Рассмотренные в главе I механические системы характеризуются действием позиционных сил, а в некоторых случаях также диссипативных сил. Эти силы не только влияют на движение системы, но и сами управляются этим движением, поскольку они зависят от обобщенных координат и обобщенных скоростей.

Как указывалось во вредении, иную важную категорию образуют вылуждающие силы, т. е. силы внешнего происхождения, описываемые заданными функциями времени и не зависящие от движения системы. Колебания, вызываемые вынуядающими силами, называются винужденными. Независимо от фнзической природы вынуждающих сил мы будем исходить из того, что каждая из них задана в виде некоторой явной функции времени:
\[
\mathbf{P}_{i}=\mathbf{P}_{i}(t),
\]

где $i=1,2, \ldots, n$ – порядковый номер материальной точки.

Если механическая система имеет одну степень свободы и приложенные к тоткам системы внешние силы заданы в виде (5.1), то обобщенная вынуждающая сила определяется из выражения возможной работы
\[
\delta A=\sum_{i=1}^{n} \mathbf{P}_{i} \delta \mathbf{r}_{i}=\sum_{i=1}^{n} \mathbf{P}_{i} \frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial q} \delta q
\]

в виде
\[
Q(t)=\sum_{i=1}^{n} \mathbf{P}_{i} \frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial q} .
\]

Соответственно уравнение Лагранжа принимает вид (при отсутствии трения)
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q}+\frac{\partial \Pi}{\partial q}=Q(t) .
\]

Подставляя сюда выражения (1.4) и (1.8) для кинетической и потенциальной энергии, приходим к дифференциальному уравнению задачи о вынужденных колебаниях
\[
a \ddot{q}+c q=Q(t),
\]

которое будем записывать в виде
\[
\ddot{q}+k^{2} q=\frac{Q(t)}{a} .
\]

Здесь через $k^{2}=c / a$ по-прежнему обозначен квадрат собственной частоты рассматриваемой системы.

Рассмотрим, например, действие горизонтальной силы $P(t)$ на маятник (рис. 5.1, a). Примем за обобщенную
Рис. 5.1

координату угол $\varphi$ отклонения маятника от вертикали и обозначим через $m$ массу маятника, а через $l$ – его длину. Тогда при малых углах отклонения
\[
T=\frac{m(l \dot{\varphi})^{2}}{2}, \quad \Pi=\frac{m g l \varphi^{2}}{2}, \quad Q=P(t) l
\]

и уравнение вынужденных колебаний (5.6) принимает вид
\[
\ddot{\varphi}+\frac{g}{l} \varphi=\frac{P(t)}{m l} .
\]

Иногда удобнее составлять дифференциальное уравнение вынужденных колебаний по описанным выше прямому или обратному способам. Пусть, например, в точке $x=l_{*}$ балки приложена вынуждающая сила $P(t)$ (рис. 5.1, б); будем считать, что массой балки можно пренебречь по сравнению с массой $m$ сосредоточенного груза, закрепленного на конце балки $x=l$. Для составления дифференциального уравнения колебаний удобно воспользоваться обратным способом. Рассматривая балку под действием силы $P(t)$ и силы инерции – $m \ddot{y}$, можем записать
\[
y=P(t) \delta\left(l, l_{*}\right)-\ddot{m} \tilde{y} \delta(l, l),
\]

где $\delta\left(l, l_{*}\right)$ п $\delta(l, l)$– соответствующие коэффициенты влияния, определяемые методами теории сопротивления материалов,
\[
\delta\left(l, l_{*}\right)=\frac{\left(3 l-l_{*}\right) l_{*}^{2}}{6 E J}, \quad \delta(l, l)=\frac{l^{3}}{3 E J}
\]

Таким образом, дифференциальное уравнение колебаний груза запишется в виде
\[
\frac{m l^{3}}{3 E J} \ddot{y}+y=\frac{P(t)\left(3 l_{-}-l_{*}\right) l_{*}^{2}}{6 E J_{j}} .
\]

Вынужденные колебания балки возникнут и в том случае, когда вертикальная сила не меняется по модулю ( $P=$ const), но точка еe приложения движется вдоль балки. При этом абсцисса $l_{*}$, а вместе с этим и коэффициент влияния $\delta\left(l, l_{*}\right)$ становятся функциями времени, так тто дифференциальное уравнение принимает вид (если $\left.l_{*}=v t\right):$
\[
\frac{m l^{3}}{3 E J} \ddot{y}+y=\frac{P(3 l-v t) v^{2} t^{2}}{6 E J} .
\]

Решение этого уравнения см. ниже в примере 5.5.