Многообразие размерности $n$, или $n$-многообразие,-это гладкая поверхность, которая в любой своей точке локально устроена как евклидово пространство фиксированной размерности n. Сферическая поверхность $x^2+y^2+z^2=1$ является 2 -мерным многообразием. Отображение $f$ одного $n$-многообразия $\mathcal{P}$ в другое $n$-многообразие $Q$ является невырожденным в $p\in \mathcal{P}$, если оно локально обратимо. Формальная проверка локальной обратимости проводится при помощи теоремы о неявной функции: если $x_1,\dots ,x_n$ — система координат в окрестности точки $p\in \mathcal{P}$, а $f_1,\dots ,f_n$ — система координат в окрестности точки $f(p)\in Q$, то отображение $f$ локально обратимо тогда и только тогда, когда якобиан преобразования отличен от нуля:
$$\det {\left|\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right|}_{p}eq0,1⩽i,j⩽n.$$

Грубо, но правильно говоря, поскольку $\mathcal{P}$ является $n$-многообразием, то оно локально выглядит в точке $p$ подобно ${\mathbb{R}}^n$. То же имеем и для многообразия $Q$ в точке $f(p)$. Поэтому $(n\times n)$-матрица $\partial f_i/\partial x_i$ задает лннейное отображение (касательного пространства) ${\mathbb{R}}^n$ в точке $p$ в (касательное пространство) ${\mathbb{R}}^n$ в точке $f(p)$.

В качестве примера рассмотрим множество критических точек семейства функций (21.15):
\[
\begin{aligned}

abla\left(\frac{1}{4} x^{4}+\frac{1}{2} a x^{2}+b x\right) & =0, \
x^{3}+a x+b & =0 .
\end{aligned}
\]

Рис. 21.2. Уравнение $ablaV(x;a,b)=0$ представляет собой гладкое двумерное многообразие.
Полукубическая парабола $(x;a,b)=(\lambda ;-3{\lambda }^2,2{\lambda }^2)$, описывающая точки многообразия, в которых касательная плоскость вертикальна, также является гладкой. Особенности присутствуют лишь в отображении проектированию вниз на плоскость управляющих параметров.

Мы получили двумерное многообразие со складкой, общий вид которого изображен на рис. 21.2. Координаты любой точки этого многообразия, вложенного в трехмерное пространство ${\mathbb{R}}^3$, могут быть записаны следующим образом:
$$(x;a,b)=({\lambda }_1;{\lambda }_2,-{\lambda }_1^3-{\lambda }_1{\lambda }_2).$$

Теперь рассмотрим отображение проектирования 2 -многообразия $(21.17$ ) на двумерную плоскость управляющих параметров ${\mathbb{R}}^2$, определяемое формулами
$$\begin{array}{l}(x;a,b)\stackrel{\text{ Проекция }}{\to }(a,b),\\ a={\lambda }_2,\\ b=-{\lambda }_1^3-{\lambda }_1{\lambda }_2.\end{array}$$

Якобиан этого отображения равен

За исключением случая, когда ${\lambda }_2=-3{\lambda }_1^2$, этот якобиан отличен от нуля, и, следовательно, отображение обратимо. Множество исключительных точек определяет кривую
$$(x;a,b)=({\lambda }_1;-3{\lambda }_1^2,2{\lambda }_1^3)$$

в пространстве ${\mathbb{R}}^3$. Она представляет собой гладкую кривую в ${\mathbb{R}}^3$, состоящую из множества точек многообразия, в которых касательная к нему плоскость «вертикальна». Проекция этой кривой на плоскость управления имеет каспоидный изгиб:
$$({\lambda }_1;-3{\lambda }_1^2,2{\lambda }_1^3)\to (a=-3{\lambda }_1^2,b=2{\lambda }_1^3).$$

Уравнение этой каспоидной кривой может быть записано как

или
$$\begin{array}{c}{(-\frac{a}{3})}^{1/2}={\lambda }_1={\left(\frac{b}{2}\right)}^{1/3}\\ {(-\frac{a}{3})}^3={\left(\frac{b}{2}\right)}^2.\end{array}$$

Кривая (21.23) является «тенью», которую отбрасывает складка на поверхности (21.17) при освещении ее лучами, параллельными оси $x$.

Подчеркнем еще раз, что многообразие (21.17) гладкое, т. е. не имеет острых углов или особенностей. То же можно сказать и о кривой (21.21). Эта кривая дает местонахождение всех вырожденных критических точек в семействе функций $V(x;a,b)$. Только отображение проектирования (21.19) содержит особенности. Проекция многообразия (21.17) на ${\mathbb{R}}^2$ разбивает плоскость управляющих параметров на открытые области; область I ( $V$ имеет одну критическую точку) и область III ( $V$ имеет три морсовские критические точки). Линии складки (область II) соответствуют потенциальным функциям, имеющим одну невырожденную и одну дважды вырожденную критические точки, а изгиб соответствует потенциальной функции $x^4/4$. Произвольное возмущение (21.15a) может изменить местонахождение и ориентацию сепаратрисы, однако оно не может изменить ее вида. Короче говоря, особенность в отображении проектирования устойчива относительно возмущений. Эта особенность является наследственным свойством проекций критических многообразий 2-параметрических функций на плоскость управляющих параметров.