До сих пор мы рассматривали применение методов теории катастроф в классической физике и технике, т. е. аяализировалось состояние таких систем, которые обычно могут быть описаны с помощью разложения потенциальной функции в окрестности точки фазового пространства или пространства конфигураций. Координаты и моменты, определяющие фазовое пространство, фактически являются коммутирующими операторами. Действительное состояние системы может быть определено в точке фазового пространства минимумом некоторой потенциальной функции или функции Ляпунова от этих коммутирующих операторов. Использование условия минимума позволяет просто и эффективно применять методы теории катастроф в областях классической физики.

Следуя указанной процедуре, можно было бы попытаться использовать результаты теории катастроф для описания квантовомеханических систем. Однако в этом случае координаты точки в фазовом пространстве и моменты, описывающие квантовомеханическую систему, уже не коммутируют, и функции этих операторов обычно являются операторами ( $q$-числами), а не скалярами ( $c$-числами).

$N\to \mathrm{\infty })$. В результате получают функцию соответствующего числа переменных состояния и управляющих параметров. Переменные состояния являются классическими предельными значениями операторов, а управляющие параметры — константами, характеризующими полярные взаимодействия и входящими в гамильтониан. Для анализа фазовых переходов, сопровождающихся изменением энергии основного состояния, можно воспользоваться стандартным методом теории катастроф.

Идентичный по своей сути и схожий в деталях метод может быть использован для анализа термодинамических фазовых переходов. Для замены гамильтонианов потенциальной функцией, минимум которой точно совпадает со свободной энергией частицы, можно воспользоваться другим алгоритмом. Кроме классического предела гамильтониана в эту функцию входит еще аддитивный член, связанный с энтропией системы. Переменные состояния системы остаются теми же, а ее температура теперь становится единственным управляющим параметром.

На практике эти два алгоритма сводятся к анализу бифуркаций. Теория катастроф при этом оказывается полезной для выявления членов гамильтониана, «ответственных» за появление фазовых переходов, и членов, не имеющих к этому отношения. В гамильтонианах могут быть оставлены только главные члены точно так же, как это делается при разложении функций в ряд Тейлора в окрестности вырожденной критической точки до членов первых порядков малости. Члены, ответственные за фазовые переходы второго рода, называют каноническим ядром гамильтониана.

Теория катастроф оказывается полезной при анализе равновесных и неравновесных систем. В связи с этим приводится вывод динамических уравнений движения для одного частного случая гамильтониана. Эти уравнения консервативные, поэтому нельзя ожидать, что их решения будут вести себя, как решения диссипативных градиентных систем. Вместе с тем при наличия потенциала и вырожденных критических точек можно ожидать явлений, подобных, например, критическому удлинению.

рассматриваются неравновесные устойчивые состояния, в основном фазовые переходы, которые могут иметь место, когда система далека от состояния термодинамического равновесия. Один из введенных гамильтонианов описывает поведение обычного лазера. Фазовые переходы в лазере относятся к сборке типа $A_{+3}$. Обсуждаются возмущения лазерных фазовых переходов; возмущения, нарушающие симметрию, могут привести к новым физическим процессам, один из которых называется оптической бистабильностью.

В настоящсй главе рассматриваются квантовомеханические системы, проявляющие некоторые классические признаки в своем поведении и состоящие из большого числа одинаковых взаимодействующих подсистем. Предполагается, что взаимодействия этих подсистем происходят в приближении среднего поля. В результате операторы, входящие в квантовомеханический гамильтониан, могут быть заменены их средними значениями. Как следствие, $c$-функция ${}^1$ ) может играть роль потенциальной функции, минимальное значение которой и характеризует состояние системы. В такой ситуации методы и представления теории катастроф уже вполне применимы.

Системы, изучаемые в этой главе, состоят из большого числа $(N)$ одинаковых подсистем (атомов, молекул, нуклонов), каждая из которых обладает $r$ внутренними степенями свободн (или энергетическими уровнями). Для описания подсистем и самой системы в целом вводятся операторы. Из коммутативности усредненных коллективных операторов вытекает, что все эти операторы одновременно диагонализнруемы при $N\to \mathrm{\infty }$. Это означает, что может быть вычислен «классический предел». Приводится явное описание структуры гамильтонианов и их свойств.

В первую очередь внимание уделяется фазовым переходам, сопровождающимся изменением энергии основного состояния. В том случае, когда нет взаимодействия подсистем или им можно пренебречь, они ведут себя независимо друг от друга. Однако, если это явление достаточно сильное, начинает проявляться «кооперативность» поведения, и тогда основное состояние системы в целом существенно отличается от основного состояния отдельной изолированной подсистемы. Переход от индивидуального поведения к кооперативному можно легко проанализировать с помощью алгоритма, предусматривающего замену гамильтониана его средним в «классическом» случае (при