«Линеаризация», проводимая при заменах переменных вычислений с целью упрощения последних, может быть осуществлена путем итераций инфинитезимальных преобразований. Однако подобная техника линеаризации представляет собой интерес, но не столько с точки зрения возможности упростить вычисления, сколько с точки зрения более простого доказательотва теорем, которые ранее были доказаны с помощью общего метода преобразований, рассмотренного в части I.

Инфинитезимальные преобразования позволяют легко и непосредственно определить, какие члены разложения функции в ряд Тейлора могут быть исключены, а какие нет. Это распознавание было проиллюстрировано на ряде примеров, и были сформулированы правила вычисления определенности. Члены, которые в некотором смысле дополнительны к членам, используемым в алгоритме вычисления определенности, — это именно те члены, которые не могут быть удалены возмущением роста. Следовательно, именно они и требуются, чтобы получить наиболее общую форму возмущения данного ростка. В связи с этим были сформулированы правила вычисления деформации (ростка).

Росток представляет собой «результат» двух «конкурирующих» математических процессов: использование управляющих параметров для удаления начальных членов разложения функции в ряд Тейлора и использование гладкой замены переменных для удаления крайних членов разложения. В действительности росток лежит между двумя линейными векторными пространствами, конструируемыми в алгоритмах вычисления определенности и деформации. Более точно, фсктор-пространство $V_{p} /\left(V_{D} \oplus V_{U}\right)$ порождено первыми частными производными канонического ростка.

Указанные три алгоритма были использованы для изучения поведения функций в некритических и изолированных критических точках, а также для вычисления определенности и деформации простых ростков семейств катастроф типа $A_{k}, D_{k}, E_{k}$. Было показано, что если конечная определенность равна 1 или 2 , то не требуется никаких деформирующих членов и каноничесқий росток может быть взят соответственно в виде (2.1) и (2.2).

Литература
1. Gilmore R. Lie Groups, Lie Algebras and Some of Their Applications, New York: Wiley, 1974.
2. Poston T., Stewart I. N. Taylor Series and Catastrophes, London: Pitman, 1976.
3. Poston T., Stewart I. N. Catastrophe Theory and Its Applications, London: Pitman, 1978. ГИмеется перевод: Гостон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложення. – M.: Мир, 1980.1
4. Ascher E., Poston T. Catastrophe Theory in Scientific Research, Research Futures, 2, 15-18 (1976); Battelle Memorial Institute, Ohio.
5. Mather J. Stability of $C^{\infty}$ Mappings I. The Devision Theorem, Ann. Marh., 87, 89-104 (1968). [Имеется перевод в сб.: Особенности дифференцируемых отображений. – М.: Мир, 1968.]
6. Mather J. Stability ot $C^{\infty}$ Mappings II. Infinitesimal Stability Implies Stability, Ann. Math., 89, 254-291 (1969). \”Имеется перевод в сб.:: Особенности дифференіируемых отображений.- М.: Мир, 1969.]
7. Mather J. Stibility of $C^{\infty}$ Mappings III. Finitely Determined Map Germs, Publ. Mathm IHES, 35, 127-156 (1968). [Имеется перевод: Математика, $1970,14: 1,145-175$ !
8. Mather J. Stability of $C^{\infty}$ Mappings IV. Classification of Stable Germs by R-Algebras, Publ. Math. IHES, 37, 223–248 (1969). [Имеется перевод: У $M H, 1973,28: 6,169-190$.]
9. Mather J. Stability of $C^{\infty}$ Mappings V. Transversality, Adv. Math., 4, 301336 (1970). [Имеется перевод: УМН, 1974,29:1, 99-128.]
10. Mather J. Stability of $C^{\infty}$ Mappings VI. The Nice Dimensions, in: Proceedings of the Liverpool Singularities Symposium, Lecture Notes in Mathematics, 192 (C. T. C. Wall, Ed.), Berlin: Springer, 1971, pp. 207-253 [Имеется перевод: $у$ У $\mathrm{MH}, 1974,29: 1,12 \mathrm{C}-158$.
11. Siersma D. Singularities of $C^{\infty}$ Functions of Right-Codimension Smaller or Equal than Eight, Indag. Math., 25, 31-37 (1973).