Любая реальная механическая
система представима в виде бесконечного числа материальных точек, массы которых бесконечно малы; так как связи между этими точками не являются абсолютно жесткими, то число степеней свободы такой системы бесконечно велико. Точное решение задач о колебаниях деформируемых систем удается получить в замкнутой форме лишь в немногих, относительно простых случаях (например, задачи о свободных и вынужденных колебаниях упругих стержней постоянного сечения при равномерном распределении массы по длине стержня). В общем случае это сделать невозможно, и приходится упрощать расчетную модель, в частности путем уменьшения числа степеней свободы. Можно указать три основных способа образования конечномерных моделей.

Первый способ состоит в том, что относительно менее массивные части системы полагаются вовсе липеншыми массы и представляются в виде безынерционных элементов (жестких или деформируемых), а наиболее
Рис. 0.3

жесткие части конструкции принимаются за абсолютно твердые тела; если размеры последних малы, то их считают материальными точками.

На рис. $0.3, a-u$ показаны примеры образованных таким способом систем с одной степеньо свободы. Следует обратить внимание на их характерные особенности: упругие элементы, изображенные в виде пружин на рпс. $а$, б, в, считаются безмассовыми; то же относится $к$ упругим стержням на рис. $2, \partial, з$ и жестким стержням

на рис. $\varepsilon, \varkappa, u$; в схемах на рис. б, $e$ качение не сопровождается скольжением: в схеме на рис. 2 груз считается сосредоточенным (материальная точка). Здесь же, а также в схеме на рис. $\partial$ горизонтальные перемещения грузов считаются пренебрежимо малыми. В качестве обобщенной координаты принято: на рис. $а$, б – горизонтальное перемещение, на рис. $в, 2, \partial$ – вертикальное перемещение, на рис. $e-u$ – угол поворота.

На рис. 0.4 показаны образованные таким же образом системы, имеющие более чем одну степень свободы. Конфигурация системы, показанной на рис. $a$, определяется
Рис. 0.4

перемещениями $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ поступательно движущихся грузов; эта система обладает тремя степенями свободы. То же относится и к системе на рис. б, если считать грузы материальными точками (при учете конечных размеров грузов и инерции их поворотов система на рис. б имеет шесть степеней свободы). Положение системы на рис. в определяется двумя обобщенными координатами вертикальным перемещением центра масс груза $y$ и углом его поворота $\varphi$. Также две степени свободы имеет твердое тело, показанное на рис. 2 ; здесь за обобщенные координаты принята вертикальная координата подвижной опоры и угол поворота тела вокруг этой опоры. В отличие от этого нз-за податливости горизонтальной опоры тело на рис. $\partial$ имеет три степени свободы. Если масса вала в системе на рис. $e$ пренебрежимо мала, то система

обладает двумя степенями свободы; в качестве обобщенных координат на рисупке показаны углы поворота массивных дисков $\varphi_{1}, \varphi_{2}$.

Согласно второму способу распределенные по всему объему системы свойства податливости локализуются в конетном тисле точек (илі линий). При этом система представляется в виде совокуппости упруго (или вязкоупруго) сочлененных жестких элементов. Например, упругая балка с непрерывно распределенной массой
Рис. 0.5
Рис. 0.6
(рис. 0.5,a) может быть приближенно заменена пепочкой жестких звеньев, соединенпых упругими шарнирамит. При выборе числа шарниров следует псходить из требуемого уровня точности (см. варианты замены на рис. $0.5,6, \theta)$.

Третий способ оспован на некоторых априорных предположениях об изменениях конфигурации системы в процессе колебаний.

Пусть для определенности реть идет о колебаниях показанной на рис. $0.4, a$ системы с тремя степенями свободы. Согласно этому способу можно принять, что отношения между перемещениями $x_{1}(t), x_{2}(t), x_{3}(t)$ неизменны во времени, а числовые зпачения таких отношений ( $\left.x_{2} / x_{1}=\alpha, x_{3} / x_{1}=\beta\right)$ заранее назначаются; разумеется, это вносіт элемент произвола в решение. В результате движение системы полностью описывается одной функцией времени, например $x_{1}(t)$, через которую непосредственно выражаются перемещения всех точек системы; такая система пмеет всего одну степень свободы.

Соответственно тому же способу, для двухопорной балки (рис. 0.5,a) принпмается, что в любой момент процесса колебаний форма изогнутой оси остается непзменной и меняется лишь ее масштаб. Если заранее задать форму в виде «подходящей» координатной функции $f(x)$,

то прогибы оси балки будут описываться произведением
\[
y(x, t)=q(t) f(x),
\]

в котором $q(t)$ – функция времени, являющаяся единственной неизвестной задачи. Для иллюстрации на рис. 0.6 показана изогнутая ось балки в избранные моменты процесса колебаний $t_{1}, t_{2}$ и $t_{3}$; все кривые имеют одну и ту же форму и различаются лишь масштабом. Таким образом, при фиксированном выборе функции $f(x)$ выражение (0.1) определяет переход к системе с одной степенью
Рис. 0.7 свободы, причем $q(t)$ представляет собой обобщенную координату.
Эта идея приведения к системе с одной степенью свободы лежит в основе излагаемого ниже метода Рэлея (см. стр. 29-35).
Точность решения может быть повышена, если вместо (0.1) описать движение балки суммой произведений
\[
y(x, t)=\sum_{j=1}^{s} q_{j}(t) f_{j}(x),
\]

где $f_{j}(x)$ – задаваемые коордипатные фуикции, $q_{j}(t)$ – искомые функции времени, играющие роль обобщенных координат, $s$ – сохраняемое в модели число степеней свободы системы. О соображениях, которыми следует руководствоваться при выборе координатных функций, будет сказано ниже.

Одна и та же система может быть приведена к системе с несколькими степенями свободы любым из трех способов. В качестве примера на рис. $0.7, a$ – г показаны три варианта приведения для двухопорной балки с распределенной массой (рис. 0.7, a).