Для изучения свободных колебаний системы с одной степенью свободы при наличии линейного трения будем исходить из уравнения Лагранжа
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q}=-\frac{\partial \mathrm{\Pi }}{\partial q}+Q_{\ast },$$

в котором $Q_{\ast }$-обобщенная сила линейного трения. Для ее определения примем, что на каждую точку системы действует сила линейного трения
$${\mathbf{R}}_i=-{\beta }_i{\mathbf{v}}_i,$$

где ${\beta }_i$ — коэффициент трения. Вспомнив основное выражение обобщенной силы
$$Q=\sum _{i=1}^n{\mathbf{R}}_i\frac{\partial {\mathbf{r}}_i}{\partial q}$$

и известное соотношение
$$\frac{\partial {\mathbf{r}}_i}{\partial q}=\frac{\partial {\mathbf{v}}_i}{\partial \dot{q}}$$

будем иметь
$$Q_{\ast }=-\sum _{i=1}^n{\beta }_i{\mathbf{v}}_i\frac{\partial {\mathbf{r}}_i}{\partial q}=-\sum _{i=1}^n{\beta }_i{\mathbf{v}}_i\frac{\partial {\mathbf{v}}_i}{\partial \dot{q}}.$$

Но так как
$${\mathbf{v}}_i\frac{\partial {\mathbf{v}}_i}{\partial \dot{q}}=\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial \dot{q}}\left({\mathbf{v}}_i{\mathbf{v}}_i\right)=\frac{1}{2}\frac{\partial v_i^2}{\partial \dot{q}}$$

To
$$Q_{\ast }=-\sum _{i=1}^n\frac{{\beta }_i}{2}\frac{\overrightarrow{\partial v_i^2}}{\partial \dot{q}}=-\frac{\partial }{\dot{\partial q}}\sum _{i=1}^n\frac{{\beta }_i{v}_i^2}{2}.$$

Входящая сюда сумма
$$\mathrm{\Phi }=\sum _{i=1}^n\frac{{\beta }_i{v}_i^2}{2}$$

формально сходна с выражением кинетической энергии и ее называют диссипативной функцией Рэлел. Способ, использованный выше при построении выражения (1.4) для кинетической энергии, в данном случае также приведет к компактному выражению
$$\mathrm{\Phi }=\frac{1}{2}\dot{b}{\dot{q}}^2,$$

где $b$-обобщенный коэффициент вязкости.
Окончательно приходим к следующему выражению для обобщенной силы трения:
$$Q_{\ast }=-\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \dot{q}}=-\dot{b}\dot{q}.$$

Так как по-прежнему $T=\frac{1}{2}a{\dot{q}}^2$, $\mathrm{II}=\frac{1}{2}c{q}^2$, то уравневие Јагранжа (2.1) принимает вид
$$a\ddot{q}+b\dot{q}+cq=0$$

При не слишком больших значениях обобщенного коэффициента вязкости, когда $b<2\sqrt{ac}$, общее рөшение

дифференциального уравнения (2.6) имеет вид
$$q=e^{-ht}(C_1\sin k_{\ast }t+C_2\cos k_{\ast }t),$$

где
$$h=\frac{b}{2a},k_{\ast }=\sqrt{k^2-h^2},$$

а постоянные $C_1$ п $C_2$ определяются из начальных условий
$$q(0)=q_0,\dot{q}(0)={\dot{q}}_0$$

в форме
$$C_1=\frac{{\dot{q}}_0+h{q}_0}{k_{\ast }},C_2=q_0.$$

Другая форма решения имеет вид
$$q=A{e}^{-ht}\sin (k_{\ast }t+\alpha )$$

где
$$A=\sqrt{\frac{{({\dot{q}}_0+h{q}_0)}^2}{k^2-h^2}+q_0^2},\mathrm{tg}\alpha =\frac{q_0\sqrt{k^2-h^2}}{{\dot{q}}_0+h{q}_0}.$$

Как видно из (2.7) или (2.9), движение представляет собой затухающие колебания с постоянной частотой, но
Рис. 2.1

постеденно убывающими амплитудами, так что процесс в целом характеризуется монотонным убыванием амплитуд (строго говоря, этот термин относится только к незатухающему процессу гармонических колебаний)-см. рис. 2.1.

