Из-за громоздкости интегралов, входящих в точную формулу (3.6), для определения частоты свободных колебаний часто пользуются приближенными способами. Конечно, их ценность несколько упала из-за возможностей, которые ныне предоставляют современные ЭВМ; однако эти способы до сих пор остается весьма полезным средством для выявления общего характера зависимости частоты колебаний от их амплитуды, а также для прикидочных расчетов.

Рассмотрим несколько приближенных способов применительно к случаю симметричной характеристики $F(q)$. Отметим, что некоторые из них разработаны для значительно более широкого круга задач, чем рассматриваемые в этом параграфе, и будут неоднократно встречаться в последующем пзложении.

Простейший способ. Наиболее прост, хотя не всегда достаточно точен, следующий прием. Прпмем, тто колебания в нелинейной системе с симметричной характеристикой описываются законом
\[
q=A \sin (k t+\alpha),
\]

подобно тому как это происходпт в ппнейных спстемах. Выражение (3.11) является точным решением только

тогда, когда характеристика $F(q)$ линейна. В общем случае подстановка (3.11) в дифференциальное уравнение (3.1) не обращает его в тождество.

Отметим, что в моменты прохождения через положение равновесия уравнение (3.1) удовлетворяется выражепием (3.11), и потребуем, кроме того, чтобы уравнение (3.1) удовлетворялось также в те моменты, когда обобщенная координата $q$ достигает максимума, т. е. равна $A$. При этом обобщенное ускорение $\ddot{q}$ также максимально по модулю:
\[
\ddot{q}_{\text {max }}=-A k^{2} .
\]

Следовательно, в указапные моменты долюно выполняться равенство
т. е.
\[
-a A k^{2}+F(A)=0,
\]
\[
k^{2}=\frac{F(A)}{a A} .
\]

Последнее выражение позволяет лепко получить достаточно правилыне общее представление о связи частоты $k$ с амплитудой $A$.

Так, если нелинейная характеристика имеет вид (3.7), то по формуле (3.12) найдем для частоты выражение
\[
k=\sqrt{\frac{\beta A^{2 n-1}}{a A}}=\sqrt{\frac{\beta}{a}} A^{n-1},
\]

которое содержит верную степень амшлитуды (см. точное решение (3.8)), но лишь приближенно определяет значение коэфициента при $A^{n-1}$; если, например, $n=2$, то по формуле (3.8) найдем $k=0,8472 \sqrt{\frac{\beta}{a}} A_{2}$ а по приближенной формуле $k=\sqrt{\frac{\beta}{a}} A$ (ошибка составляет $18 \%$ ).

Способ прямой линеаризации. Способ основан на непосредственной (прямой) замене нелинейной характеристики $F(q)$ некоторым эквивалентным линейным выражением. Так, при симметричной характеристике вместо $F(q)$ принимается
\[
F_{*}(q)=c q,
\]

где $c$ – коэффициент линеаризации, значение которого подбирается из следующих соображений. Уклонение за$5^{*}$

меняющей характеристики (3.13) от заменяемой характеристики $F(q)$ зависит от координаты $q$ (рис. 3.5):
\[
r(q)=F(q)-c q .
\]

В задачах о колебаниях, очевидпо, более существенны уклонения $r$ при бо́лыших значениях координаты $q$; поэтому в выражении интегрального уклонения естествен-
Рис. 3.5. но «усилить» роль разностей $r$ при бо́льших значениях координаты $q$. Примем за меру уклонения произведение
\[
r q=[F(q)-c q] q
\]

и рассмотрим интегральное квадратическое уклонение
\[
S=\int_{-A}^{A}(r q)^{2} d q,
\]

которое, очевидно, зависит от выбора параметра $c$. Для мипимизации этого уклонения воспользусмся условием
\[
\frac{d S}{d c}=0,
\]

