Главная > Введение в теорию механических колебаний (Я.Г. Пановко)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

До сих пор, говоря о корнях частотного уравнения, мы считали лх простыми и не равыыми нулю. Однако в некоторых случаях частотное уравнение может иметь как нулевые, так и кратные корни.

Убедимся в возможности этого на примере механической системы с двумя степенями свободы. Из частотного уравнения (4.32) непосредственно видно, что при выполнении равенства
(a11c22+a22c112a12c12)2==4(c11c22c122)(a11a22a122)

два корня частотного уравнения будут равны друг другу, а при выполнении равенства
c11c22=c122

один из корней частотного уравнения обращается в нуль.
Не следует думать, что равенства (4.71) или (4.72)

вынолняются при каких-то исключительных обстоятельствах; в действительности системы с кратными или нулевыми корнями встречаются довольно часто.

В качестве примера рассмотрим свободные колебания плоской системы с двумя степенями свободы, показанной на рис. 4.8. Обознатим через c1 II c2 коэффициенты жест-

кости пружин, а через m и ρ — массу и радиус инерции тела относительно оси, проходящей иерпендикулярно носкости чертежа через центр тяжести. За обобщенные координаты примем вертикальное перемещение центра тяжести тела y и угол поворота тела φ. Тогда кинетическая и потенциальная энергии запишутся в виде
T=m2(y˙2+ρ2φ˙2),Π=c1(y+l1φ)22+c2(yl2φ)22.

Соответственно этому уравнения Лагранжа принимают форму
my¨+(c1+c2)y+(c1l1c2l2)φ=0,mρ2φ¨+(c1l12+c2l22)φ+(c1l1c2l2)y=0.

Теперь предположим, что параметры рассматриваемой системы удовлетворяют двум простым (и реально осуществимым) соотношениям:
c1l1=c2l2,ρ2=l1l2;

тогда вместо полученных дифференциальных уравнений пмеем
my¨+(c1+c2)y=0,φ¨+(c1+c2)φ=0.

Следовательно, инерционные коэффциенты п обобщенные коэфициенты жесткости в данном случае определягтся формулами
a11=a22=m,a12=a21=0,c11=c22=c1+c2,c12=c21=0

Iг условне (4.71) вынолняется, т. е. обе частоты рассматриваемой системы равны одна другой. Вирочем, это вндно неносредственно из уравнениї (4.75), так как
k1=k2=c1+c2m.

Ввиду независимости уравпений (4.75) постоянные интегрирования одного уравнения не связаны с ностоянными

интегрирования другого уравнения:
y=A1sin(kt+α1),φ=A2sin(kt+α2).

Для определения постоянных A1,A2,α1,α2 служат тетыре начальных условия.

В общей теории линейных дифференциальных уравнений устанавливается, что обычно (но не всегда!) при кратных корнях характеристического уравнения в решении возникают слагаемые типа tsinkt и tcoskt, содержащие аргумент вне знаков тригонометрических функций; в наших задачах этим корням соответствовали бы
Pис. 4.9 нарастающие колебания. Однако в рассматриваемых здесь случаях свободных колебаний консервативных систем такие слагаемые появиться не могут — это противоречило бы справедливому для таких систем закону сохранения механической энергии (тем более это относится к диссипативным системам).
Простые примеры систем с одной нулевой собственной частотой показаны на рис. 4.9, а, б. Подробнее остановимся на системе, изображенной на рис. 4.9, б и обозначим: c — жесткость вала на кручение *), I1,I2 — моменты инерции дисков относительно продольной оси системы.

Принимая за обобщенные координаты углы поворота φ1 и φ2 дисков относительно неготорого начального положения (в этом положении вал не закручен), получим следующие выражения для кинетической и потенциальной энергии системы:
T=I1φ˙122+I2φ˙222,Π=c(φ2φ1)22.

Соответственно этому урацнения Лагранжа имеют вид
I1¨1c(φ2φ1)=0,I2φ¨2+c(φ2φ1)=0,
*) В сопротивлении материалов устанавливается: c=GJp/l, где G — модуль сдвига, Jp — полярпый момент инердпи сечепия вала, l — длина вала.

т. е.
a11=I1,a22=I2,a12=a21=0,c11=c22=c,c12=c21=c.

При этом выполняется условие (4.72) и один из корней частотного уравнения равен нулю. Действительно, подставив найденные значения коэффициентов в частотное уравнение, получим

отсюда
(I1c+I2c)k2+I1I2k4=0,
k1=0,k2=cI1+I2I1I2.

Для того чтобы понять физический смысл нулевой частоты, вернемся к системе дифференциальных уравнений (4.76). Их главная особенность состоит в том, что опи допускают не только частное решение колебательного типа
φ1=A1sin(kt+α),φ2=A2sin(kt+α),

но также тастное решение вида
φ1=φ2=C1+C2t

которое описывает равномерное вращение всей системы как жесткого целого (без скручивания упругого вала). Этому частному решению и соответствует нулевой корень тастотного уравнения k1=0.

Частному решению (4.78) соответствует отличная от нуля частота k2, данная в формуле (4.77), а также определенное отношение амплитуд колебательного движения
x21=A2A1=I1I2.

Таким образом, общее решение представляется в виде
φ1=A1sin(kt+α)+C1+C2t,φ2=ϰ21A1sin(kt+α)+C1+C2t

и содержит четыре постоянные: A1,α,C1 и C2, определяемые из начальных условий.

Движение, описываемое законом (4.79), представляет собой колебания, наложенные ша режим равномерно-
7 я. г. Пановко

го вращения. Чисто колебательную составляющую движения легко выделить путем введения новой переменной
φ=φ2φ1,

которая представляет взаимный угол поворота дисков, т. е. угол закручивания вала. Если теперь записать уравнения (4.76) в виде
φ1¨cI1(φ2φ1)=0,φ2¨+cI2(φ2φ1)=0

и затем вычесть первое уравнение из второго, то получим одно дифференциальное уравнение для функции φ :
φ¨+(cI1+cI2)φ=0.

Отсюда видно, что колебанія угла φ следуют одночастотному закону
φ=Asin(kt+α).

Можно сказать, что рассматриваемая система имеет одну степень свободы, которой соответствует вращение системы как жесткого тела, и одну колебательную степень свободы. Аналогично, в более сложном случае, когда с валом связано s дисков, число колебательных степеней свободы равно s1.

1
Оглавление
email@scask.ru