Наиболее общий вид дифференциальных уравнений движения может быть получен в форме уравнений Латранжа, которые при консервативных силах имеют вид
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{j}}=-\frac{\partial \Pi}{\partial q_{j}}
\]

где $T$ и II – кинетическая п потенциальная энергии, $q_{j}$ и $\dot{q}_{j}$ – обобщённые координаты и обобщенные скорости, $j=1,2, \ldots, s$ – номер координаты, $s$ – число степеней свободы.

Из курса теоретической механики известно, что при малых движениях голюшомпой системы со стационарными связями около положения равновесия кинетическая и потенциальная энергии следующим образом выражаются через обобщенные координаты:
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{j, k=1}^{s} a_{j k} \dot{q}_{j} \dot{q}_{k}, \quad \Pi=\frac{1}{2} \sum_{j, k=1}^{s} c_{j k} q_{j} q_{k} .
\]

Здесь $j=1,2, \ldots, s ; k=1,2, \ldots, s ; a_{j k}=a_{k j}$ – инерционные коэффициенты, $c_{j k}=c_{k j}$ – квазиупругие коэффициенты, называемые также обобщенными коэффициентами жесткости.

If выражениям (4.2) можно прийти путем рассуждений, аналогичных изложенным выше при выводе выражений (1.4) и (1.8), относящихся к системе с одной степенью свободы.

Если соответствующее нулевым значениям координат положение равновесия устойчиво, то потенциальная энергия в этом положении имеет изолированный минимум, а второе из выражений (4.2) есть положительно определенная квадратичная форма. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие неравенства (критерий Сильвестра):
\[
\begin{array}{c}
c_{11}>0, \quad\left|\begin{array}{ll}
c_{11} & c_{12} \\
c_{21} & c_{22}
\end{array}\right|>0, \\
\left|\begin{array}{lll}
c_{11} & c_{12} & c_{13} \\
c_{21} & c_{22} & c_{23} \\
c_{31} & c_{32} & c_{33}
\end{array}\right|>0, \ldots,\left|\begin{array}{llll}
c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1 s} \\
c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2 s} \\
\cdots & . & \cdots & \cdot \\
c_{s 1} & c_{s 2} & \ldots & c_{s s}
\end{array}\right|>0 .
\end{array}
\]

Применительно к системам с несколькими степенями свободы эти неравенства имеют тот же смысл, как и условие $c>0$ для системы с одной степенью свободы (см. § 1). При выполнении неравенств (4.3) система, выведеплая из положения равновесия, совершает свободные колебания.

Подставив выражения (4.2) в уравнение (4.1), получим следующую систему линейных однородных диффе-

ренциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
\[
\sum_{k=1}^{s}\left(a_{j k} \ddot{q}_{k}+c_{j k} q_{k}\right)=0, \quad j=1,2, \ldots, s .
\]

Конечно, фактическое составление системы уравнений (4.4) не обязательно вести по схеме Лагранжа. Во многих задачах о колебаниях удобно пользоваться более с непосредственными способами – прямым и обратным.

Согласно прямому способу из системы выделяются сосредоточенные массы (или твердые тела) и каждая из них рассматривается как свободная материальная точка (или соответственно жак свободное тело), находящаяся под действием позиционных (восстанавливающих) сил, которые выражаются через выбранные обобщенные координаты; после этого записываются соответствующие дифференциальные уравнения движения для материальных точек (или тел).

Обратный способ противоположен прямому: после отделения сосредоточенных масс (или твердых тел) рассматривается оставшаяся безынерционная система жестких и упругих связей, т. е. «безмассовый скелет» системы, который находится под действием кинетических
Pис. 4.1

реакций отделенных частей системы, причем кинетические реакции (силы инерции) выражаются через обобщенные ускорения. Затем формулируются статические соотношения для перемещений без массового (безынерционного) скелета системы.

Проследим особенности названных способов на примере системы с двумя степенями свободы, состоящей из двух тел с массами $m_{1}$ и $m_{2}$, соединенных двумя пружинами, жесткости которых равны $c_{1}$ и $c_{2}$ (рис. 4.1).

