Этот случай изменения параметра иллюстрирован на рис. 9.3,б. Соответствующее дифференциальное уравнение движения запишем в виде
\[
\ddot{q}+k_{0}^{2}(1-\mu \cos \omega t) q=0 .
\]

Как и в § 10 , здесь $k_{0}$ – среднее значение собственной частоты, $\mu$ – относительная глубина пульсации переменного коэффициента. Дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами (11.1) называется уравнением Матье. Обычно это уравнение записывают в форме
\[
\frac{d^{2} q}{d \tau^{2}}+(a-2 \varepsilon \cos 2 \tau) q=0,
\]

Ћ которой можно прийти, положив в уравнении (11.1)
\[
\omega t=2 \tau, \quad k_{0}^{2}=\frac{a \omega^{2}}{4}, \quad \mu=\frac{2 \varepsilon}{a},
\]

Решениями уравнения (11.2) служат специальные функции, называемые функциями Матье, свойства которых подробно изучены. Как и в случае рассмотренного в § 10 параметрического возбуждения, эти решения могут быть пли ограниченными, или неограниченно возрастающими. Выделение соответствующих этим случаям областей параметров $a$ и $\varepsilon$ приводит к диаграмме устойчивости, которая дана в готовом виде на рйс. 11.1 (диаграмма Айнса-Стретта); она сходна с диаграммой устойчивости, изображенной на рис. 10.1. Границам между областями устойчивости и неустойчивости соответствуют периодические движения. Диаграмма устойчивости симметрична
Puc. 11.1

относительно оси $a$, так как знак $\varepsilon$ в уравнении (11.2) пе имеет значения.

Если дифференциальное уравнение задачи приведено к форме (11.2), то по данным значениям $a$ и $\varepsilon$ с помощью диаграммы устойчивости можно сразу сделать заключение об устойчивости или неустойчивости системы. Как и выше, речь может идти либо об устойчивости состояния равновесия ( $q$ – отклонение от этого состояния), либо об устойчивости некоторого основного движения (в этом случае под $q$ следует понимать вариацию координаты).

Для приближенного определения границ между областями устойчивости и неустойчивости в плоскости параметров $a, \varepsilon$ может быть применен способ гармонического баланса. На границах первой области неустойчивости движение должно быть периодическим, причем период, как мы видели в § 10, вдвое больше периода изменения параметра. Но период изменения параметра в уравнении (11.2) равен $\pi$, так что указанное движение имеет период $2 \pi$ и его можно представить в виде ряда $q=A_{1} \sin \tau+B_{1} \cos \tau+A_{3} \sin 3 \tau+B_{3} \cos 3 \tau+\ldots$
Ограничиваясь первыми двумя членами, подставим их

сумму в уравнение (11.2); приравнивая нулю коэффициенты шри $\sin \tau$ и $\cos \tau$, получаем два однородных уравнения
\[
(a-\varepsilon-1) A_{1}=0,(a+\varepsilon-1) B_{1}=0,
\]

пз которых следуют уравнения обеих границ:
\[
a^{\mathrm{np}}=1+\varepsilon, \quad a^{\text {sев }}=1-\varepsilon .
\]

Эти уравнения можно уточнить, принимая во внимание большее число членов ряда (11.4).

Приведем без вывода более точные уравнения для первых четырех областей неустойчивости, обозначая значения $a$ на границах $n$-й области неустойчивости через $a_{n}^{\text {пр }}$ и $a_{n}^{\text {лег }}$
\[
\begin{array}{l}
a_{0}^{\Pi \mathrm{p}}=-\frac{1}{2} \varepsilon^{2}+\frac{7}{128} \varepsilon^{4}-\ldots, \\
a_{1}^{\Pi \mathbf{p}}=1+\varepsilon-\frac{1}{8} \varepsilon^{2}-\frac{1}{64} \varepsilon^{3}-\frac{1}{1536} \varepsilon^{4}+\ldots, \\
a_{1}^{\text {лев }}=1-\varepsilon-\frac{1}{8} \varepsilon^{2}+\frac{1}{64} \varepsilon^{3}-\frac{1}{1536} \varepsilon^{4}-\ldots, \\
a_{2}^{\Pi p}=4+\frac{5}{12} \varepsilon^{2}-\frac{763}{13824} \varepsilon^{4}+\ldots, \\
a_{2}^{\text {лев }}=4-\frac{1}{12} \varepsilon^{2}+\frac{5}{13824} \varepsilon^{4}-\ldots, \\
a_{3}^{\mathrm{np}}=9+\frac{1}{16} \varepsilon^{2}-\frac{1}{64} \varepsilon^{3}+\frac{13}{20480} \varepsilon^{4}+\ldots, \\
a_{3}^{\text {тев }}=9+\frac{1}{16} \varepsilon^{2}-\frac{1}{64} \varepsilon^{3}+\frac{13}{20480} \varepsilon^{4}-\ldots \\
\end{array}
\]

В заключение заметим, что не учтенное здесь вязкое тренне несколько суживает границы областей неустойчивости, подобно тому как это было пояснено в § 10.