Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Исследование устойчивости состояний равновесия механических систем с несколькин степенями свободы также состоит в изучени своӥств возмущенного движения, т. е. того движения, которое будет происходить после пропзвольного сколь угодно малого нарушентя состояния равновесия. Названиые свойства иределяются видом корней соответствующего характеристического уравнения. Если среди корней $\lambda=\alpha+i \beta$ имеется хотя бы один с положительной вещественной частью $\alpha>0$, то отвечающее ему движение будет «уводить» систему от состояния равновесия — либо монотонно (если $\beta=0$ ), либо в виде нарастающих колебаний (если $\beta Обозначим: $y(t)$ — перемещение центра тяжести пластинки, $\varphi(t)$ — угол поворота пластинки, $c_{1}$ и $c_{2}$ — коэффициенты жесткости упругих опор, $m l^{2} / 12$ — момент инерции пластинки относительно оси, проходящей через центр тяжести пластинки перпендикулярно плоскости чертежа, $l$ — длина пластинки вдоль потока, $b$ — расстояние от точки приложения подъемной силы до правого края, Дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид Подставляя сюда выражения для $Y, R_{1}$ II $R_{2}$, получаем однородную систему В которой Сразу отметим, что неравенство $c_{12} получаем отсюда следует характеристическое уравнение Таким образом, корни характеристического уравнения имеют вид $\lambda_{1,2,3,4}=$ Если разность $c_{11} c_{22}-c_{12} c_{21}$ отрицательная, то один нз корней (соответствующий двум знакам плюс) оказывается вещественным и положительным; отвечающее этому корню движение представляет собой апериодический монотонный уход системы от положения равновесия. Следовательно, это положение — не устойчивое. Еели же эта разность положительная и удовлетворяет неравенству то корни (12.8) оказываются комплексными: где $\alpha$ и $\beta$ — положительные и веществениые. Первой паре этих корней соответствует движение Таким образом, для того чтобы рассматриваемая система после возмущения оставалась в окрестности положения равновесия (тто и принимается здесь за признак устойчивости), необходимо, чтобы разность $c_{11} c_{22}-c_{12} c_{21}$ удовлетворяла двум неравенствам: При нарушении первого неравенства возникает дивергешция (рис. 12.5, a), а при нарушении второго перавен- ства — колебания с возрастающими амплитудами (рис. 12.5, б); такие колебания называются флаттером. Границам области устойчивости соответствуют знаки равенств в (12.9). Если подставить в (12.9) выражения $c_{i j}$, то можно найти два критических значения скорости, которая служит параметром, определяющим устойчивость: искоростьфлаттера Отметим, тто при малых жесткостях правой опоры, когда $c_{2}<c_{1}\left(\frac{l}{b}-1\right)$, грититеская скорость $v_{\text {кр оказы }}^{(1)}$ оказается мпимой, т. е. дивергенция невозможна. Если, напротив, жесткость левой опоры меньше жесткости правой оноры, то мнимым становится выражение критической скорости $v_{\mathrm{kp}}^{(2)}$, т. е. невозможен флаттер. Флаттер представляет реальную опасность для многих конструкций, находящихся в потоке жидкости или газа (крыло или хвостовое оперсние самолета, обшивка летательного аппарата, лопатка турбины и т. п.). Введем координатную систему $x y z$, равномерно вращающуюся вокруг оси недеформированного вала с угловой скоростью $\omega$. Ось $x$ совместим с осью недеформированного вала, ось $y$ направим параллельно эксцентриситету $e=A C$ ( $A$ — центр сечения вала, $C$ — центр тяжести диска), а ось $z$ — перпендикулярно осям $x$ и $y$; орты осей $у$ и $z$ обозначим через і и $\mathbf{j}$ соответственно,-см. рис. 12.6, б. При таком выборе подвижной координатной системы относительное движение диска, обусловленное изгибом вала, окажется поступательным. Исследуем это относительное движение, обозначив: $\mathbf{r}$ — радиус-вектор центра тяжести диска $C, x, y, z$ — декартовы координаты точки $C$ в подвижной координатной системе, $\boldsymbol{\rho}$ — радиус-вектор точки крепления $A$ диска к валу (при этом $\boldsymbol{\rho}+\mathbf{e}=\mathbf{r}$ ), $\cdot c$ — коэффициент жесткости вала (для изображенной схемы $c=48 E J / l^{3}$, где $E J-$ изгибная жесткость сечения вала, $l$ — его длина). При составлении дифференциальных уравнений относительного движения центра диска $C$ нужно учесть силу упругости вала $-c \rho$, переносную силу инерции $-m \mathbf{w}_{e}$ I кориолисову силу инерции $-m \mathbf{w}_{c}$. Сила упругости приложена в точке $A$, а обе силы инерции — в точке $C$. Переносная сила инерции равна Для корнолисовой силы инерции последовательно получим: Проекции этих сил на оси подвижной координатной системы даны в следующей таблице: Соответственно данным таблицы дифференциальные уравнения относительного движения центра диска $C$ имеют вид Подставив сюда $k^{2}=c / m$ ( $k-$ собственная частота поперечных колебаний невращающейся системы), получим при $\omega Эта неоднородная система уравнений допускает решение $y_{*}=\frac{e}{1-\omega^{2} / k^{2}} ; z_{*}=0 ;$ ему соответствует неизменный во времени изгиб вала во вращающейся плоскости $x y$. Для того чтобы исследовать устойчивость этого режима, предположим, что он каким-либо образом был нарушен и возникло возмущенное движение, описываемое функциями. где $Y(t)$ и $Z(t)$ — малые отклонения от режима, устойчивость которого исследуется. Подставив $y, z$ в (12.10), получим систему уравнений, которая при учете выражений $y_{*}$ и $z_{*}$ приводится к однородному виду Полагая, как и выше получаем однородную относительно $A_{1}$ и $A_{2}$ систему уравнений: Она имеет отличные от нуля корни только в том случае, когда равен нулю определитель в результате получим характеристическое уравнение При $k Это означает, что при $k
|
1 |
Оглавление
|