Исследование устойчивости состояний равновесия механических систем с несколькин степенями свободы также состоит в изучени своӥств возмущенного движения, т. е. того движения, которое будет происходить после пропзвольного сколь угодно малого нарушентя состояния равновесия. Названиые свойства иределяются видом

корней соответствующего характеристического уравнения. Если среди корней $\lambda=\alpha+i \beta$ имеется хотя бы один с положительной вещественной частью $\alpha>0$, то отвечающее ему движение будет «уводить» систему от состояния равновесия – либо монотонно (если $\beta=0$ ), либо в виде нарастающих колебаний (если $\beta
eq 0$ ). Поэтому исследования устойчивости рассматриваемых ниже систем с двумя степенями свободы сводятся к анализу знаков вещественных частей корней.
a) Задача о флаттере. В п. 2а была рассмотрена возможность дивергенции пластинки в потоке газа, причем
Pис. 12.4 принималось, что пластинка шарнирно закреплена вдоль одного края, а вдоль другого края она упруго оперта (см. выше рис. 12.1). При упругом опирании обоих краев (рис. 12.4) появляется еще одна опасность возникновения неустойчивости, связанная с неконсервативными свойствами рассматриваемой системы с двумя степенями свободы.

Обозначим: $y(t)$ – перемещение центра тяжести пластинки, $\varphi(t)$ – угол поворота пластинки, $c_{1}$ и $c_{2}$ – коэффициенты жесткости упругих опор, $m l^{2} / 12$ – момент инерции пластинки относительно оси, проходящей через центр тяжести пластинки перпендикулярно плоскости чертежа, $l$ – длина пластинки вдоль потока, $b$ – расстояние от точки приложения подъемной силы
\[
Y=k_{y} \frac{\rho v^{2}}{2} l \varphi
\]

до правого края,
\[
R_{1}=c_{1}\left(y+\frac{\varphi l}{2}\right), \quad R_{2}=c_{2}\left(y-\frac{\varphi l}{2}\right)
\]
– упругле силы реакции.

Дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид
\[
\begin{aligned}
-R_{1}-R_{2}+Y & =m \ddot{y}, \\
-R_{1} \frac{l}{2}+R_{2} \frac{l}{2}+Y\left(b-\frac{l}{2}\right) & =\frac{m l^{2}}{12} \ddot{\varphi} .
\end{aligned}
\]

Подставляя сюда выражения для $Y, R_{1}$ II $R_{2}$, получаем однородную систему
\[
\begin{array}{l}
\ddot{y}+c_{11} y+c_{12} \varphi=0, \\
\ddot{\varphi}+c_{21} y+c_{22} \varphi=0,
\end{array}
\]

В которой
\[
\begin{array}{ll}
c_{11}=\frac{c_{1}+c_{2}}{m}, & c_{12}=\frac{\left(c_{1}-c_{2}\right) l}{2 m}-\frac{k_{y}}{m} \frac{\rho v^{2}}{2} l, \\
c_{21}=\frac{6\left(c_{1}-c_{2}\right)}{m l}, & c_{22}=\frac{3\left(c_{1}+c_{2}\right)}{m}+6 \frac{k_{y}}{m l^{2}} \frac{\rho v^{2}}{2}(l-2 b) .
\end{array}
\]

Сразу отметим, что неравенство $c_{12}
eq c_{21}$ служит признаком неконсервативности системы; ниже мы непосредственно убедимся в том, что энергия рассматриваемой системы может с течением времени убывать (при малых скоростях потока) или возрастать (при достаточно больших скоростях потока). Принимая частное решение системы (12.7) в виде
\[
y=A_{1} e^{\lambda t}, \quad \varphi=A_{2} e^{\lambda t},
\]

получаем
\[
\begin{array}{l}
A_{1}\left(\lambda^{2}+c_{11}\right)+A_{2} c_{12}=0, \\
A_{1} c_{21}+A_{2}\left(\lambda^{2}+c_{22}\right)=0 ;
\end{array}
\]

отсюда следует характеристическое уравнение
\[
\left|\begin{array}{cc}
\lambda^{2}+c_{11} & c_{12} \\
c_{21} & \lambda^{2}+c_{22}
\end{array}\right|=0
\]
T. e.
\[
\lambda^{4}+\lambda^{2}\left(c_{11}+c_{22}\right)+c_{11} c_{22}-c_{12} c_{21}=0 .
\]

Таким образом, корни характеристического уравнения имеют вид $\lambda_{1,2,3,4}=$
\[
= \pm \sqrt{-\frac{c_{11}+c_{22}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{c_{11}+c_{22}}{2}\right)^{2}-\left(c_{11} c_{22}-c_{12} c_{21}\right)}} .
\]

Если разность $c_{11} c_{22}-c_{12} c_{21}$ отрицательная, то один нз корней (соответствующий двум знакам плюс) оказывается вещественным и положительным; отвечающее этому корню движение представляет собой апериодический монотонный уход системы от положения равновесия. Следовательно, это положение – не устойчивое.

