Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
До сих пор, говоря о корнях частотного уравнения, мы считали лх простыми и не равыыми нулю. Однако в некоторых случаях частотное уравнение может иметь как нулевые, так и кратные корни. Убедимся в возможности этого на примере механической системы с двумя степенями свободы. Из частотного уравнения (4.32) непосредственно видно, что при выполнении равенства два корня частотного уравнения будут равны друг другу, а при выполнении равенства один из корней частотного уравнения обращается в нуль. вынолняются при каких-то исключительных обстоятельствах; в действительности системы с кратными или нулевыми корнями встречаются довольно часто. В качестве примера рассмотрим свободные колебания плоской системы с двумя степенями свободы, показанной на рис. 4.8. Обознатим через кости пружин, а через Соответственно этому уравнения Лагранжа принимают форму Теперь предположим, что параметры рассматриваемой системы удовлетворяют двум простым (и реально осуществимым) соотношениям: тогда вместо полученных дифференциальных уравнений пмеем Следовательно, инерционные коэффциенты п обобщенные коэфициенты жесткости в данном случае определягтся формулами Iг условне (4.71) вынолняется, т. е. обе частоты рассматриваемой системы равны одна другой. Вирочем, это вндно неносредственно из уравнениї (4.75), так как Ввиду независимости уравпений (4.75) постоянные интегрирования одного уравнения не связаны с ностоянными интегрирования другого уравнения: Для определения постоянных В общей теории линейных дифференциальных уравнений устанавливается, что обычно (но не всегда!) при кратных корнях характеристического уравнения в решении возникают слагаемые типа Принимая за обобщенные координаты углы поворота Соответственно этому урацнения Лагранжа имеют вид т. е. При этом выполняется условие (4.72) и один из корней частотного уравнения равен нулю. Действительно, подставив найденные значения коэффициентов в частотное уравнение, получим отсюда Для того чтобы понять физический смысл нулевой частоты, вернемся к системе дифференциальных уравнений (4.76). Их главная особенность состоит в том, что опи допускают не только частное решение колебательного типа но также тастное решение вида которое описывает равномерное вращение всей системы как жесткого целого (без скручивания упругого вала). Этому частному решению и соответствует нулевой корень тастотного уравнения Частному решению (4.78) соответствует отличная от нуля частота Таким образом, общее решение представляется в виде и содержит четыре постоянные: Движение, описываемое законом (4.79), представляет собой колебания, наложенные ша режим равномерно- го вращения. Чисто колебательную составляющую движения легко выделить путем введения новой переменной которая представляет взаимный угол поворота дисков, т. е. угол закручивания вала. Если теперь записать уравнения (4.76) в виде и затем вычесть первое уравнение из второго, то получим одно дифференциальное уравнение для функции Отсюда видно, что колебанія угла Можно сказать, что рассматриваемая система имеет одну степень свободы, которой соответствует вращение системы как жесткого тела, и одну колебательную степень свободы. Аналогично, в более сложном случае, когда с валом связано
|
1 |
Оглавление
|