Ограничимся случаем симметричной характеристики восстанавливающей силы вида (7.6) и для нахождения амплитуд субгармонических колебаний снова воспользуемся методом гармонического баланса.

Положим, что основную гармонику с частотой $\omega$ вынуждающей силы сопровождает субгармоника с частотой $\omega / 3$ :
\[
q=A_{1} \sin \omega t+A_{1 / 3} \sin \frac{\omega t}{3} .
\]

Функция $F\left(A_{1} \sin \omega t+A_{1 / 3} \sin \frac{\omega t}{3}\right)$ пмеет период $6 \pi / \omega$, втрое больший основного периода T. Разлагая ее в ряд

Фурье и ограничиваясь двумя первыми членами, найдем
\[
F\left(A_{1} \sin \omega t+A_{1 / 3} \sin \frac{\omega t}{3}\right)=b_{1 / 3} \sin \frac{\omega t}{3}+b_{1} \sin \omega t,
\]

где
\[
\begin{aligned}
b_{1 / 3} & =\frac{2}{3 T} \int_{0}^{3 T} F\left(A_{1} \sin \omega t+A_{1 / 3} \sin \frac{\omega t}{3}\right) \sin \frac{\omega t}{3} d t, \\
b_{1} & =\frac{2}{3 T} \int_{0}^{3 T} F\left(A_{1} \sin \omega t+A_{1 / 3} \sin \frac{\omega t}{3}\right) \sin \omega t d t .
\end{aligned}
\]

Далее подставляем (7.18) и (7.19) в уравнение (7.2); сравнивая коэффициенты гармоники и субгармоники в правых и левых частях, приходим к двум нелинейным уравнениям.
При характеристике (7.6) эти уравнения имеют вид
\[
\begin{aligned}
\left(k_{0}^{2}-\omega^{2}\right) A_{1}+\frac{1}{4} \frac{\beta}{a}\left(3 A_{1}^{3}+6 A_{1 / 3}^{2} A_{1}-A_{1 / 3}^{3}\right) & =\frac{H}{a}, \\
\left(k_{0}^{2}-\frac{\omega^{2}}{9}\right) A_{1 / 3}+\frac{3}{4} \frac{\beta}{a}\left(A_{1 / 3}^{3}-A_{1 / 3}^{2} A_{1}+2 A_{1}^{2} A_{1 / 3}\right) & =0 .
\end{aligned}
\]

Приближенное значение для амплитуды $A_{1}$ найдем из первого уравнения (7.21), положив в нем $\beta=0$ :
\[
A_{1}=\frac{H}{a\left(k_{0}^{2}-\omega^{2}\right)} \text {. }
\]

Далее, предположив, что $A_{1 / 3}
eq 0$, представим второе уравнение (7.21) в виде
\[
A_{1 / 3}^{2}-A_{1 / 3} A_{1}+2 A_{1}^{2}+\frac{4\left(9 k_{0}^{2}-\omega^{2}\right) a}{27 \beta}=0 .
\]

Отсюда следует выражение амплитуды субгармонических колебаний
\[
A_{1 / 3}=\frac{A_{1}}{2}\left[1 \pm \sqrt{\frac{16\left(\omega^{2}-9 k_{0}^{2}\right) a}{27 A_{1}^{2} \beta}-7}\right] .
\]

Отметим, что при $\beta>0$ для вещественности решения необходимо выполнение условия
\[
\omega>3 k_{0} \sqrt{1+\frac{21}{16} \frac{\beta}{c} A_{1}^{2}},
\]

т. е. субгармонические колебания возможны лишь при достаточно больших (относительно основной частоты свободных колебаний) частотах возбуждения. Если $\beta<0$, знак неравенства в (7.24) должен быть изменен на обратный.
С учетом (7.22) приближенно получим
\[
A_{1 / 3}=\frac{H}{2 a\left(k_{0}^{2}-\omega^{2}\right)}\left[1 \pm \sqrt{\frac{16\left(\omega^{2}-9 k_{0}^{2}\right)\left(\omega^{2}-k_{0}^{2}\right)^{2} a^{3}}{27 H^{2} \beta}-7}\right] \text {. }
\]

Исходя из первых приближений (7.22) п (7.25), можно получить с помощью основных уравнений (7.21) дальнейшие уточнения значений амплитуд колебаний $A_{1}$ и $A_{1 / 3}$.

На рис. 7.3 показаны зависимости амплитуд колебаний $A_{1}$ и $A_{1 / 3}$ от частоты $\omega$ вынуждающей силы.

Таким образом, субгармонические колебания в системах с жесткой (мягкой) характеристикой возможны
Рис. 7.3

лишь при достаточно больших (достаточно малых) значениях частоты $\omega$ вынуждающей силы; однако если субгармонические колебания возникают, то их амплитуды могут значительно превосходить амплитуды основных колебаний, происходящих с частотой $\omega$.

В наших выкладках мы не учитывали действие сил трения; более подробный анализ показывает, что эти силы не только уменьшают амплитуды субгармонических колебаний, но способны — при их достаточной интенсивности — полностью подавить субгармонические колебания.