2.1. $F
eq 0$

Қачественное описание автономных динамических систем можно получить практически точно так же, как и градиентных систем. В основном все сводится к построению фазовых портретов. Поскольку получение последних не вызывает никаких трудностей в случае двумерных ( $n=2$ ) динамических систем, ограничимся в основном рассмотрением систем второго порядка. Анализ таких систем включает описание фазовых портретов, классификацию типов равновесия, исследование вырожденных точек равновесия и изучение деформации системы в окрестности вырожденной точки равновесия.

Описание фазового портрета, по существу, сводится к определению для каждой точки плоскости $(x, y)$ направления действующей силы $F(x, y)$, а следовательно, и направления потока $(d x / d t, d y / d t)$. Полная картина получается соединением стрелок, указывающих направления линии в отдельных точках, в непрерывно направленные линии.

Особенно информативными являются фазовые портреты структурно устойчивых динамических систем. Система считается структурно устойчивой, если возмущение системы (19.1) не вносит качественных изменений в число, положение и характер точек пересечения кривых $F_{i}=0$ (рис. 19.1). Для структурно устойчивой динамической системы кривые $F_{1}=0$ и $F_{2}=0$ делят плоскость на области с чередующимися знаками производных $d x / d t$ и $d y / d t$. Такое разбиение служит удобным каркасом, на котором можно построить глобальную картину поведения всей динамической системы. Эта идея иллюстрируется на рис. 19.2, где показана часть плоскости $R^{2}$. Предполагается, что в этой области уравнение $F_{1}(x, y)=0$ имеет два решения и что $F_{2}(x, y)=0$ также имеет два решения. Эти четыре «гиперплоскости» делят указанную часть плоскости на девять открытых областей. Если хотя бы в одной из этих областей известны знаки $\left(F_{1}, F_{2}\right)$, то их можно определить и для всех остальных открытых областей. Если знаки $\left(F_{1}, F_{2}\right.$ ) такие же, как показано в верхней левой области, то можно установить направления потоков в остальных восьми областях и на четырех кривых $F_{i}=0$. После того как это сделано, глобальное поведение динамической системы легко определяется «следованием по стрелкам». В динамической системе, фазсвый портрет которой изображен на рис. 19.2 , имеются один иөток, один сток и две точки равновесия, в окрестностях которых наблюдается «спиральное поведение».

Рис. 19.1. Структурно неустойчивая динамическая система (б) располагается между двумя структурно устойчивыми динамическими системами ( $a$ и $в$ ).

Рис. 19.2. Кривые $F_{i}=0$ и их пересечения определяют качественное поведение и фазовый портрет двумерной динамической системы.

2.2. $F=0$

В качестве следующего шага глобального анализа динамических систем имеет смысл найти точки равновесия, в которых $F_{1}(x, y)=0, F_{2}(x, y)=0$. Эти точки будут располагаться в точках пересечения кривых $F_{1}=0$ и $F_{2}=0$. Свойства устойчивости динамической системы в положении равновесия можно определить, линеаризуя эту систему в окрестности точки равновесия. Если $x^{0}$ – точка равновесия, тс, положив $\delta x=x-x^{0}$, получим
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t}\left(x^{0}+\delta x\right)_{i}=F_{i}\left(x^{0}+\delta x\right)=F_{i}\left(x^{0}\right)+\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}} \delta x_{j}+O(2), \\
\frac{d}{d t} \delta x_{i}=F_{i j} \delta x_{i}+O(2) .
\end{array}
\]

Локальные динамические и структурные свойства устойчивости определяются собственными значениями матрицы устойчивостй $F_{i j}=\partial \hat{F}_{i} / \partial x_{i}$, вычисленной в критической точке $x^{0}$.

