При циклическом деформировании упругих тел, даже при малых напряжениях наблюдается некоторое нарушение закона Гука, выражающееся в появлении петли гистерезиса; на рис. 2.7 пока-
Рис, 2.7 зана такая петля в координатных осях напряжение $\sigma$ – деформация $\varepsilon$. Расположенная внутри петли гистерезиса площадь диаграммы определяет энергию, рассеиваемую за один цикл колебаний в единице объема материала. Так как расстояния между ветвями обычно весьма малы, точную форму петли в экспериментах установить затруднительно. В то же время площадь петли может быть определена достаточно надежно. Установлено, что площадь петли гистерезиса для большинства конструкционных материалов практически не зависит от темпа деформирования (т. е. от частоты процесса), но зависит от амплитуды деформации.

Сказанное справедливо и по отношению к целой конструкции: рассеиваемая за один цикл в конструкции эпергия $\Omega$ не зависит от частоты колебаний, но связана с их амплитудой. Эта зависимость обычно принимается в форме
\[
\Omega=\alpha A^{n+1},
\]

где $\alpha$ и $n$ – постоянные, определяемые из экспериментов.
Такая зависимость принципиально отличается от внешне сходной с ней зависимости (2.21), в которую входит амплитуда колебаний тоже в степени $n+1$, однако в выражение (2.21) входит также и частота $k$, от которой не зависит коэффициент $\alpha$ выражения (2.43).

Для определения закона, описывающего затухание колебаний при гистерезисном трении, вновь воспользуемся уравнением энергетического баланса и приравняем рассеиваемую энергию (ее следует взять со знаком ми-

нус) приращению энергии (2.22) за один период:
\[
-\alpha A^{n+1}=c A \Delta A \text {. }
\]

Отсюда следует уравнение в конечных разностях
\[
\Delta A=-\frac{\alpha}{c} A^{n},
\]

которое, как и (2.23), можно заменить дифференциальным уравнением
\[
\frac{d A}{d t}=-\frac{\alpha k}{2 \pi c} A^{n} .
\]

После интегрирования этого уравнения при начальном условии $A(0)=A_{0}$ получим
\[
A=\frac{A_{0}}{\sqrt[n-1]{1+\frac{\alpha(n-1) k A_{0}^{n-1}}{2 \pi c} t}} .
\]

Отметим, что в частных случаях $n=0, n=1, n=2$ здесь вновь получаются результаты, схематически показанные выше на рис. 2.5. Jюбопытно, что при гистерезисном трении также может получиться экспоненциальная зависимость $A(t)$ (если $n=1$ ), которая типична для случая линейного вязкого трения.

Наконец, укажем, что кулоново трение можно считать не только частным случаем нелинейного трения (2.17), но и частным случаем принятой здесь основной зависимости (2.43); в обоих случаях оно характеризуется значением $n=0$.