Результаты, описанные в гл. 2, справедливы для типичных семейств функций, определенных в конечномерных пространствах состояний $(n<\infty)$. Естественно возникает вопрос: можно ли распространить эти результаты на случай $n \rightarrow \infty$ ?

Чтобы ответить на этот вопрос, прежде всего необходимо дать определение матрицы устойчивости в терминах симметрических операторов в гильбертовых или банаховых пространствах. Направления, соответствующие нулевым собственным значениям $n \times n$-матрицы устойчивости, порождают ядро (нульпространство) матрицы устойчивости в конечномерном пространстве. «Плохие» направле:ия принадлежат ядру симметрического оператора. Если ядро конечномерно и нулевые собственные значения симметрического оператора отделены от нуля, то задача, по существу, становится конечномерной, и поэтому не возникает никаких неожиданностей.

В случае, когда ядро бесконечномерно, размерность пространства управляющих параметров также должна быть бесконечной. Пока еще неизвестно, каков вид канонической формы отображения, производная когорого является симметричным оператором устойчивости (если такая форма вообще существует).

В случае конечномерного пространства состояний ненулевые собственные значения оператора устойчивости обязательно отделены от нуля, поскольку число собственных значений конечно. В беконечномерном случае это уже не обязательно так, поэтому можно ожидать возникновения новых явлений, сопровождающихся потерей устойчивости. Физический смысл всех возможных явлений такого рода пока еще не ясен.