До сих пор, говоря о корнях частотного уравнения, мы считали лх простыми и не равыыми нулю. Однако в некоторых случаях частотное уравнение может иметь как нулевые, так и кратные корни.

Убедимся в возможности этого на примере механической системы с двумя степенями свободы. Из частотного уравнения (4.32) непосредственно видно, что при выполнении равенства
\[
\begin{aligned}
\left(a_{11} c_{22}+a_{22} c_{11}-2 a_{12} c_{12}\right)^{2} & = \\
& =4\left(c_{11} c_{22}-c_{12}^{2}\right)\left(a_{11} a_{22}-a_{12}^{2}\right)
\end{aligned}
\]

два корня частотного уравнения будут равны друг другу, а при выполнении равенства
\[
c_{11} c_{22}=c_{12}^{2}
\]

один из корней частотного уравнения обращается в нуль.
Не следует думать, что равенства (4.71) или (4.72)

вынолняются при каких-то исключительных обстоятельствах; в действительности системы с кратными или нулевыми корнями встречаются довольно часто.

В качестве примера рассмотрим свободные колебания плоской системы с двумя степенями свободы, показанной на рис. 4.8. Обознатим через $c_{1}$ II $c_{2}$ коэффициенты жест-

кости пружин, а через $m$ и $\rho$ — массу и радиус инерции тела относительно оси, проходящей иерпендикулярно носкости чертежа через центр тяжести. За обобщенные координаты примем вертикальное перемещение центра тяжести тела $y$ и угол поворота тела $\varphi$. Тогда кинетическая и потенциальная энергии запишутся в виде
\[
\begin{array}{l}
T=\frac{m}{2}\left(\dot{y}^{2}+\rho^{2} \dot{\varphi}^{2}\right), \\
\Pi=\frac{c_{1}\left(y+l_{1} \varphi\right)^{2}}{2}+\frac{c_{2}\left(y-l_{2} \varphi\right)^{2}}{2} .
\end{array}
\]

Соответственно этому уравнения Лагранжа принимают форму
\[
\begin{array}{c}
m \ddot{y}+\left(c_{1}+c_{2}\right) y+\left(c_{1} l_{1}-c_{2} l_{2}\right) \varphi=0, \\
m \rho^{2} \ddot{\varphi}+\left(c_{1} l_{1}^{2}+c_{2} l_{2}^{2}\right) \varphi+\left(c_{1} l_{1}-c_{2} l_{2}\right) y=0 .
\end{array}
\]

Теперь предположим, что параметры рассматриваемой системы удовлетворяют двум простым (и реально осуществимым) соотношениям:
\[
c_{1} l_{1}=c_{2} l_{2}, \quad \rho^{2}=l_{1} l_{2} ;
\]

тогда вместо полученных дифференциальных уравнений пмеем
\[
\begin{array}{c}
m \ddot{y}+\left(c_{1}+c_{2}\right) y=0, \\
\ddot{\varphi}+\left(c_{1}+c_{2}\right) \varphi=0 .
\end{array}
\]

Следовательно, инерционные коэффциенты п обобщенные коэфициенты жесткости в данном случае определягтся формулами
\[
\begin{array}{ll}
a_{11}=a_{22}=m, & a_{12}=a_{21}=0, \\
c_{11}=c_{22}=c_{1}+c_{2}, & c_{12}=c_{21}=0
\end{array}
\]

Iг условне (4.71) вынолняется, т. е. обе частоты рассматриваемой системы равны одна другой. Вирочем, это вндно неносредственно из уравнениї (4.75), так как
\[
k_{1}=k_{2}=\sqrt{\frac{c_{1}+c_{2}}{m}} .
\]

Ввиду независимости уравпений (4.75) постоянные интегрирования одного уравнения не связаны с ностоянными

интегрирования другого уравнения:
\[
\begin{array}{l}
y=A_{1} \sin \left(k t+\alpha_{1}\right), \\
\varphi=A_{2} \sin \left(k t+\alpha_{2}\right) .
\end{array}
\]

Для определения постоянных $A_{1}, A_{2}, \alpha_{1}, \alpha_{2}$ служат тетыре начальных условия.

В общей теории линейных дифференциальных уравнений устанавливается, что обычно (но не всегда!) при кратных корнях характеристического уравнения в решении возникают слагаемые типа $t \sin k t$ и $t \cos k t$, содержащие аргумент вне знаков тригонометрических функций; в наших задачах этим корням соответствовали бы
Pис. 4.9 нарастающие колебания. Однако в рассматриваемых здесь случаях свободных колебаний консервативных систем такие слагаемые появиться не могут — это противоречило бы справедливому для таких систем закону сохранения механической энергии (тем более это относится к диссипативным системам).
Простые примеры систем с одной нулевой собственной частотой показаны на рис. 4.9, а, б. Подробнее остановимся на системе, изображенной на рис. 4.9, б и обозначим: $c$ — жесткость вала на кручение *), $I_{1}, I_{2}$ — моменты инерции дисков относительно продольной оси системы.