За обобщённые координаты примем горизонтальные перемещения $x_{1}$ и $x_{2}$ грузов, отсчитывая эти перемещения от состояния равновесия, в котором пружины не деформированы. Удлинения пружин в процессе движения равіны $\Delta l_{1}=x_{1}, \Delta l_{2}=x_{2}-x_{1}$.

Основной способ (уравнения Лагранжа). Прежде всего находим кинетическую энергию грузов
\[
T=\frac{m_{1} \dot{x}_{1}^{2}}{2}+\frac{m_{2} \dot{x}_{2}^{2}}{2}
\]

и потсициальную энергию деформации пружин
\[
\mathrm{II}=\frac{c_{1} x_{1}^{2}}{2}+\frac{c_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}}{2} .
\]

Далее образуем производные, необходимые для подстановки в уравнение Лагранжа (4.1):
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_{1}}=m_{1} \dot{x}_{1}, \quad \frac{\partial T}{\partial \dot{x}_{2}}=m_{2} \dot{x}_{2}, \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_{1}}\right)=m_{1} \ddot{x}_{1}, \quad \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_{2}}\right)=m_{2} \ddot{x}_{2}, \\
\frac{\partial \mathrm{II}}{\partial x_{1}}=c_{1} x_{1}-c_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right), \quad \frac{\partial \mathrm{II}}{\partial x_{2}}=c_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) .
\end{array}
\]

Теперь записываем уравнения (4.1):
\[
\begin{array}{c}
m_{1} \ddot{x}_{1}+c_{1} x_{1}-c_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)=0, \\
m_{2} \ddot{x}_{2}+c_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)=0 .
\end{array}
\]

Прямой способ. Выделяем грузы и рассматриваем их как свободные тела под действием сил упругости $N_{1}$ и $N_{2}$, определяемых удлинениями $\Delta l_{1}$ и $\Delta l_{2}$ обеих пружин (рис. 4.1, б):
\[
\begin{array}{c}
N_{1}=c_{1} \Delta l_{1}=c_{1} x_{1}, \\
N_{2}=c_{2} \Delta l_{2}=c_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) .
\end{array}
\]

Дифференциальные уравнения движения грузов имеют вид
\[
\begin{array}{c}
m_{1} \ddot{x}_{1}=-N_{1}+N_{2}, \\
m_{2} \ddot{x}_{2}=-N_{2} .
\end{array}
\]

Подставив сюда выражения для сил $N_{1}$ и $N_{2}$, приходим к ранее полученной системе уравнений:
\[
\begin{array}{c}
m \ddot{x}_{1}+c_{1} x_{1}-c_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)=0, \\
m \ddot{x}_{2}+c_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)=0 .
\end{array}
\]

Обратный способ. Отделяем грузы и рассматриваем упругий безмассовый скелет спстемы под действием кинетических реакций $-m_{1} \ddot{x}_{1}$ и $-m_{2} \ddot{x}_{2}$ (рис. 4.1, в). В этой схеме первая пружина нагружена силой $-m_{1} \ddot{x}_{1}-m_{2} \ddot{x}_{2}$, а вторая пружина – силой $-m_{2} \ddot{x}_{2}$. Перемещение $x_{1}$ коца первой пружины, равное ее удлинению, можно записать в виде
\[
x_{1}=\frac{-m_{1} \ddot{x}_{1}-m_{2} \ddot{x}_{2}}{c_{1}} .
\]

Перемещение правого копца второй пружины $x_{2}$ равно сумме удлинений обеих пружин, т. е.
\[
x_{2}=\frac{-m_{1} \ddot{x}_{1}-m_{2} \ddot{x}_{2}}{c_{1}}+\frac{-m_{2} \ddot{x}_{2}}{c_{2}} .
\]

