Для изучения свободных колебаний системы с одной степенью свободы при наличии линейного трения будем исходить из уравнения Лагранжа
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q}=-\frac{\partial \Pi}{\partial q}+Q_{*},
\]

в котором $Q_{*}$-обобщенная сила линейного трения. Для ее определения примем, что на каждую точку системы действует сила линейного трения
\[
\mathbf{R}_{i}=-\beta_{i} \mathbf{v}_{i},
\]

где $\beta_{i}$ — коэффициент трения. Вспомнив основное выражение обобщенной силы
\[
Q=\sum_{i=1}^{n} \mathbf{R}_{i} \frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial q}
\]

и известное соотношение
\[
\frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial q}=\frac{\partial \mathbf{v}_{i}}{\partial \dot{q}}
\]

будем иметь
\[
Q_{*}=-\sum_{i=1}^{n} \beta_{i} \mathbf{v}_{i} \frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial q}=-\sum_{i=1}^{n} \beta_{i} \mathbf{v}_{i} \frac{\partial \mathbf{v}_{i}}{\partial \dot{q}} .
\]

Но так как
\[
\mathbf{v}_{i} \frac{\partial \mathbf{v}_{i}}{\partial \dot{q}}=\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial \dot{q}}\left(\mathbf{v}_{i} \mathbf{v}_{i}\right)=\frac{1}{2} \frac{\partial v_{i}^{2}}{\partial \dot{q}}
\]

To
\[
Q_{*}=-\sum_{i=1}^{n} \frac{\beta_{i}}{2} \frac{\overrightarrow{\partial v_{i}^{2}}}{\partial \dot{q}}=-\frac{\partial}{\dot{\partial q}} \sum_{i=1}^{n} \frac{\beta_{i} v_{i}^{2}}{2} .
\]

Входящая сюда сумма
\[
\Phi=\sum_{i=1}^{n} \frac{\beta_{i} v_{i}^{2}}{2}
\]

формально сходна с выражением кинетической энергии и ее называют диссипативной функцией Рэлел. Способ, использованный выше при построении выражения (1.4) для кинетической энергии, в данном случае также приведет к компактному выражению
\[
\Phi=\frac{1}{2} \dot{b} \dot{q}^{2},
\]

где $b$-обобщенный коэффициент вязкости.
Окончательно приходим к следующему выражению для обобщенной силы трения:
\[
Q_{*}=-\frac{\partial \Phi}{\partial \dot{q}}=-\dot{b} \dot{q} .
\]

Так как по-прежнему $T=\frac{1}{2} a \dot{q}^{2}$, $\mathrm{II}=\frac{1}{2} c q^{2}$, то уравневие Јагранжа (2.1) принимает вид
\[
a \ddot{q}+b \dot{q}+c q=0
\]

При не слишком больших значениях обобщенного коэффициента вязкости, когда $b<2 \sqrt{a c}$, общее рөшение

дифференциального уравнения (2.6) имеет вид
\[
q=e^{-h t}\left(C_{1} \sin k_{*} t+C_{2} \cos k_{*} t\right),
\]

где
\[
h=\frac{b}{2 a}, \quad k_{*}=\sqrt{k^{2}-h^{2}},
\]

а постоянные $C_{1}$ п $C_{2}$ определяются из начальных условий
\[
q(0)=q_{0}, \quad \dot{q}(0)=\dot{q}_{0}
\]

в форме
\[
C_{1}=\frac{\dot{q}_{0}+h q_{0}}{k_{*}}, \quad C_{2}=q_{0} .
\]

Другая форма решения имеет вид
\[
q=A e^{-h t} \sin \left(k_{*} t+\alpha\right)
\]

где
\[
A=\sqrt{\frac{\left(\dot{q}_{0}+h q_{0}\right)^{2}}{k^{2}-h^{2}}+q_{0}^{2}}, \quad \operatorname{tg} \alpha=\frac{q_{0} \sqrt{k^{2}-h^{2}}}{\dot{q}_{0}+h q_{0}} .
\]

Как видно из (2.7) или (2.9), движение представляет собой затухающие колебания с постоянной частотой, но
Рис. 2.1

постеденно убывающими амплитудами, так что процесс в целом характеризуется монотонным убыванием амплитуд (строго говоря, этот термин относится только к незатухающему процессу гармонических колебаний)-см. рис. 2.1.

