Правила нахождения определенности и деформации взаимно дополняют друг друга. В диаграмме, приведенной ниже, одночлены $R_{ij}(x,y)$, порождаемые в алгоритме нахождения определенности для функции $f(x,y)=x^3+y^4$, лежат внизу, а члены деформации $T_j(x,y)$, порождаемые в алгоритме вычисления деформации, лежат вверху [ср. (23.12) и (23.47)]:

Множества одночленов, окруженных штриховой линией, являются «тенями» $x^2$ и $y^3$. Лишь одночлены $x^2=\partial f/\partial x$ и $y^3=\partial f/\partial y$ не лежат ни внизу, ни вверху. Все лежащие внизу члены могут быть удалены путем гладкой замены переменных; все лежащиғ вверху члены обязательно входят в универсальную деформацию, а остающиеся члены являются частными производными ростка $f(x,y)$.

Эта «двойственность» незамедлительно подсказывает нам следующий алгоритм определения наиболее простого возможного ростка, связанного с $p$-определенной функцией $f(x_1,\dots$ $\dots ,x_l)$. Алгоритм требует найти число $p$-определенность функции $f$. (Далее будем работать только с полиномом $\overline{f}(x)=$ $=j^{p}f(x)$.) При этом предполагается, что $V_p$ — линейное векторное пространство, порождаемое всеми одночленами от $x_1,\dots ,x_l$ степени не больше $p$. (Тогда $\dim V_p=(p+l)!/p!l!$.) Кроме того, $V_D$ есть линейное векторное подпространство $V_p$, порождаемое всеми многочленами $R_{ij}$, получаемыми в алгоритме нахождения определенности, а $V_U$ — линейное векторное подпространство $V_p$, порождаемое минимальным множеством полиномов $T_j$, получаемых в алгоритме деформации. Тогда $V_p-(V_D\oplus V_U)=$ $=V_p/(V_D\oplus V_U)$ является линейным векторным пространством, порожденным первыми частными производными ростка $f$.

Этот алгоритм «лежит» на стыке двух конкурирующих математических процессов (гл. 3 и 4): с одной стороны, использование управляющих параметров в семействе функций для исключения некоторых начальных членов разложения в ряд Тейлора в критической точке, а с другой стороны, замена переменных для исключения последних членов («хвоста» разложения). Эти два конкурирующих процесса «встречаются посередине» в ростке катастрофы. Вышеприведенный алгоритм как раз и описывает механизм построения ростка.

Пример 1. Найти канонический (простейший) росток $f_{cg}$, связанный с функцией $f(x,y)=x^{2}y+y^3/3+y^2/2$.

Решение. Интересующая нас функция (с точностью до изменения шкалы) уже встречалась в (5.36).

Шаг 1. Определенность $f(x,y)$ вычисляется при помощи перечисления всех одночленов $1;x,y;x^2,\dots$ и всех $(p+1)$-струй $R_{ij}$ (табл. 23.2). В таблице перечислены все члены степени не выше пятой, которые возникают в алгоритме вычисления определенности; одночлены пятой степени очерчены штриховым прямоугольником. Заманчиво предположить, что функция $f(x,y)$ является 3-определенной. Действительно, все одночлены четвертой степени $(x^{3}y,x^2{y}^2,x{y}^3,y^4)$ встречаются в таблице или могут быть представлены как линейные комбинации функций, предсгавленных в таблице:
$$x^4=R_{23}-R_{14}-R_{11}\text{. }$$

Однако напомним, что алгоритм определенности не является алгоритмом типа «тогда и только тогда». Если бы $f(x,y)$ являлась 3-определенной, то все одночлены четвертой степени можно было бы выразить как линейные комбинации $R_{ij}$, однако факт, что это возможно сделать, не гарантирует нам, что функция $f$ является 3 -определенной, поскольку один из этих одночленов $\left(x^4\right)$ требует одночлена $m_1$ степени 1. Утверждение «тогда и только тогда» может быть использовано для доказательства, что $f(x,y)$ является 4 -определенной, так как все члены пятой степени либо непосредственно входят в таблицу ( $x^{4}y,x^3{y}^2,x^2{y}^3,x{y}^4,y^5)$, либо могут быть выражены с помощью одночленов $m_j(x,y)$ выше второй степени:
$$x^5=R_{26}-R_{17}-R_{13}$$

Таблица 23.2. Алгоритм нахождения ростка функции
$$f(x,y)=x^2\dot{y}+\frac{y^3}{3}+\frac{y^2}{2}.$$
$\diamond \diamond \diamond$ Достаточно, но не необходимо работать с полиномом $j^{p}f(x)$. По существу, достаточно работать с любым полиномиальным усечением $j^{p^{\prime }f}(x)$ функции $f(x),p^{\prime }⩾p$, где $p$ — определенность функции $f(x)$. Это происходит из-за того, что алгоритм определенности порождает все одночлены степени не меньше $p$, так что $V_p/(V_D\cap V_p)=V_{p^{\prime }}/(V_D\cap V_{p^{\prime }})$. Самое лучшее для нас — работать с линейным векторным пространством $V_p^{\prime }$ наименьшей подходящей размерности. Это случается, когда $p^{\prime }=p$, где $p$ — определенность функции $f(x)$.