Еели же эта разность положительная и удовлетворяет неравенству
\[
c_{11} c_{22}-c_{12} c_{21}>\left(\frac{c_{11}+c_{22}}{2}\right)^{2},
\]

то корни (12.8) оказываются комплексными:
\[
\lambda_{1}=\alpha+i \beta, \lambda_{2}=\alpha-i \beta, \lambda_{3}=-\alpha+i \beta, \lambda_{4}=-\alpha-i \beta,
\]

где $\alpha$ и $\beta$ – положительные и веществениые. Первой паре этих корней соответствует движение
\[
\begin{array}{l}
y=A_{11} e^{\lambda_{1} t}+A_{12} e^{\lambda_{2} t}=B_{1} e^{\alpha t} \sin \left(\beta t+\gamma_{1}\right), \\
\varphi=A_{21} e^{\lambda_{1} t}+A_{22} e^{\lambda_{2} t}=B_{2} e^{\alpha t} \sin \left(\beta t+\gamma_{2}\right),
\end{array}
\]
т. е. колебания с монотонно возрастающими амплитудамін. Отсюда ясно, что в рассматриваемом случае состояние равновесия также
неустойчиво.

Таким образом, для того чтобы рассматриваемая система после возмущения оставалась в окрестности положения равновесия (тто и принимается здесь за признак
Рис. 12.5

устойчивости), необходимо, чтобы разность $c_{11} c_{22}-c_{12} c_{21}$ удовлетворяла двум неравенствам:
\[
0<c_{11} c_{22}-c_{12} c_{21}<\left(\frac{c_{11}+c_{22}}{2}\right)^{2} .
\]

При нарушении первого неравенства возникает дивергешция (рис. 12.5, a), а при нарушении второго перавен-

ства – колебания с возрастающими амплитудами (рис. 12.5, б); такие колебания называются флаттером.

Границам области устойчивости соответствуют знаки равенств в (12.9). Если подставить в (12.9) выражения $c_{i j}$, то можно найти два критических значения скорости, которая служит параметром, определяющим устойчивость:
скоростьдивергенции
\[
v^{(1)}=\sqrt{\frac{2 c_{1} c_{2} l}{\rho k_{y}\left[c_{1}(b-l)+c_{2} b\right]}}
\]

искоростьфлаттера
\[
v^{(2)}=2 \sqrt{\frac{1}{3 \rho k_{y}} \frac{c_{1}^{2}-c_{1} c_{2}+c_{2}^{2}}{c_{1}-c_{2}}} .
\]

Отметим, тто при малых жесткостях правой опоры, когда $c_{2}<c_{1}\left(\frac{l}{b}-1\right)$, грититеская скорость $v_{\text {кр оказы }}^{(1)}$ оказается мпимой, т. е. дивергенция невозможна. Если, напротив, жесткость левой опоры меньше жесткости правой оноры, то мнимым становится выражение критической скорости $v_{\mathrm{kp}}^{(2)}$, т. е. невозможен флаттер.

Флаттер представляет реальную опасность для многих конструкций, находящихся в потоке жидкости или газа (крыло или хвостовое оперсние самолета, обшивка летательного аппарата, лопатка турбины и т. п.).
б) Устойчивость вращающегося вала. Рассмотрим систему, состоящую из вертикального упругого безынерционного вала 1, с серединой которого жестко связан эксцентрично насаженный диск 2 , обладающий горизонтальной плоскостью симметрии. Вал с диском вращается вокруг вертикальной осп с постоянной угловой скоростью $\omega$ (рис. 12.6, a).

Введем координатную систему $x y z$, равномерно вращающуюся вокруг оси недеформированного вала с угловой скоростью $\omega$. Ось $x$ совместим с осью недеформированного вала, ось $y$ направим параллельно эксцентриситету $e=A C$ ( $A$ – центр сечения вала, $C$ – центр тяжести диска), а ось $z$ – перпендикулярно осям $x$ и $y$; орты осей $у$ и $z$ обозначим через і и $\mathbf{j}$ соответственно,-см. рис. 12.6, б. При таком выборе подвижной координатной

системы относительное движение диска, обусловленное изгибом вала, окажется поступательным.

Исследуем это относительное движение, обозначив: $\mathbf{r}$ – радиус-вектор центра тяжести диска $C, x, y, z$ – декартовы координаты точки $C$ в подвижной координатной системе, $\boldsymbol{\rho}$ – радиус-вектор точки крепления $A$ диска к валу (при этом $\boldsymbol{\rho}+\mathbf{e}=\mathbf{r}$ ), $\cdot c$ – коэффициент жесткости
Рис. 12.6

вала (для изображенной схемы $c=48 E J / l^{3}$, где $E J-$ изгибная жесткость сечения вала, $l$ – его длина).

