Решение дифференциального уравнения (5.5) при произвольно заданной правой части может быть получено с помощью известного из курса математики метода вариации произвольных постоянных. Однако более нагляден иной путь решения, к излокенио которого мы и переходим. Прежде всего рассмотрим вспомогательную задачу. Пусть в момент $t=\xi$ к покоящейся системе приложен обобщенный мгновенный импульс $S$; согласно (1.14) при $t>\xi$ решение имеет внд
\[
q=q(\xi) \cos k(t-\xi)+\frac{\dot{q}(\xi)}{k} \sin k(t-\xi) .
\]

Входящие сюда значения обобщенной координаты и обобщенной скорости непосредственно после приложения импульса равны $q(\xi)=0, \dot{q}(\xi)=\frac{S}{a}$. Следовательно, движение описывается выражением
\[
q=\frac{S}{a k} \sin k(t-\xi) .
\]

Функция
\[
R(t, \xi)=\frac{\sin k(t-\xi)}{a k},
\]

описывающая движение, вызываемое единичным импульсом, называется импульсной реакцией системы.

Теперь будем рассматривать произвольную вынуждающую силу $Q=Q(t)$ как бесконечную последовательность элементарных импульсов $Q(\xi) d \xi$, показанных на рис. 5.8. Подставив в выражение (5.18) $S=$ $=Q(\xi) d \xi$, мы найдем колебания, вызываемые действием одного из таких элементарных импульсов. Чтобы определить движение, которое вызывается заданной силой, необходимо

Рис. 5.8 сложить влияния всех элементарных импульсов; таким образом, при нулевых начальных условиях находим
\[
q=\frac{1}{a k} \int_{0}^{t} Q(\xi) \sin k(t-\xi) d \xi .
\]

Если кроме рассмотренной здесь силы $Q=Q(t)$ в заданные моменты времени $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{r}$ (здесь $\xi_{r}<t$ ) на

систему действуют конечные мгновенные импульсы $S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{r}$, то вместо (5.19) будет
\[
q=\frac{1}{a k}\left[\int_{0}^{t} Q(\xi) \sin k(t-\xi) d \xi+\sum_{i=1}^{r} S_{i} \sin k\left(t-\xi_{i}\right)\right] .
\]

Наряду с (5.19) существует другой вариант решения, который иногда оказывается более удобным. Преобразуем (5.19) с помощью правила интегрирования по частям
\[
\int u d v=u v-\int v d u .
\]

Полагая здесь $Q(\xi)=u$ и $\sin k(t-\xi) d \xi=d v$, находим $d u=Q(\xi) d \xi$ п $v=\frac{1}{k} \cos k(t-\xi)$. Соответственно (5.19) преобразуется к виду
\[
\begin{aligned}
q & =\left.\frac{1}{a k^{2}}\left[Q(\xi) \cos k(t-\xi)-\int \dot{Q}(\xi) \cos k(t-\xi) d \xi\right]\right|_{0} ^{t}= \\
& =\frac{1}{c}\left[Q(t)-Q(0) \cos k t-\int_{0}^{t} \dot{Q}(\xi) \cos k(t-\xi) d \xi\right] .
\end{aligned}
\]

Этим выражением можно пользоваться только в тех случаях, когда при $t>0$ функция $Q(t)$ не имеет разрывов, т. е. производная $\dot{Q}(t)$ конечна на всем промежутке интегрирования.

Если сила $Q(t)$ претерпевает конечные разрывы $\Delta Q_{1}$, $\Delta Q_{2}, \ldots, \Delta Q_{r}$ в заданные моменты времени $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{r}$
Рис. 5.9 $\left(\xi_{r}<t\right.$ ) (см. рис. 5.9), то вместо (5.20) будем иметь
\[
\begin{array}{l}
q=\frac{Q(t)}{c} \\
-\frac{1}{c} \int_{0}^{t} \dot{Q}(\xi) \cos k(t-\xi) d \xi- \\
-\frac{1}{c} \sum_{i=1}^{r} \Delta Q_{i} \cos k\left(t-\xi_{i}\right),
\end{array}
\]

Остановимся на двух важных частных случаях.
1. Действие кратковременной силы. Пусть сила $Q=Q_{0}$ внезапно появляется в момент $t=0$, действует в течение малого промежутка времени $t_{* \text {, }}$ а затем