Из двух последних соотношений получаем
\[
\begin{array}{r}
m_{1} \ddot{x}_{1}+m_{2} \ddot{x_{2}}+c_{1} x_{1}=0, \\
\frac{c_{2}}{c_{1}} m_{1} \ddot{x}_{1}+m_{2}\left(1+\frac{c_{2}}{c_{1}}\right) \ddot{x_{2}}+c_{2} x_{2}=0 .
\end{array}
\]

Полученные выше по осповному и прямому способам формы записи совпали потому, что при нашем выборе обобщенных координат кинетическая әнергия имеет каноническую борму:
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{s} a_{j} \dot{q}_{j}^{2},
\]
т. е. не содержит произведений скоростей $\dot{q}_{j} \dot{q}_{k}$ при $j
eq k$. При этом каждое из уравнений Лагранжа содержит только по одному обобщенному ускорению, как әто получается и при шользовании прямым способом. Если обобщенные кординаты были выбраны так, чтобы каноническую форму имела потенциальная әнергия
\[
\Pi=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{s} c_{j} q_{j}^{2},
\]

то уравнения Лагранжа совпали бы с уравнениями, полученными с помощью обратного способа. Сопоставляя полученные варианты записи по прямому и обратному способам, можно сделать следующее общее заключение относительно структуры дифференциальных уравнений: при составлении системы уравнений по прямому способу $a_{i j}=0$ при $i
eq j$, а при составлении по обратному способу $c_{i j}=0$ при $i
eq j$. Таким образом, пользуясь прямым способом, мы приходим вместо (4.4) к системе
\[
a_{j} \ddot{q}_{j}+\sum_{k=1}^{s} c_{j k} q_{k}=0 \quad(j=1,2, \ldots, s),
\]

а применяя обратный способ – к системе
\[
\sum_{k=1}^{s} a_{j k} \ddot{q}_{k}+c_{j} q_{j}=0 \quad(j=1,2, \ldots, s)
\]
(вместо $a_{j j}$ в уравнениях (4.7) и (4.9) записано $a_{j}$, так как второй индекс становится лишним; аналогично, вместо $c_{j j}$ в уравнениях (4.8) и (4.10) записано $c_{j}$ ).

Принципиально важно, что специальным выбором обобщенных кординат можно придать каноническую форму как кинетической, так и потенциальной энергии. Такие координаты $\xi_{j}(j=1,2, \ldots, s)$ называются нормальныли или главныли. При этом
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{s} a_{j} \dot{\xi}_{j}^{2}, \quad \Pi=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{s} c_{j} \xi_{j}^{2}
\]

и уравнепия Лагранжа приобретают наиболее простой вид
\[
\ddot{a}_{j} \xi_{j}+c_{j} \xi_{j}=0 \quad(j=1,2, \ldots, s) .
\]

Каждое из них интегрируется независимо от других. Короче говоря, при использовании главных координат система как бы представляет собой совокупность нөзавпсимых парциальных систем с одной стененью свободы. Чаще всего заранее трудно указать, какие кинематические параметры (или их комбинации) являются главными координатами, и для перехода $\kappa$ ним требуются обширные выкладки, объем которых не уступает объему выкладок при репении задатп в произвольно принятых (не главных) обобщепных координатах. Поэтому введение понятия главных координат практичеоки не облегчает решение задачи о свободных колебаниях, но весьма

полезно для углубленного понимания их закономерностей и для теоретического анализа.

Связь между вариантами записи (4.9) и (4.10) удобно проследить, исхдя из фундаментального соотношения, определяющето статические перемещения в упругой линейной системе общего вида.
\[
q_{j}=\sum_{k=1}^{s} \delta_{j k} F_{k} \quad(j=1,2, \ldots, s),
\]

в жоторой $\delta_{\ldots}$ коэффициент влияния для перемещений, т. е. значение $j$-й обобщенной координаты, соответствующее действию статически приложенной $k$-й обобщенной силы, равной единице (в строительной механике величины $\delta_{j_{k}}$ называют единичными перемещениями). В матричной форме соотношения (4.13) имеют вид
\[
\{q\}=[\delta]\{F\},
\]

