Идея способа была пояснена выше, а особенности применения к задачам исследования переходных процессов можно проследить на примере системы, описываемой дифференциальным уравнением (13.7).

Не повторяя прежних выкладок, примем в качестве исходного соотношение (13.10), которое связывает две последовательные амплитуды $A_0$ и $A_1$.

В § 13 при нахождении стационарных режимов амплитуды полагались неизменными, однако здесь при определении переходного процесса необходимо учитывать различие между ними.
Введем обозначения
$$\alpha ={(e^{-\pi h/k\ast }+1)}^2,\beta =e^{-2\pi h/k};$$
тогда для любой $n$-й амплитуды можно записать
$$A_n=\beta A_{n-1}+\alpha R_0/c\text{. }$$
С помощью последнего рекуррентного соотношения можно найти любую амплитуду через предыдущую и, если потребуется, оценить быстроту приближения переходного процесса к стационарному режиму.

Решение может быть существенно упрощено, если, как и выше (см. § 2, п. 2), вместо дискретной совокупности ординат рассматривать непрерывную фупкцию $A(t)$ (огибающую). Для такого перехода нужно заменить конечную разность $\mathrm{\Delta }A=A_n-A_{n-1}$ выражением
$$\mathrm{\Delta }A=\frac{2\pi }{k_{\ast }}\frac{dA}{dt}.$$

Тогда с помощью (14.2) получим дифференциальное уравнение для верхней огибающей
$$\frac{2\pi }{k_{\ast }}\frac{dA}{dt}=(\beta -1)A+\alpha \frac{R_0}{c}.$$

После интегрирования найдем лри начальном условии $A=A(0)$ при $t=0$
$$A=[A(0)-\frac{\alpha R_0}{(1-\beta )c}]e^{-k_{\ast }t(1-\beta )/(2\pi )}+\frac{\alpha R_0}{(1-\beta )c},$$

или, с учетом выражения (13.11),
$$A=[A(0)-A_{\text{ст }}]e^{-k_{\ast }t(1-\beta )/(2\pi )}+A_{\text{ст }}.$$

При достаточно малых значениях коэффициента вязкого трения $h/k_{\ast }$ можно принять $\alpha \approx 4,\beta \approx 1-2\pi h/k_{\text{* }}$. При этом получится
$$A=[A(0)-A_{\mathrm{cT}}]e^{-ht}+A_{\mathrm{cT}},$$

где согласно (13.11)
$$A_{\text{ст }}=2R_0{k}_{\text{* }}/(\pi ch).$$

Для того чтобы убедиться в достаточно высокой точности последних выражений, рассмотрим пример, положив, что $h/k_{\ast }=0,05$. В таблице представлены безразмерные значения первых 15 амплитуд, вычисленных по рекуррентной формуле (14.2) и по приближенному уравнению (14.4) (для того чтобы найти амплитуды $A_n$, нужно внесенные в таблицу числа умножить на величину $R_0/c$ ). Значение $A(0)$ полагалось равным нулю, а значения $A_{\text{ст }}$, соответствующие $n\to \mathrm{\infty }$, определялись по выражениям (13.11) и (14.5).