внезапно исчезает (рис. 5.10). Если $t_{\text {* }}$ мепьше полупериода свободных колебаний $T / 2$, то напбольшее отклонение системы достигается после исчезновения силы. Тогда для $t>t_{*}$ согласно репению (5.19)
\[
q=\frac{Q_{0}}{a k} \int_{0}^{t_{*}} \sin k(t-\xi) d \xi=\frac{2 Q_{0}}{c} \sin \frac{k t_{*}}{2} \sin k\left(t-\frac{t_{*}}{2}\right) .
\]

Наибольшее отклонение равно
\[
q_{\max }=\frac{2 Q_{0}}{c} \sin \pi \alpha,
\]

где $\alpha=t_{*} / T$. Коэффициент динамичности, равный отношению $q_{\max }$ к статическому перемещению $q_{\text {ст }}=Q_{0} / c$,
\[
\mu=2 \sin \pi \alpha,
\]

определяется только значением $\alpha$ (рис. 5.11) и не превосходит значения 2.

Нужно заметить, что если постоянная сила действует в течение малой доли периода свободных колебаний, то
Рис. 5.10
Рис. 5.11

действие такой силы во много раз меньше статического; например, при $t_{*} / T=0,01$ можно найти $\mu=0,062$ – динамический эффект в 16 раз меньше статического. Вообще действие кратковременной силы определяется не столько ею самой, сколько значением ее импульса. В самом деле,
\[
\begin{array}{l}
q=\frac{1}{a k} \int_{0}^{t_{*}} Q(\xi) \sin k(t-\xi) d \xi= \\
=\frac{1}{a k}\left[\sin k t \int_{0}^{t_{*}} Q(\xi) \cos k \xi d \xi-\cos _{a} k t \int_{0}^{t_{*}} Q(\xi) \sin k \xi d \xi\right] .
\end{array}
\]
8 я, г, Пановко

Так как $k \xi=\frac{2 \pi}{T} \xi$ меньше, чем величина $\frac{2 \pi}{T} t_{*}$, которую здесь следует считать малой, то $k \xi$ – малое число. Поэтому можно принять $\sin k \xi=0, \cos k \xi \approx 1$ и вместо (5.21)
Рис. 5.12 получим
\[
q=\frac{\sin k t}{a k} \int_{0}^{t_{*}} Q(\xi) d \xi=\frac{S \sin k t}{a k}
\]

где $S=\int_{0}^{t_{*}} Q(\xi) d \xi$ – импульс силы.

Таким образом, движение приближенно определяется импульсом кратковременной силы; подробности ее изменения в промежутке времени $t_{\text {* }}$ мало влияют на peзультаты.
2. Действие линейно возрастающе й во времени силы $Q(t)=\beta t \quad(t \geqslant 0)$; здесь $\beta$ есть скорость изменения силы (рис. 5.12,a). По формуле (5.20) находим
\[
q=\frac{1}{c}\left[\beta t-\beta \int_{0}^{t} \cos k(t-\xi) d \xi\right]=\frac{\beta t}{c}-\frac{\beta}{c k} \sin k t .
\]

График движения показан на рис. 5.12 ,б и выражает сумму линейного и синусоидального слагаемых. Линейное слагаемое представляет изменение обобщенной координаты, рассчитанное в предположении безынерционности системы (квазистатическое перемещение), а синусоидальное слагаемое отражает колебательную часть решепия; амплитуда этих колебаний, равная $\beta / c k$, увеличивается с возрастанием скорости изменения силы $\beta$.

Пример 5.4. Найти относительные колебания груза в системе, рассмотренной выше в примере 5.1 (стр. 105-106).