где
\[
\{q\}=\left\{\begin{array}{c}
q_{1} \\
q_{2} \\
\vdots \\
q_{s}
\end{array}\right\}
\]

представляет собой матрицу-столбец (вектор) обобщенпых коюрдинат,
\[
[\delta]=\left[\left.\begin{array}{cccc}
\delta_{11} & \delta_{12} & \cdots & \delta_{1 s} \\
\delta_{21} & \delta_{22} & \cdots & \delta_{2 s} \\
\cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\
\delta_{s l} & \delta_{s 2} & \cdots & \delta_{s s}
\end{array} \right\rvert\,\right.
\]
– матрицу коэффициентов влияния для перемещений,
\[
\{F\}=\left\{\begin{array}{c}
F_{1} \\
F_{2} \\
\vdots \\
F_{s}
\end{array}\right\}
\]
– матрицу-столбец (вектор) обобщенных сил. Введем матрицу
\[
[\delta]^{-1}=[r]=\left[\begin{array}{cccc}
r_{11} & r_{12} & \cdots & r_{1 s} \\
r_{21} & r_{22} & \cdots & r_{2 s} \\
\cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\
r_{s l} & r_{s 2} & \cdots & r_{s s}
\end{array}\right],
\]

обратную матрице (4.16), и умножим слева матричное соотношение (4.14) па матрицу (4.18). Тогда получим
\[
[r]\{q\}=\{F\} .
\]

Для того чтобы выяснить физический смысл элементов $r_{j k}$ матрицы (4.18), представим себе, что на все точки системы наложены дошолнительные связи, обращающие в нуль все обобщенные перемещения, кроме перемещения $q_{k}$, причем последнему придано значение $q_{k}=1$. Tогда $r_{j k}$ представит собой реакцию $j$-й дополнительной связи, соответствующую перемещению $q_{h}=1$ (в строительной механике величины $r_{j k}$ назњвают единичными реакцияли).

Из соотношения (4.19) следуют дифференциальные уравнения прямого метода, а из соотношения (4.14)уравнения обратного метода. В самом деле, в задачах о свободных колебаниях $F_{j}=-m_{j} \ddot{q}_{j}$, так что если ввести диагональную матрицу
\[
[m]=\left|\begin{array}{cccc}
-m_{1} & 0 & \ldots & 0 \\
0 & m_{2} & \ldots & 0 \\
0 & 0 & \ldots & m_{s}
\end{array}\right|,
\]

то можно записать
\[
\{F\}=-[m]\{\ddot{q}\} .
\]

Подставляя (4.21) в (4.19), получим
\[
[r]\{q\}=-[m]\{\ddot{q}\},
\]
т. е. уравнепия типа (4.9); после подстановки (4.21) в (4.14) найдем
\[
\{q\}=-[\delta][m]\{\ddot{q}\},
\]
т. е. уравнения типа (4.10).

Хотя уравнения (4.9) и (4.10) в принципе эквивалептны, однако объемы операций, овязанных с вычислением коәффициентов, могут оказаться различными.

Прямой способ особенно удобен для систем цепной структуры, если в таких системах упругие силы несложно выражаются через перемещения двух соседних тел. Таковы, например, системы, изображенные на рис. 4.2. Пусть $q_{j}$ – обобщенная координата, представляющая горизонтальное перемещение $j$-го груза в схеме на

рис. 4.2, а или угловое перемещение $j$-го диска в схеме на рис. 4.2, б. Іри этом сумму ушругих сил, действующих на груз (рис. 4.2,a), или сумму упругих моментов, действующих на диск (рнс. 4.2,б), можно представить в единой форме:
\[
Q_{j}=-c_{j}\left(q_{j}-q_{j-1}\right)+c_{j+1}\left(q_{j+1}-q_{j}\right),
\]

где $c_{j}$ – жесткость упругой связи, расположенной между грузами (дисками) $j-1$ и $j ; c_{j+1}$ жесткость упругой
Рис. 4.2

связи, расположенной между грузами (дисками) $j$ и $j+1$. Соответственно дифференциальное уравнение движения $j$-го груза в схеме $a$ имеет вид
\[
m_{j} \dot{q}_{j}=-c_{j}\left(q_{j}-q_{j-1}\right)+c_{j+1}\left(q_{j+1}-q_{j}\right),
\]
т. е. соответствует форме (4.9). Таким же будет и дифференциальное уравнение движения $j$-го диска в схеме 6 , если заменить инерционный коэффициент $m_{j}$ на момент инерции диска $I_{j}$.