При составлении дифференциальных уравнений относительного движения центра диска $C$ нужно учесть силу упругости вала $-c \rho$, переносную силу инерции $-m \mathbf{w}_{e}$ I кориолисову силу инерции $-m \mathbf{w}_{c}$. Сила упругости приложена в точке $A$, а обе силы инерции – в точке $C$.
Силу упругости можно записать в виде
\[
-c \boldsymbol{\rho}=-c \mathbf{r}+c \mathbf{e}=-c[(y-e) \mathbf{j}+z \mathbf{k}] .
\]

Переносная сила инерции равна
\[
-m \mathbf{w}_{e}=m \omega^{2} \mathbf{r}=m \omega^{2}(y \mathbf{j}+z \mathbf{k}) .
\]

Для корнолисовой силы инерции последовательно получим:
\[
\begin{aligned}
-m \mathbf{w}_{c}=2 m\left(\mathbf{v}_{r} \times \boldsymbol{\omega}_{e}\right)=2 m[(\dot{y} \mathbf{j}+i \mathbf{k}) \times \omega \mathbf{i}] & = \\
& =2 m \omega(\dot{z} \mathbf{j}-\dot{y} \mathbf{k}) .
\end{aligned}
\]

Проекции этих сил на оси подвижной координатной системы даны в следующей таблице:

Соответственно данным таблицы дифференциальные уравнения относительного движения центра диска $C$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
m \ddot{y}=-c(y-e)+m \omega^{2} y+2 m \omega \dot{z}, \\
m \ddot{z}=-c z+m \omega^{2} z-2 m \omega \dot{y} .
\end{array}
\]

Подставив сюда $k^{2}=c / m$ ( $k-$ собственная частота поперечных колебаний невращающейся системы), получим при $\omega
eq k$
\[
\begin{array}{c}
\ddot{y}-2 \omega \dot{z}+\left(k^{2}-\omega^{2}\right) y=k^{2} e, \\
\ddot{z}+2 \omega \dot{y}+\left(k^{2}-\omega^{2}\right) z=0 .
\end{array}
\]

Эта неоднородная система уравнений допускает решение $y_{*}=\frac{e}{1-\omega^{2} / k^{2}} ; z_{*}=0 ;$ ему соответствует неизменный во времени изгиб вала во вращающейся плоскости $x y$. Для того чтобы исследовать устойчивость этого режима, предположим, что он каким-либо образом был нарушен и возникло возмущенное движение, описываемое функциями.
\[
y=y_{*}+Y, \quad z=Z,
\]

где $Y(t)$ и $Z(t)$ – малые отклонения от режима, устойчивость которого исследуется. Подставив $y, z$ в (12.10), получим систему уравнений, которая при учете выражений $y_{*}$ и $z_{*}$ приводится к однородному виду
\[
\begin{array}{l}
\ddot{Y}-2 \omega \dot{Z}+\left(k^{2}-\omega^{2}\right) Y=0, \\
\ddot{Z}+2 \omega \dot{Y}+\left(k^{2}-\omega^{2}\right) Z=0 .
\end{array}
\]

Полагая, как и выше
\[
Y=A_{1} e^{\lambda t}, Z=A_{2} e^{\lambda t},
\]

получаем однородную относительно $A_{1}$ и $A_{2}$ систему уравнений:
\[
\begin{array}{l}
A_{1} \lambda^{2}-2 \omega A_{2} \lambda+\left(k^{2}-\omega^{2}\right) A_{1}=0, \\
A_{2} \lambda^{2}+2 \omega A_{1} \lambda+\left(k^{2}-\omega^{2}\right) A_{2}=0 .
\end{array}
\]

Она имеет отличные от нуля корни только в том случае, когда равен нулю определитель
\[
\left|\begin{array}{cc}
h^{2}-\omega^{2}+\lambda^{2} & -2 \omega \lambda \\
2 \omega \lambda & k^{2}-\omega^{2}+\lambda^{2}
\end{array}\right|=0 ;
\]

в результате получим характеристическое уравнение
\[
\left(k^{2}-\omega^{2}+\lambda^{2}\right)^{2}+(2 \omega \lambda)^{2}=0 .
\]

При $k
eq \omega$ все корни характеристического уравнения мнимые:
\[
\lambda_{1,2,3,4}= \pm(k \pm \omega) i .
\]

Это означает, что при $k
eq \omega$ система у ст ойч и в а: после любого начального возмущения она будет совершать гармонические колебания с частотами $k+\omega$ и $k-\omega$ (нужно отметить, что эти частоты отличаются от собственной частоты колебаний невращающейся системы). Лишь в особом случае, когда $\omega=k$, возникает нулевой (двойной) корень, которому соответствует неустойчивость системы. Впрочем, с приближением угловой скорости $\omega$ к значению $k$ само значение $y_{*}$ неограниченно возрастает. Угловую скорость $\omega=k$ называют критической скоростью; некоторый диапазон значений угловой скорости, близких к критическому значению, в эксплуатационных условиях «запрещается». Важно, что при $\omega>k$ система вновь устойчива!