Многообразие размерности $n$, или $n$-многообразие,-это гладкая поверхность, которая в любой своей точке локально устроена как евклидово пространство фиксированной размерности n. Сферическая поверхность $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ является 2 -мерным многообразием. Отображение $f$ одного $n$-многообразия $\mathscr{P}$ в другое $n$-многообразие $Q$ является невырожденным в $p \in \mathscr{P}$, если оно локально обратимо. Формальная проверка локальной обратимости проводится при помощи теоремы о неявной функции: если $x_{1}, \ldots, x_{n}$ – система координат в окрестности точки $p \in \mathscr{P}$, а $f_{1}, \ldots, f_{n}$ – система координат в окрестности точки $f(p) \in Q$, то отображение $f$ локально обратимо тогда и только тогда, когда якобиан преобразования отличен от нуля:
\[
\operatorname{det}\left|\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\right|_{p}
eq 0, \quad 1 \leqslant i, j \leqslant n .
\]

Грубо, но правильно говоря, поскольку $\mathscr{P}$ является $n$-многообразием, то оно локально выглядит в точке $p$ подобно $\mathbb{R}^{n}$. То же имеем и для многообразия $Q$ в точке $f(p)$. Поэтому $(n \times n)$-матрица $\partial f_{i} / \partial x_{i}$ задает лннейное отображение (касательного пространства) $\mathbb{R}^{n}$ в точке $p$ в (касательное пространство) $\mathbb{R}^{n}$ в точке $f(p)$.

В качестве примера рассмотрим множество критических точек семейства функций (21.15):
\[
\begin{aligned}

abla\left(\frac{1}{4} x^{4}+\frac{1}{2} a x^{2}+b x\right) & =0, \\
x^{3}+a x+b & =0 .
\end{aligned}
\]

Рис. 21.2. Уравнение $
abla V(x ; a, b)=0$ представляет собой гладкое двумерное многообразие.
Полукубическая парабола $(x ; a, b)=\left(\lambda ;-3 \lambda^{2}, 2 \lambda^{2}\right)$, описывающая точки многообразия, в которых касательная плоскость вертикальна, также является гладкой. Особенности присутствуют лишь в отображении проектированию вниз на плоскость управляющих параметров.

Мы получили двумерное многообразие со складкой, общий вид которого изображен на рис. 21.2. Координаты любой точки этого многообразия, вложенного в трехмерное пространство $\mathbb{R}^{3}$, могут быть записаны следующим образом:
\[
(x ; a, b)=\left(\lambda_{1} ; \lambda_{2},-\lambda_{1}^{3}-\lambda_{1} \lambda_{2}\right) .
\]

Теперь рассмотрим отображение проектирования 2 -многообразия $\left(21.17\right.$ ) на двумерную плоскость управляющих параметров $\mathbb{R}^{2}$, определяемое формулами
\[
\begin{array}{l}
(x ; a, b) \xrightarrow{\text { Проекция }}(a, b), \\
a=\lambda_{2}, \\
b=-\lambda_{1}^{3}-\lambda_{1} \lambda_{2} .
\end{array}
\]

Якобиан этого отображения равен

За исключением случая, когда $\lambda_{2}=-3 \lambda_{1}^{2}$, этот якобиан отличен от нуля, и, следовательно, отображение обратимо. Множество исключительных точек определяет кривую
\[
(x ; a, b)=\left(\lambda_{1} ;-3 \lambda_{1}^{2}, 2 \lambda_{1}^{3}\right)
\]

в пространстве $\mathbb{R}^{3}$. Она представляет собой гладкую кривую в $\mathbb{R}^{3}$, состоящую из множества точек многообразия, в которых касательная к нему плоскость «вертикальна». Проекция этой кривой на плоскость управления имеет каспоидный изгиб:
\[
\left(\lambda_{1} ;-3 \lambda_{1}^{2}, 2 \lambda_{1}^{3}\right) \rightarrow\left(a=-3 \lambda_{1}^{2}, b=2 \lambda_{1}^{3}\right) .
\]

Уравнение этой каспоидной кривой может быть записано как

или
\[
\begin{array}{c}
\left(-\frac{a}{3}\right)^{1 / 2}=\lambda_{1}=\left(\frac{b}{2}\right)^{1 / 3} \\
\left(-\frac{a}{3}\right)^{3}=\left(\frac{b}{2}\right)^{2} .
\end{array}
\]

Кривая (21.23) является «тенью», которую отбрасывает складка на поверхности (21.17) при освещении ее лучами, параллельными оси $x$.

Подчеркнем еще раз, что многообразие (21.17) гладкое, т. е. не имеет острых углов или особенностей. То же можно сказать и о кривой (21.21). Эта кривая дает местонахождение всех вырожденных критических точек в семействе функций $V(x ; a, b)$. Только отображение проектирования (21.19) содержит особенности. Проекция многообразия (21.17) на $\mathbb{R}^{2}$ разбивает плоскость управляющих параметров на открытые области; область I ( $V$ имеет одну критическую точку) и область III ( $V$ имеет три морсовские критические точки). Линии складки (область II) соответствуют потенциальным функциям, имеющим одну невырожденную и одну дважды вырожденную критические точки, а изгиб соответствует потенциальной функции $x^{4} / 4$. Произвольное возмущение (21.15a) может изменить местонахождение и ориентацию сепаратрисы, однако оно не может изменить ее вида. Короче говоря, особенность в отображении проектирования устойчива относительно возмущений. Эта особенность является наследственным свойством проекций критических многообразий 2-параметрических функций на плоскость управляющих параметров.