из которого и может быть найдено минимизирующее значение $c$. После этого задачу можно считать, в сущности, решенной, так как она приведена к линейному уравнению.
Итак, задача сводится ж минимизации интеграла
\[
S=\int_{-A}^{A}\{[F(q)-c q] q\}^{2} d q,
\]
т. е. к определению минимизирующего знатепия c. Выполнив операции, указанные в (3.14) и (3.15), получим
\[
c=\frac{5}{2 A^{5}} \int_{-A}^{A} F(q) q^{3} d q=\frac{5}{A^{5}} \int_{0}^{A} F(q) q^{3} d q .
\]

Так, папример, при характеристике (3.7) находим
\[
c=\frac{5}{A^{5}} \int_{0}^{A} \beta q^{6} d q=\frac{5}{7} \beta A^{2} .
\]

Соответственно для частоты получится,
\[
k=0,8452 \sqrt{\frac{\bar{\beta}}{a}} A .
\]

Поғрешность этого результата составляет всего $0,23 \%$. Идею мипимизации интегральпого квадратического уклонения можно распространить и на случай несимметричных характеристик.

Метод гармонического баланса. Этот приближенный мстод является одним из наиболее распространенных при репепии многих шелипейных задат теюри колебаний. Прпменштельно к рассматриваемому здесь дифференциальному уравнению (3.1), когда $F(q)=-F(-q)$, его простейший вариант состоит в следующем.

Как и выше, примем решение этого уравнения в виде (3.11) и подставим его в левую часть дифференциального уравнения (3.1). Второе слагаемое $F[A \sin (k t+\alpha)]$ является периодической функцией периода $2 \pi / k$, и его можно разложить в ряд Фурье. Сохрапив в этом разложонии отигн первый члеп, приближенно имеем
\[
F[A \sin (k t+\alpha)]=b_{1}(A) \sin (k t+\alpha),
\]

где $b_{1}$ – коэффииент Фурье, определяемый выражением
\[
b_{1}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} F(A \sin \psi) \sin \psi d \psi, \quad \psi=k t+\alpha .
\]

Подстаповка выражений (3.11) и (3.18) в уравнение (3.1) приводит к соотноштению
\[
-a A k^{2}+b_{1}(A)=0,
\]

из которого следует первое приблпжение для квадрата частоты:
\[
k^{2}=\frac{b_{1}(A)}{a A} .
\]

Пусть, например, функция $F(q)$ опрелеляется выражением (3.7). Тогда по формуле (3.18) находим
\[
b_{1}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \beta A^{3} \sin ^{3} \psi \sin \psi d \psi=\frac{3}{4} \beta A^{3},
\]

т. e.
\[
k^{2}=0,75 \frac{\beta}{a} A^{2}, \quad k=0,8660 \sqrt{\frac{\bar{\beta}}{a}} A
\]

с ошибкой $2,2 \%$.
Метод медленно меняющихся амплитуд. Для того чтобы применить к расматривасмой задаче изложснный выше метод медленно меняющихся амплитуд (см. стр. 50), нужно прежде всего выделить из заданной функции $F(q)$ линейную часть $c q$ (если функция $F(q)$ чисто нелинейная, т. е. не содержит линейного слатаемого, то метод в принципе неприменим) и представить дифференцпальное уравнение (3.1) в виде (2.32), положив
\[
f(q, \dot{q})=-\frac{F(q)}{a}+k_{0}^{2} q
\]
(здесь $k_{0}^{2}=c / a$ – жвадрат собственной частоты линеаризованной спстемы). Далее образуются выражения (2.42):
\[
\begin{array}{c}
\Phi(A)=-\int_{0}^{2 \pi}\left[-\frac{F(A \cos \psi)}{a}+k_{0}^{2} A \cos \psi\right] \sin \psi d \psi, \\
\Psi(A)=\int_{0}^{2 \pi}\left[-\frac{F(A \cos \psi)}{a}+k_{0}^{2} A \cos \psi\right] \cos \psi d \psi .
\end{array}
\]

Рассматривая выражение (3.21), можно заметить, что под зпаком интеграла перемножаются четная и нечетная функции угла $\psi$; в заданном промежутке пнтегрирования өти функции ортогональны, так что $\Phi(A)=0$. Отсюда, согласно первому уравнению (2.41), следует $\dot{A}=0$, или $A=\mathrm{const}-$ результат, который можно было предвидеть для рассматриваемой задачи о свободных колебаниях консервативной системы.