Искомое движение должно быть найдено путем решения дифференциального уравнения, составленного выше в примере 5.1. Из записи этого уравнения видно, что вынуждающая сила (ею служит переносная сила инерции) равна
\[
Q(t)=m h \gamma^{2} v^{2} e^{-\gamma v t} .
\]

Подставляя это выражение в решение (5.19), находим
\[
\eta=h \frac{\gamma^{2} v^{2}}{k^{2}+\gamma^{2} v^{2}}\left(e^{-\gamma v t}+\frac{\gamma v}{k} \sin k t-\cos k t\right) .
\]

При достаточно больших значениях времени можно пренебречь первым членом в скобках и рассматривать только процесс установившихся колебаний:
\[
\eta=h \frac{\gamma^{2} v^{2}}{k^{2}+\gamma^{2} v^{2}}\left(\frac{\gamma v}{k} \sin k t-\cos k t\right) .
\]

Амплитуда этих колебаний равна
\[
A=h\left(\frac{\gamma v}{k}\right)^{2} / \sqrt{1+\left(\frac{\gamma v}{k}\right)^{2}} .
\]

В случае, если $\gamma v \ll k$ (что соответствует реальным условиям), находим
\[
A=\left(\frac{\gamma v}{k}\right)^{2} h,
\]
т. е. амплитуда относительных колебаний пропорциональна квадрату скорости $v^{2}$.

Приме р 5.5. Найти движение груза, находящегося на конце консольной балки, если сила $P$ сохраняет неизменное значение, но точка ее приложения движется от левого конца балки к правому с постоянной скоростью $v$ (рис. 5.1, б).

Дифференциальное уравнение движения груза было получено выше в виде (5.9), т. е.
\[
\ddot{y}+k^{2} y=\frac{P v^{2} t^{2}(3 l-v t)}{2 m l^{3}},
\]

где $k^{2}=3 E J /\left(m l^{3}\right)$. Согласно (5.19) имеем при $t<l / v$ :
\[
y=\frac{1}{m k} \int_{0}^{t} \frac{P v^{2} \xi^{2}(3 l-v \xi)}{2 m l^{3}} \sin k(t-\xi) d \xi,
\]

или, после вычислений,
\[
y=\frac{p_{v}^{2}}{2 m k^{2} l^{3}}\left[-v t^{3}+2 l t^{2}+\frac{6}{k^{2}}(v t-l+l \cos k t)-\frac{6 v}{k^{3}} \sin k t\right] .
\]

Для вертикальной скорости груза находим
\[
\dot{y}=\frac{3 P v^{2}}{2 m k^{2} l^{3}}\left[2 l t-v t^{2}+\frac{2 v}{k^{2}}\left(1-\frac{k l}{v} \sin k t-\cos k t\right)\right] .
\]

Полученным выражениям можно придать следующую форму:
\[
\begin{array}{l}
y=y_{\mathrm{cr}}\left[\frac{3 \tau^{2}-\tau^{3}}{2}+\frac{3}{\alpha^{2}}(\tau-1+\cos \alpha \tau)-\frac{3}{\alpha^{3}} \sin \alpha \tau\right], \\
\dot{y}=k y_{\mathrm{cT}}\left[\frac{3\left(2 \tau-\tau^{2}\right)}{2 \alpha}+\frac{3}{\alpha^{3}}(1-\alpha \sin \alpha \tau-\cos \alpha \tau)\right],
\end{array}
\]

где $y_{\text {ст }}=P /\left(m k^{2}\right)$ – прогиб конца балки при статическом действии приложенной на конце силы $P, \alpha=k l / v$ и $\tau=v t / l$ – безразмерные параметры. В момент, когда сила сходит с балки, $\tau=1$ и мы находим
\[
\begin{array}{l}
y_{1}=y_{\mathrm{cr}}\left[1+\frac{3(\alpha \cos \alpha-\sin \alpha)}{\alpha^{3}}\right], \\
\dot{y}_{1}=\frac{3 k y_{\mathrm{cr}}}{\alpha^{3}}\left[\frac{\alpha^{2}}{2}+1-\alpha \sin \alpha-\cos \alpha\right] .
\end{array}
\]

Так как в момент исчезновения силы отклонения балки $y$ и скорость $\dot{y}$ скачков не претерпевают, то последующее движение системы будет происходить по закону свободных колебаний
\[
y^{-}=y_{1} \cos k t_{s}+\frac{\dot{y}_{1}}{k_{-}} \sin k t
\]
(с отсчетом времени $t$ от момента, когда сила сходит с балки). Наибольшее отклонение составит
\[
y_{\max }=\sqrt{y_{1}^{2}+\left(\frac{\dot{y}_{1}}{k}\right)^{2}} .
\]

Вычисления показывают, что оно может превзойти значение статического прогиба не более чем на $14-15 \%$.