Рассмотрим случай, когда на квазилинейную автоколебательную систему с одной степенью свободы действует гармоническая вынуждающая сила, причем частота $\omega$ силы близка к собственной частоте $k_{0}$ линеаризованной системы. Дифференциальное уравнение задачи имеет вид
\[
\ddot{q}+k_{0}^{2} q=f(q, \dot{q})+\frac{P}{a} \sin \omega t .
\]

Поставим задачу определения условий существования периодических движений с частотой возмущающей силы $\omega$.

Для того чтобы воспользоваться ранее полученными соотношениями, введем коэффициент расстройки
\[
\varepsilon=\frac{k_{0}^{2}}{\omega^{2}}-1,
\]

т. е. примем
\[
k_{0}^{2}=\omega^{2}(1+\varepsilon),
\]

считая, что значение $\varepsilon$ мало по сравнению с единицей.
Теперь можно переписать уравнение (15.1) в виде
\[
\ddot{q}+\omega^{2} q=f(q, \dot{q})-\varepsilon \omega^{2} q+\frac{p}{a} \sin \omega t_{s}
\]

и, пользуясь основной идеей метода медленно меняющихся амплитуд, вновь будем разыскивать решение в виде (2.34), учитывая прежнее условие (2.35). При этом мы придем к соотношениям типа (2.39), но – соответственно правой части уравнения (15.3) – они будут иметь несколько иной вид:
\[
\begin{array}{r}
\dot{A}=-\frac{1}{\omega} f[A \cos (\omega t-\varphi),-A \omega \sin (\omega t-\varphi)] \sin (\omega t-\varphi)+ \\
\quad+\varepsilon \omega A \sin (\omega t-\varphi) \cos (\omega t-\varphi)-\frac{P}{a \omega} \sin \omega t \sin (\omega t-\varphi), \\
\dot{\varphi}=\frac{1}{\omega A} f[A \cos (\omega t-\varphi),-A \omega \sin (\omega t-\varphi)] \cos (\omega t-\varphi)- \\
-\varepsilon \omega \cos ^{2}(\omega t-\varphi)+\frac{P}{a A \omega} \sin \omega t \cos (\omega t-\varphi)
\end{array}
\]

Соответственно вместо укороченных уравнений типа (2.41) получится
\[
\begin{array}{l}
\dot{A}=\frac{\Phi(A)}{2 \pi \omega}-\frac{P \cos \varphi}{2 a \omega}, \\
\dot{\varphi}=\frac{\Psi(A)}{2 \pi A \omega}-\frac{\varepsilon \omega}{2}+\frac{P \sin \varphi}{2 a A \omega} .
\end{array}
\]

В рассматриваемом случае стационарного режима обе эти производные должны быть равны нулю:
\[
\frac{\Phi(A)}{2 \pi \omega}-\frac{P \cos \varphi}{2 a \omega}=0, \quad \frac{\Psi(A)}{2 \pi A \omega}-\frac{\varepsilon \omega}{2}+\frac{P \sin \varphi}{2 a A \omega}=0 .
\]

Наибольший интерес представляет значение амплитуды $A$. Для его определения исключим фазу $\varphi$ из уравнений (15.5); тогда получим
\[
\Phi^{2}(A)+\left[\Psi(A)-\pi A \omega^{2} \varepsilon\right]^{2}=\left(\frac{\pi P}{a}\right)^{2} .
\]

График получаемой отсюда зависимости $A=A(\varepsilon)$ иногда называют резонансной кривой.

Вернемся к первому примеру п. 2 § 13, когда на систему действует вынуждающая сила $P \sin \omega t$, частота которой близка к собственной частоте линеаризованной сиРис. 15.1

стемы. В соответствии с (13.7) (см. также рис. 13.5,a) для этой системы
\[
f(q, \dot{q})=-\frac{b}{a} \dot{q}+\frac{R_{0}}{a} \operatorname{sign} \dot{q},
\]

и по формулам (2.42) находим
\[
\begin{array}{l}
\Phi(A)=-\frac{\pi b \omega}{a} A+\frac{4 R_{0}}{a}, \\
\Psi(A)=0 .
\end{array}
\]

Следовательно, соотношение (15.6) принимает вид
\[
\left(\frac{4 R_{0}}{a}-\frac{\pi b \omega}{a} A\right)^{2}+\left(\pi A \omega^{2} \varepsilon\right)^{2}=\left(\frac{\pi P}{a}\right)^{2} .
\]

Удобно ввести безразмерные величины
\[
\varepsilon_{*}=\varepsilon \frac{a \omega}{b}, \quad A_{*}=A \frac{\pi b \omega}{4 R_{0}}, \quad P_{*}=P \frac{\pi}{4 R_{0}} .
\]

Тогда получим
\[
\left(1-A_{*}\right)^{2}+\left(\varepsilon_{*} A_{*}\right)^{2}=P_{*}^{2} .
\]

Отсюда находим
\[
A_{*}=\frac{1 \pm \sqrt{P_{*}^{2}\left(1+\varepsilon_{*}\right)^{2}-\varepsilon_{*}^{2}}}{1+\varepsilon_{*}^{2}} .
\]

На рис. 15.1 показаны графики зависимостей безразмерной амплитуды $A_{*}$ от параметра расстройки $\varepsilon_{*}$ при

трех значениях безразмерной силы: $P_{*}=0,5 ; 1 ; 2$. Заштрихованной области соответствуют неустойчивые решения, когда синхронизация не осуществляется (само исследование устойчивости здесь опущено).