Поскольку мы до сих пор не знаем, является ли $f(x,y)=$ $=x^{2}y+y^3/3+y^2/2$ 3-определенной или 4-определенной, то мы должны еще поработать с пространством $V_{p^{\prime }}=V_4$, порожденным одночленами $x^t{y}^s,r+s⩽4$. Это пространство имеет размерность 15. Поэтому, если окажется, что $f(x,y)$ является 3 -определенной, то потребуется лишь небольшой объем дополнительной работы при проведении вычислений. Вместе с тем, если $f(x,y)$ 4-определенная, а мы будем работать в $V_3$, то полученный результат будет неправильным.

Рис. 23.2. Пространство $V_p$, используемое в алгоритме вычисления ростка функции $f(x,y)$, порождается $(p+1)(p+2)/2$ одночленами $x^i{y}^j,i+j⩽p$. На рисунке введены следующие обозначения для различных базисных векторов, используемых в различных частях этого алгоритма, на примере исследования функции $f(x,y)=x^{2}y+y^3/3+y^2/2$ :
— члены, непосредственно используемые в алгоритме нахождения определенности; 8 — члены, не прямо используемые в алгоритме нахождения определенности; — — лены, не представленные в алгоритме нахождения определенности, но порождаемые в алгоритме нахождения деформации; 口 — базисные векторы пространства.

Шаг 2. Линейное векторное пространство $V_p$, порожденное всеми одночленами не выше второй степени, имєет размерность $(2+4)!/2!4!=15$. Базисные векторные одночлены изображены на рис. 23.2 точками.

Шаг 3. Линейное векторное прос.ранство $V_D$, порождаемое полиномами $R_{ij}$, представлено в табл. 23.2. Однсчлены, которые появляются непосредственно в таблице, заключены в прямоугольники; одночлены же, которые могут быть выражены с помощью линейных комбинаций элементов $R_{ij}$, изображены в открытом пространстве. Линейное векторное пространство $V_D$, порожденное этими многочленами, изображено на рис. 23.2 белыми и черными кружками, необходимо лишь добавить к ним полином $R_{21}=x^3+x{y}^2+xy$. $\mathrm{Dim}{V}_D=10$.

Шаг 4. Линейное векторное пространство, порождаемое многочленами $S_{ij}$, включает все базисные векторы, описанные выше, а также два дополнительных базисных вектора: $S_{10}=xy$ и $S_{20}=x^2+y^2+y$. Это пространство порождается одночленами, изображенными черными и белыми кружками на рис. 23.2 , двумя новыми одночленами $xy=S_{10}$ и $x^3=S_{21}-S_{12}-S_{10}$, изображенными на этом рисунке черными квадратами, и полиномом $S_{20}=$ $=x^2+y^2+y$. Размерность этого пространства равна 12 .

Шаг 5. Дополнение к этому пространству в $V_p$ имеет размерность $15-12=3$ и порождается многочленами $T_i(x,y)$. В качестве базисных векторов этого пространства $V_U$ удобно выбрать три одночлена $1,x,x^2$ (белые квадраты). Тогда пространство $V_D+V_U$ порождается одночленами, изображенными на рис. 23.2 кружками и белыми квадратами, вместе с многочленом $S_{21}=x^3+x{y}^2+xy$. Пространстзо $V_p-(V_D\oplus V_U)$ имеет размерность $15-(10+3)=2$ и порождается двумя линейно независимыми комбинация-

Рис. 23.3. Корни уравнения $f(x,y)=x^{2}y+y^3/3+y^2/2=0$.
Соответствующии росток не является положительно определенным, так что $f÷-x^4+y^2$.

ми из трех одночленов $y,xy,x^3$, которые также линейно независимы от $S_{21}$. В качестве базисных векторов удобно выбрать пару одночленов $y,x^3$.

Шаг 6. Первые производные ростка $f(x,y)$ порождают двумерное пространство (шаг 5):
$$\frac{\partial }{\partial x}{f}_{cg}\sim x^3,\frac{\partial }{\partial y}{f}_{cg}\sim y.$$

Следовательно, $f(x,y)\doteq f_{cg}=\alpha x^4+\beta y^2,\alpha eq0,\beta eq0$, и $f$ является 4-определенной. Қак только определим знаки $\alpha$ и $\beta$, то с помощью об́ычного преобразования масштаба получим канонический росток вида $\pm x^4\pm y^2$. Матрица устойчивости имеет вид
$$f_{ij}=\left[\begin{array}{ll}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$

так что коэффициент $\beta$ члена $y^2$ должен быть положительным. Коэффициент $\alpha$ члена $x^4$ должен быть отрицательным. Это может быть определено путем решения уравнения $f(x,y)=0$. Линии корней и знаки функций в трех открытых областях, на которые эти линии кәрней разбивают ${\mathbb{R}}^2$, изображены на рис. 23.3. Если коэффициент $\alpha$ положителен, то $f_{cg}$ и, следовательно, $f(x,y)$ будут положительно определенными. Тогда коэффициент $\alpha$ должен быть отрицательным, и
$$f(x,y)=x^{2}y+\frac{y^3}{3}+\frac{y^2}{2}\doteq -x^4+y^2=f_{cg}.$$