После того, как будет вычислено значение $\Psi(A)$, по второму выражению (2.41) образуется величина $\dot{\varphi}$. Важно отметить, тто эта величина постоянная, так что $\varphi=\dot{\varphi} t+\varphi_{0}$ и аргумент в решении (2.34) припимает вид
\[
\psi=k_{0} t-\varphi=\left(k_{0}-\dot{\varphi}\right) t-\varphi_{0} .
\]

Таким образом, частота свободных колебаний заданной нелинейной систсмы определяется выражением
\[
k=k_{0}-\dot{\varphi}=k_{0}-\frac{\Psi(A)}{2 \pi k_{0} A} .
\]

Пример 3.3. Сопоставить с точным значепием значения частоты свободных колебаний системы с зазором, найденные простейшим способом и способом прямой линеаризации (рис. 3,2, б). Характеристика системы описывается выражениями, данными в начале примера 3.2 .
IIо простейшей формуле (3.12) находим
\[
k^{2}=k_{0}^{2}\left(1-\frac{A_{0}}{A}\right) \text {, }
\]

где $k_{0}^{2}=c / m$.
Для вычисления по способу прямой линеаризации пужно восцользоваться формулой (3.16), разделив область иштегрирования
Рис, 3.6

при $x>0$ на два участка. На первом участке $\left(0 \leqslant x \leqslant A_{0}\right) F(x)=$ $=0$ и интегрирование дает нуль. Поэтому
\[
\begin{array}{c}
c=\frac{5}{A^{5}} \int_{A_{0}}^{A} c_{0}\left(x-A_{0}\right) x^{3} d x=c_{0}\left(1-\frac{5 A_{0}}{4 A}+\frac{A_{0}^{5}}{4 A^{5}}\right), \\
k^{2}=k_{0}^{2}\left(1-\frac{5 A_{0}}{4 A}+\frac{A_{0}^{5}}{4 A^{5}}\right) .
\end{array}
\]

На рис. 3.6 показаны завпспмостп (a) п (б), а также найденшыї в примере 3.2 результат гочного решения.

Пример 3.4. Для системы с кубической характеристикой
\[
F(q)=c q+\beta q^{3}
\]

найти частоту свободных колебаний методами гармонического баланса и медлепно меняющихся амплитуд.

Первое приближение по методу гармонического баланса найдем по выражению (3.19), подставив туда
\[
b_{1}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(c A \sin \psi+\beta A^{3} \sin \psi\right) \sin \psi d \psi=c A+\frac{3}{4} \beta A^{3} .
\]

Таким образом, получаем
\[
k^{2}=k_{0}^{2}+\frac{3 \beta A^{2}}{4 a} .
\]

Для решения по методу медленно меняющихся амплитуд находим по выражению (3.22)
\[
\Psi(A)=\int_{0}^{2 \pi}\left(-\frac{\beta A^{3} \cos ^{3} \psi}{a}\right) \cos \psi d \psi=-\frac{3}{4} \frac{\pi \beta A^{3}}{a}
\]

и соответственно по выражепию (3.23)
\[
k=k_{0}+\frac{3}{8} \frac{\beta A^{2}}{a k_{0}},
\]

или
\[
k^{2}=k_{0}^{2}+\frac{3 \beta A^{2}}{4 a}+\frac{9}{64} \frac{\beta^{2} A^{4}}{a^{2} k_{0}^{2}} .
\]

Как видно, результаты (а) и (б) совпадают с точностью до последнего слагаемого в выражепии (б).

Здесь, кстати, отметим, что решение (б) становится очевидпо ошибочным, если характеристика системы чисто пелинеіная, т. е. когда $c=0$ и соответственно $k_{0}=0$. В этом можно видеть напоминание о том, что метод медленно мепяющихся амплитуд в припципе применим тольго к системам с малыми нелинейностями.