Огибающие кривой процесса определяются функциями
$$A=\pm A_0{e}^{-ht},$$

где $A_0$ — начальная ордината огибающей.
Угловая частота свободных затухающих колебаний определяется выражением
$$k_{\ast }=\sqrt{k^2-h^2}=\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a},$$

соответственно длительность одного цикла составляет
$$T_{\ast }=\frac{2\pi }{k_{\ast }}=\frac{4\pi a}{\sqrt{4ac-b^2}}.$$

Чаще всего влияние трения на собственную частоту пренебрежимо мало, т. е. можно принять $k_{\ast }\approx k,T_{\ast }\approx T$.

Последовательность максимальных отклонений следует закону геометрической прогрессии, так как согласно (2.10) отношение двух последовательных максимальных отклонений $A(t):A(t+T_{\ast })$, разделенных интервалом времени $T_{\ast }$, является постоянной величиной, равной $e^{h{T}_{\ast }}$. Натуральный логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом; он равен
$$\mathrm{\Lambda }=h{T}_{\ast }=\frac{2\pi b}{\sqrt{4ac-b^2}}\approx \frac{\pi b}{\sqrt{ac}}.$$

Логарифмический декремент служит удобной количественной характеристикой темпа затухания свободных колебаний.

При достаточно больших значениях коэффициента вязкого трения, когда $b>2\sqrt{ac}$, общее решение дифференциального уравнения (2.6) вместо (2.7) запишется в виде
$$q=C_1{e}^{s_{1}t}+C_2{e}^{s_{2}t}$$

где
$$s_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Постоянные интегрирования определяются через начальные условия выражениями
$$C_1=\frac{-s_2{q}_0+{\dot{q}}_0}{s_1-s_2},C_2=\frac{-s_1{q}_0+{\dot{q}}_0}{s_2-s_1}.$$

Движение, описываемое выражением (2.13)- неколебательное (рис. 2.2); при любых начальных условиях величины $q$ и $\dot{q}$ асимптотически стремятся к нулю.

В случае, когда $b=2\sqrt{ac}$ (критическое загухание), решение дифференциального уравнения (2.6) имеет вид
$$q=e^{-kt}[q_0+(k{q}_0+{\dot{q}}_0)t]$$

и по характеру не отличается от показанного на рис. 2.2.
Pис. 2.2
Обратимся к представлению рассматриваемого движения на фазовой плоскости и начнем со случая относительно малого трения (см. выражение (2.9)). Образуем выражение скорости
$$\dot{q}=A{e}^{-ht}[k_{\ast }\cos (k_{\ast }t+\alpha )-$$
$$-h\sin (k_{\ast }t+\alpha )]$$

и будем рассматривать систему (2.9), (2.15) как уравнение фазовых траекторий в параметрической форме. На рис. 2.3,a изображены две типичные фазовые траектории; они представляют собой спирали, накручивающиеся
Рис. 2.3

на начало координат — особую точку, которая в данном случае называется устойчивым бокусом.

В случае относительно большого трения, когда движениө описывается решением (2.13), для скорости находим:
$$\dot{q}=C_1{s}_1{e}^{s_{1}t}+C_2{s}_2{e}^{s_{2}t}\text{. }$$

Рассматривая (2.13) и (2.16) как уравнение фазовых траекторий в параметрической форме, приходим к фазовой диаграмме, показанной на рис. $2.3,6$. В данном случае начало координат является особой точкой типа устойчивый узел.

Пример 2.1. По экспериментальной виброграмме свободных колебаний некоторой системы с одной степенью свободы установлено, что за один цикл амплитуда уменьшается на $40\mathrm{\%}$. Оценить, в какой мере трение в системе повлияло на частоту колебаний.
Прежде всего находим логариффиический декремент
$$\mathrm{\Lambda }=h{T}_{\ast }=\ln \frac{1}{1-0,4}=0,511,$$

отсюда
$$h=\frac{0,511}{T_{\ast }}=\frac{0,511}{2\pi }\sqrt{k^2-h^2}.$$

Ретая это уравнение, находим, что значение $h^2$ весьма мало́ по сравнению с $k^2$ :
$$h^2=0,00661k^2.$$

Соответственно частота колебаний
$$k_{\ast }=\sqrt{k^2-h^2}=0,997k$$

отличается от собственной частоты системы без трения всего на $0,3\mathrm{\%}$.

Из этого примера видно, что даже при заметном затухании колебаний (почти двукратное уменьшение амплитуды за один цикл) силы трения незначительно влияют на частоту колебаний.