Принимая за обобщенные координаты углы поворота $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ дисков относительно неготорого начального положения (в этом положении вал не закручен), получим следующие выражения для кинетической и потенциальной энергии системы:
\[
T=\frac{I_{1} \dot{\varphi}_{1}^{2}}{2}+\frac{I_{2} \dot{\varphi}_{2}^{2}}{2}, \quad \Pi=\frac{c\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right)^{2}}{2} .
\]

Соответственно этому урацнения Лагранжа имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\ddot{I_{1}}{ }_{1}-c\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right)=0, \\
I_{2} \ddot{\varphi}_{2}+c\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right)=0,
\end{array}
\]
*) В сопротивлении материалов устанавливается: $c=G J_{p} / l$, где $G$ — модуль сдвига, $J_{p}$ — полярпый момент инердпи сечепия вала, $l$ — длина вала.

т. е.
\[
\begin{array}{c}
a_{11}=I_{1}, a_{22}=I_{2}, a_{12}=a_{21}=0, \\
c_{11}=c_{22}=c, c_{12}=c_{21}=-c .
\end{array}
\]

При этом выполняется условие (4.72) и один из корней частотного уравнения равен нулю. Действительно, подставив найденные значения коэффициентов в частотное уравнение, получим

отсюда
\[
-\left(I_{1} c+I_{2} c\right) k^{2}+I_{1} I_{2} k^{4}=0,
\]
\[
k_{1}=0, \quad k_{2}=\sqrt{c \frac{I_{1}+I_{2}}{I_{1} I_{2}}} .
\]

Для того чтобы понять физический смысл нулевой частоты, вернемся к системе дифференциальных уравнений (4.76). Их главная особенность состоит в том, что опи допускают не только частное решение колебательного типа
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{1}=A_{1} \sin (k t+\alpha), \\
\varphi_{2}=A_{2} \sin (k t+\alpha),
\end{array}
\]

но также тастное решение вида
\[
\varphi_{1}=\varphi_{2}=C_{1}+C_{2} t
\]

которое описывает равномерное вращение всей системы как жесткого целого (без скручивания упругого вала). Этому частному решению и соответствует нулевой корень тастотного уравнения $k_{1}=0$.

Частному решению (4.78) соответствует отличная от нуля частота $k_{2}$, данная в формуле (4.77), а также определенное отношение амплитуд колебательного движения
\[
x_{21}=\frac{A_{2}}{A_{1}}=-\frac{I_{1}}{I_{2}} .
\]

Таким образом, общее решение представляется в виде
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{1}=A_{1} \sin (k t+\alpha)+C_{1}+C_{2} t, \\
\varphi_{2}=\varkappa_{21} A_{1} \sin (k t+\alpha)+C_{1}+C_{2} t
\end{array}
\]

и содержит четыре постоянные: $A_{1}, \alpha, C_{1}$ и $C_{2}$, определяемые из начальных условий.

Движение, описываемое законом (4.79), представляет собой колебания, наложенные ша режим равномерно-
7 я. г. Пановко

го вращения. Чисто колебательную составляющую движения легко выделить путем введения новой переменной
\[
\varphi=\varphi_{2}-\varphi_{1},
\]

которая представляет взаимный угол поворота дисков, т. е. угол закручивания вала. Если теперь записать уравнения (4.76) в виде
\[
\begin{array}{l}
\ddot{\varphi_{1}}-\frac{c}{I_{1}}\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right)=0, \\
\ddot{\varphi_{2}}+\frac{c}{I_{2}}\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right)=0
\end{array}
\]

и затем вычесть первое уравнение из второго, то получим одно дифференциальное уравнение для функции $\varphi$ :
\[
\ddot{\varphi}+\left(\frac{c}{I_{1}}+\frac{c}{I_{2}}\right) \varphi=0 .
\]

Отсюда видно, что колебанія угла $\varphi$ следуют одночастотному закону
\[
\varphi=A \sin (k t+\alpha) .
\]

Можно сказать, что рассматриваемая система имеет одну степень свободы, которой соответствует вращение системы как жесткого тела, и одну колебательную степень свободы. Аналогично, в более сложном случае, когда с валом связано $s$ дисков, число колебательных степеней свободы равно $s-1$.