позволяет судить об устойчивости исследуемого режима. Поскольку возмущенный режим описывается соотношением (14.8),- конечно, с заменой $A$ на $A_{\text {ст }}+\delta A$, – имеем
\[
\frac{d}{! d t}\left(A_{\mathrm{cT}}+\delta A\right)=\frac{\Phi\left(A_{\mathrm{cT}}+\delta A\right)}{2 \pi k_{0}} .
\]

Заметим, что
\[
\frac{d}{d t}\left(A_{\mathrm{cT}}+\delta A\right)=\frac{d(\delta A)}{d t},
\]
\[
\Phi\left(A_{\mathrm{cr}}+\delta A\right) \approx \Phi\left(A_{\text {ст }}\right)+\Phi^{\prime}\left(A_{\text {ст }}\right) \delta A=\Phi^{\prime}\left(A_{\text {ст }}\right) \delta A,
\]

поскольку $\Phi\left(A_{\text {ст }}\right)=0$.
Таким образом, соотношение (14.13) принимает вид
\[
\frac{d(\delta A)}{d t}=\frac{\Phi^{\prime}\left(A_{\mathrm{cT}}\right) \delta A}{2 \pi k_{0}} .
\]

Отсюда окончательно находим
\[
\delta A=\delta A_{0} e^{\frac{\Phi^{\prime}\left(A_{\mathrm{CT}}\right) t}{2 \pi k_{0}}}
\]

где $\delta A_{0}$ – начальное возмущение амплитуды стационарного режима. Если
\[
\Phi^{\prime}\left(A_{\text {ст }}\right)<0,
\]

то возмущения амплитуды будут асимптотичееки стремиться к нулю, т. е. движепие будет приближаться к нарушенному стационарному режиму и последний является устойчивым. Если же $\Phi^{\prime}\left(A_{\text {ст }}\right)>0$, то возмущения будут возрастать с течением времени и движение будет все больше отклоняться от исследуемого стационарного режима; в этом случае стационарный режим неустойчив. Таким образом, соотношение (14.14) представляет собой условие устойчивости стационарного режима.

Так, например, для системы, описываемой уравнением Ван дер Поля (13.30), было найдено выражение $\Phi(A)$ в виде (14.9). Следовательно, $\Phi^{\prime}(A)=\mu \pi\left(1-\frac{3}{4} A^{2}\right)$; при $A=A_{\text {ст }}=2$ имеем $\Phi^{\prime}(2)=-2 \mu \pi<0$, т. е. условие устойчивости (14.14) выполнено – найденный предельный цикл устойчив. Иной результат получится, если дифференциальное уравнение движения механической системы имеет вид
\[
a \ddot{q}-b \dot{q}+R_{0} \operatorname{sign} \dot{q}+c q=0 .
\]

В отличие от условий примера, рассмотренного в начале п. $2 \S 13$ (см. уравнение (13.5)), в данном случае дестабилизирующей является сила отрицательного вязкого трения, а сила кулонова трения демпфирует колебания.
Приводя уравнение (14.15) к виду (2.32), получим
\[
f(q, \dot{q})=\frac{b}{a} \dot{q}-\frac{R_{0}}{a} \operatorname{sign} \dot{q}
\]

Теперь по первой из формул (2.42) находим
\[
\Phi(A)=\frac{\pi b k_{0}}{a} A-\frac{4 R_{0}}{a} .
\]

Приравняв этот результат нулю, определим амплитуду стационарных автоколебаний:
\[
A_{\text {cт }}=\frac{4 R_{0}}{\pi b k} .
\]

Однако этот режим неустойчивый, так как производная $\Phi^{\prime}\left(A_{\text {ст }}\right)$ не удовлетворяет условию (14.14):
\[
\Phi^{\prime}\left(A_{\mathrm{cT}}\right)=\frac{\pi b k_{0}}{a}>0 .
\]

При любом возмущении такого стационарного режима система либо будет стремиться к устойчивому в малом состоянию равновесия ( $A \rightarrow 0$ ), либо неограниченно удаляться от стационарного режима ( $A \rightarrow \infty$ ) – в зависимости от знака начального возмущения.