Идея способа была пояснена выше, а особенности применения к задачам исследования переходных процессов можно проследить на примере системы, описываемой дифференциальным уравнением (13.7).

Не повторяя прежних выкладок, примем в качестве исходного соотношение (13.10), которое связывает две последовательные амплитуды $A_{0}$ и $A_{1}$.

В § 13 при нахождении стационарных режимов амплитуды полагались неизменными, однако здесь при определении переходного процесса необходимо учитывать различие между ними.
Введем обозначения
\[
\alpha=\left(e^{-\pi h / k *}+1\right)^{2}, \quad \beta=e^{-2 \pi h / k} ;
\]
тогда для любой $n$-й амплитуды можно записать
\[
A_{n}=\beta A_{n-1}+\alpha R_{0} / c \text {. }
\]
С помощью последнего рекуррентного соотношения можно найти любую амплитуду через предыдущую и, если потребуется, оценить быстроту приближения переходного процесса к стационарному режиму.

Решение может быть существенно упрощено, если, как и выше (см. § 2, п. 2), вместо дискретной совокупности ординат рассматривать непрерывную фупкцию $A(t)$ (огибающую). Для такого перехода нужно заменить конечную разность $\Delta A=A_{n}-A_{n-1}$ выражением
\[
\Delta A=\frac{2 \pi}{k_{*}} \frac{d A}{d t} .
\]

Тогда с помощью (14.2) получим дифференциальное уравнение для верхней огибающей
\[
\frac{2 \pi}{k_{*}} \frac{d A}{d t}=(\beta-1) A+\alpha \frac{R_{0}}{c} .
\]

После интегрирования найдем лри начальном условии $A=A(0)$ при $t=0$
\[
A=\left[A(0)-\frac{\alpha R_{0}}{(1-\beta) c}\right] e^{-k_{*} t(1-\beta) /(2 \pi)}+\frac{\alpha R_{0}}{(1-\beta) c},
\]

или, с учетом выражения (13.11),
\[
A=\left[A(0)-A_{\text {ст }}\right] e^{-k_{*} t(1-\beta) /(2 \pi)}+A_{\text {ст }} .
\]

При достаточно малых значениях коэффициента вязкого трения $h / k_{*}$ можно принять $\alpha \approx 4, \beta \approx 1-2 \pi h / k_{\text {* }}$. При этом получится
\[
A=\left[A(0)-A_{\mathrm{cT}}\right] e^{-h t}+A_{\mathrm{cT}},
\]

где согласно (13.11)
\[
A_{\text {ст }}=2 R_{0} k_{\text {* }} /(\pi c h) .
\]

Для того чтобы убедиться в достаточно высокой точности последних выражений, рассмотрим пример, положив, что $h / k_{*}=0,05$. В таблице представлены безразмерные значения первых 15 амплитуд, вычисленных по рекуррентной формуле (14.2) и по приближенному уравнению (14.4) (для того чтобы найти амплитуды $A_{n}$, нужно внесенные в таблицу числа умножить на величину $R_{0} / c$ ). Значение $A(0)$ полагалось равным нулю, а значения $A_{\text {ст }}$, соответствующие $n \rightarrow \infty$, определялись по выражениям (13.11) и (14.5).