Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Для изучения свободных колебаний системы с одной степенью свободы при наличии линейного трения будем исходить из уравнения Лагранжа в котором $Q_{*}$-обобщенная сила линейного трения. Для ее определения примем, что на каждую точку системы действует сила линейного трения где $\beta_{i}$ – коэффициент трения. Вспомнив основное выражение обобщенной силы и известное соотношение будем иметь Но так как To Входящая сюда сумма формально сходна с выражением кинетической энергии и ее называют диссипативной функцией Рэлел. Способ, использованный выше при построении выражения (1.4) для кинетической энергии, в данном случае также приведет к компактному выражению где $b$-обобщенный коэффициент вязкости. Так как по-прежнему $T=\frac{1}{2} a \dot{q}^{2}$, $\mathrm{II}=\frac{1}{2} c q^{2}$, то уравневие Јагранжа (2.1) принимает вид При не слишком больших значениях обобщенного коэффициента вязкости, когда $b<2 \sqrt{a c}$, общее рөшение дифференциального уравнения (2.6) имеет вид где а постоянные $C_{1}$ п $C_{2}$ определяются из начальных условий в форме Другая форма решения имеет вид где Как видно из (2.7) или (2.9), движение представляет собой затухающие колебания с постоянной частотой, но постеденно убывающими амплитудами, так что процесс в целом характеризуется монотонным убыванием амплитуд (строго говоря, этот термин относится только к незатухающему процессу гармонических колебаний)-см. рис. 2.1. Огибающие кривой процесса определяются функциями где $A_{0}$ – начальная ордината огибающей. соответственно длительность одного цикла составляет Чаще всего влияние трения на собственную частоту пренебрежимо мало, т. е. можно принять $k_{*} \approx k, T_{*} \approx T$. Последовательность максимальных отклонений следует закону геометрической прогрессии, так как согласно (2.10) отношение двух последовательных максимальных отклонений $A(t): A\left(t+T_{*}\right)$, разделенных интервалом времени $T_{*}$, является постоянной величиной, равной $e^{h T_{*}}$. Натуральный логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом; он равен Логарифмический декремент служит удобной количественной характеристикой темпа затухания свободных колебаний. При достаточно больших значениях коэффициента вязкого трения, когда $b>2 \sqrt{a c}$, общее решение дифференциального уравнения (2.6) вместо (2.7) запишется в виде где Постоянные интегрирования определяются через начальные условия выражениями Движение, описываемое выражением (2.13)- неколебательное (рис. 2.2); при любых начальных условиях величины $q$ и $\dot{q}$ асимптотически стремятся к нулю. В случае, когда $b=2 \sqrt{a c}$ (критическое загухание), решение дифференциального уравнения (2.6) имеет вид и по характеру не отличается от показанного на рис. 2.2. и будем рассматривать систему (2.9), (2.15) как уравнение фазовых траекторий в параметрической форме. На рис. 2.3,a изображены две типичные фазовые траектории; они представляют собой спирали, накручивающиеся на начало координат – особую точку, которая в данном случае называется устойчивым бокусом. В случае относительно большого трения, когда движениө описывается решением (2.13), для скорости находим: Рассматривая (2.13) и (2.16) как уравнение фазовых траекторий в параметрической форме, приходим к фазовой диаграмме, показанной на рис. $2.3,6$. В данном случае начало координат является особой точкой типа устойчивый узел. Пример 2.1. По экспериментальной виброграмме свободных колебаний некоторой системы с одной степенью свободы установлено, что за один цикл амплитуда уменьшается на $40 \%$. Оценить, в какой мере трение в системе повлияло на частоту колебаний. отсюда Ретая это уравнение, находим, что значение $h^{2}$ весьма мало́ по сравнению с $k^{2}$ : Соответственно частота колебаний отличается от собственной частоты системы без трения всего на $0,3 \%$. Из этого примера видно, что даже при заметном затухании колебаний (почти двукратное уменьшение амплитуды за один цикл) силы трения незначительно влияют на частоту колебаний.
|
1 |
Оглавление
|