Огибающие кривой процесса определяются функциями
\[
A= \pm A_{0} e^{-h t},
\]

где $A_{0}$ — начальная ордината огибающей.
Угловая частота свободных затухающих колебаний определяется выражением
\[
k_{*}=\sqrt{k^{2}-h^{2}}=\frac{\sqrt{4 a c-b^{2}}}{2 a},
\]

соответственно длительность одного цикла составляет
\[
T_{*}=\frac{2 \pi}{k_{*}}=\frac{4 \pi a}{\sqrt{4 a c-b^{2}}} .
\]

Чаще всего влияние трения на собственную частоту пренебрежимо мало, т. е. можно принять $k_{*} \approx k, T_{*} \approx T$.

Последовательность максимальных отклонений следует закону геометрической прогрессии, так как согласно (2.10) отношение двух последовательных максимальных отклонений $A(t): A\left(t+T_{*}\right)$, разделенных интервалом времени $T_{*}$, является постоянной величиной, равной $e^{h T_{*}}$. Натуральный логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом; он равен
\[
\Lambda=h T_{*}=\frac{2 \pi b}{\sqrt{4 a c-b^{2}}} \approx \frac{\pi b}{\sqrt{a c}} .
\]

Логарифмический декремент служит удобной количественной характеристикой темпа затухания свободных колебаний.

При достаточно больших значениях коэффициента вязкого трения, когда $b>2 \sqrt{a c}$, общее решение дифференциального уравнения (2.6) вместо (2.7) запишется в виде
\[
q=C_{1} e^{s_{1} t}+C_{2} e^{s_{2} t}
\]

где
\[
s_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} .
\]

Постоянные интегрирования определяются через начальные условия выражениями
\[
C_{1}=\frac{-s_{2} q_{0}+\dot{q}_{0}}{s_{1}-s_{2}}, \quad C_{2}=\frac{-s_{1} q_{0}+\dot{q}_{0}}{s_{2}-s_{1}} .
\]

Движение, описываемое выражением (2.13)- неколебательное (рис. 2.2); при любых начальных условиях величины $q$ и $\dot{q}$ асимптотически стремятся к нулю.

В случае, когда $b=2 \sqrt{a c}$ (критическое загухание), решение дифференциального уравнения (2.6) имеет вид
\[
q=e^{-k t}\left[q_{0}+\left(k q_{0}+\dot{q}_{0}\right) t\right]
\]

и по характеру не отличается от показанного на рис. 2.2.
Pис. 2.2
Обратимся к представлению рассматриваемого движения на фазовой плоскости и начнем со случая относительно малого трения (см. выражение (2.9)). Образуем выражение скорости
\[
\dot{q}=A e^{-h t}\left[k_{*} \cos \left(k_{*} t+\alpha\right)-\right.
\]
\[
\left.-h \sin \left(k_{*} t+\alpha\right)\right]
\]

и будем рассматривать систему (2.9), (2.15) как уравнение фазовых траекторий в параметрической форме. На рис. 2.3,a изображены две типичные фазовые траектории; они представляют собой спирали, накручивающиеся
Рис. 2.3

на начало координат — особую точку, которая в данном случае называется устойчивым бокусом.

В случае относительно большого трения, когда движениө описывается решением (2.13), для скорости находим:
\[
\dot{q}=C_{1} s_{1} e^{s_{1} t}+C_{2} s_{2} e^{s_{2} t} \text {. }
\]

Рассматривая (2.13) и (2.16) как уравнение фазовых траекторий в параметрической форме, приходим к фазовой диаграмме, показанной на рис. $2.3,6$. В данном случае начало координат является особой точкой типа устойчивый узел.

Пример 2.1. По экспериментальной виброграмме свободных колебаний некоторой системы с одной степенью свободы установлено, что за один цикл амплитуда уменьшается на $40 \%$. Оценить, в какой мере трение в системе повлияло на частоту колебаний.
Прежде всего находим логариффиический декремент
\[
\Lambda=h T_{*}=\ln \frac{1}{1-0,4}=0,511,
\]

отсюда
\[
h=\frac{0,511}{T_{*}}=\frac{0,511}{2 \pi} \sqrt{k^{2}-h^{2}} .
\]

Ретая это уравнение, находим, что значение $h^{2}$ весьма мало́ по сравнению с $k^{2}$ :
\[
h^{2}=0,00661 k^{2} .
\]

Соответственно частота колебаний
\[
k_{*}=\sqrt{k^{2}-h^{2}}=0,997 k
\]

отличается от собственной частоты системы без трения всего на $0,3 \%$.

Из этого примера видно, что даже при заметном затухании колебаний (почти двукратное уменьшение амплитуды за один цикл) силы трения незначительно влияют на частоту колебаний.