Отметим, тто в каждом из уравнений (4.25) содержатся только по три неизвестные функции, а для крайних грузов (дисков) уравнение будет содөржать только две веизвестные функции. При этом коэффициенты уравнения легко вычисляются по исходным данным задачи. Применение обратного способа в данном случае приводит к значительно более сложным уравнениям, так как число неизвестных функций, входящих в дифференциальпые уравнения, возрастает с удалением от левого конца системы, и последнее уравнение содержит все $s$ функций $q_{j}$. При расчетах крутильных колебаний валов обычно пользуются прямым способом.

С другой стороны, для балочных систем с сосредоточенными массами удобнее обратный способ. Так, для системы, показанной на рис. 4.3, a, придем к кинетостатической схеме па рис. 4.3,6. В дапном случае, пользуясь коэффициентами влияния $\delta_{j k}$, получаем уравнения типа (4.10):
\[
y_{j}=-m_{1} \ddot{y}_{1} \delta_{j 1}-m_{2} \ddot{y}_{2} \delta_{j 2}-\ldots-m_{s} \ddot{y}_{s} \delta_{j s} \quad(j=1,2, \ldots, s) \text {, }
\]

соответствующие матричному уравнению (4.23). Обратный способ особенно часто используется в динамике сооружений.

Пример 4.1. Составить дифферепциальные уравпения свободных колебаний консоли, песущей на свободном конце груз, обладающий копечпым моментом инердии (рис. 4.4,a); считать, что
Рис. 4.3
Рис. 4.4

массой балки можно пренебречь по сравпению с массой груза. Обозначения: $l$-длина консоли, $E J$ – изгибная жесткость, $m$ масса груза, $\rho$-его радиус инерции.

Рассматриваемая система имеет две степени свободы, и за обобщенные координаты удоб̈о выбрать прогиб $y$ и угол поворота $\varphi$ конца консоли (рис. 4.4, б). Для составления дифферепциальпых уравнений движения воспользуемся обратным способом и рассмотрим изгиб безыперционного скелета, показанного на рис. 4.4, в.

Впешними силами являотся сила инерции груза $-m \ddot{y}$ и момепт сил инерции $-m \stackrel{\ddot{.}}{\rho^{2} \text {. Тогда }}$
\[
y=-m \ddot{y} \delta_{11}-m \rho^{2} \varphi \ddot{\delta_{12}}, \varphi=-m y \ddot{\delta_{21}}-\mathrm{m} \rho^{2} \varphi \ddot{\delta_{22}}
\]

Коэффициенты влияния можно найти методами сопротивления ма6 я, г, Пановко

териалов, папример с помощью формулы Верещагина. В данном случае они выражаются следуюцим образом:
\[
\delta_{11}=\frac{l^{3}}{8 E J}, \quad \delta_{12}=\delta_{21}=\frac{l^{2}}{2 E J}, \quad \delta_{22}=\frac{l}{E J} .
\]

Таким образом, дифференциальные уравпения движения принимают вид
\[
\ddot{m} \frac{l^{3}}{3 E J}+m \rho^{2} \ddot{\varphi} \frac{l^{2}}{2 E J}+y=0, \quad m \ddot{y} \frac{l^{2}}{2 E J}+m \rho^{2} \ddot{\varphi} \frac{l}{E J}+\varphi=0 .
\]

Дальнейший анализ системы см. ниже, на стр. 86, 92 и 93.