Будем считать, что в двумерной динамической системе состоянием равновесия является начало координат. Тогда линеаризованные уравнения движения имеют вид
\[
\frac{d}{d t}\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)=F\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right) .
\]

Действительную $(2 \times 2)$-матрицу $F$ очень удобно представить в виде спиновой матрицы Паули следующим образом:
\[
F\left[\begin{array}{ll}
\lambda+r & s+\omega \\
s-\omega & \lambda-r
\end{array}\right] .
\]

Собственные значения $F$ равны
\[
\lambda_{ \pm}=\lambda \pm \sqrt{r^{2}+s^{2}-\omega^{2}} .
\]

Для двумерных динамических систем имеет место однозначное соответствие между точками ( $\lambda, \omega, r, s) \in \mathbb{R}^{4}$ и устойчивостью матриц $F(19.8)$. Удобно ввести следующую запись: $\mathbb{R}^{4}=\mathbb{R}^{1} \times$ $\times \mathbb{R}^{3}$ и $\lambda \in \mathbb{R}^{1},(\omega, r, s) \in \mathbb{R}^{3}$.

Конус $r^{2}+s^{2}-\omega^{2}=0$ в $\mathbb{R}^{3}$ является сепаратрисой, разделяющей матрицы устойчивости $F$ с действительными $\left(r^{2}+s^{2}-\right.$ – $\omega^{2}>0$ ) и комплексными $\left(r^{2}+s^{2}-\omega^{2}<0\right.$ ) собственными значениями.

Если собственные значения действительны и различны, данная динамическая система локально эквивалентна некоторой градиентной системе. В этом случае динамическая устойчивость изменяется только тогда, когда $\operatorname{det} F=\lambda^{2}+\omega^{2}-r^{2}-s^{\overline{2}}=0$. Поэтому для любой точки ( $\omega, r, s) \in \mathbb{R}^{3}$, лежащей вне конуса $r^{2}+s^{2}-\omega^{2}=0$, прямая $\mathbb{R}^{1}$ разбивается на три открытые обла-

Рис. 19.3. Когда точка ( $\omega, r, s$ ) лежи? вне конуса, оба собственных значения матрицы устойчивости действительны и динамическая система локально эквивалентна градиентной.
Инерция этой системы зависит от $\lambda$ и ( $\left.r^{2}+s^{2}-\omega^{2}\right)^{1 / 2}$.
сти, характеризующие системы градиентного типа с собственными значениями $(+,+),(+,-),(-,-)$ (рис. 19.3) и с критическими точками – неустойчивым узлом, седлом и устойчивым узлом соответственно.

Точки, лежащие внутри конуса $r^{2}+s^{2}-\omega^{2}=0$, характеризуют динамические системы, локально не эквивалентные градиентным. Қачественное поведение таких систем определяется знаками действительных и мнимых частей собственных значений
\[
\begin{array}{l}
\lambda_{ \pm}=\lambda \pm i \omega^{\prime}, \\
\omega^{\prime}=\operatorname{sign}(\omega) \sqrt{\omega^{2}-r^{2}-s^{2}} .
\end{array}
\]

Применяя к системе уравнений (19.7) преобразование подобил, можно привести ее к виду
\[
\frac{d}{d t}\left(\begin{array}{c}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\lambda & \omega^{\prime} \\
-\omega^{\prime} & \lambda
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right) .
\]

Данная система уравнений динамически устойчива, если $\lambda<0$, и неустойчива, если $\lambda>0$. Движение происходит по часовой стрелке, если $\omega^{\prime}>0$ (т. е. $\omega>0$ ), и против часовой стрелки, если $\omega<0$. Эти четыре качественно различных типа поведения системы показаны на рис. 19.4. Критическая точка называется устойчивым фокусом, если $\lambda<0$, и неустойчивым фокусом, если $\lambda>0$.

Рис. 19.4. Фокус в изолированной критической точке может быть устойчивым или неустойчивым в зависимости от того, $\lambda<0$ или $\lambda>0$. Направление двнжения зависит от знака $\omega$.

Пространство $\mathbb{R}^{4}$, представляющее $(2 \times 2)$-матрицы устойчивости $F$, разбивается на семь открытых областей, описывающих семь качественно различных типов динамического поведения системы. Эти открытые области структурно устойчивы и разделяются сепаратрисой, содержащей компоненты размерности 3 , $2,1,0$ и потому имеющей меру нуль. Три из них описывают динамически устойчивые системы.