Правила нахождения определенности и деформации взаимно дополняют друг друга. В диаграмме, приведенной ниже, одночлены $R_{i j}(x, y)$, порождаемые в алгоритме нахождения определенности для функции $f(x, y)=x^{3}+y^{4}$, лежат внизу, а члены деформации $T_{j}(x, y)$, порождаемые в алгоритме вычисления деформации, лежат вверху [ср. (23.12) и (23.47)]:

Множества одночленов, окруженных штриховой линией, являются «тенями» $x^{2}$ и $y^{3}$. Лишь одночлены $x^{2}=\partial f / \partial x$ и $y^{3}=\partial f / \partial y$ не лежат ни внизу, ни вверху. Все лежащие внизу члены могут быть удалены путем гладкой замены переменных; все лежащиғ вверху члены обязательно входят в универсальную деформацию, а остающиеся члены являются частными производными ростка $f(x, y)$.

Эта «двойственность» незамедлительно подсказывает нам следующий алгоритм определения наиболее простого возможного ростка, связанного с $p$-определенной функцией $f\left(x_{1}, \ldots\right.$ $\left.\ldots, x_{l}\right)$. Алгоритм требует найти число $p$-определенность функции $f$. (Далее будем работать только с полиномом $\bar{f}(x)=$ $=j^{p} f(x)$.) При этом предполагается, что $V_{p}$ – линейное векторное пространство, порождаемое всеми одночленами от $x_{1}, \ldots, x_{l}$ степени не больше $p$. (Тогда $\operatorname{dim} V_{p}=(p+l) ! / p ! l !$.) Кроме того, $V_{D}$ есть линейное векторное подпространство $V_{p}$, порождаемое всеми многочленами $R_{i j}$, получаемыми в алгоритме нахождения определенности, а $V_{U}$ – линейное векторное подпространство $V_{p}$, порождаемое минимальным множеством полиномов $T_{j}$, получаемых в алгоритме деформации. Тогда $V_{p}-\left(V_{D} \oplus V_{U}\right)=$ $=V_{p} /\left(V_{D} \oplus V_{U}\right)$ является линейным векторным пространством, порожденным первыми частными производными ростка $f$.

Этот алгоритм «лежит» на стыке двух конкурирующих математических процессов (гл. 3 и 4): с одной стороны, использование управляющих параметров в семействе функций для исключения некоторых начальных членов разложения в ряд Тейлора в критической точке, а с другой стороны, замена переменных для исключения последних членов («хвоста» разложения). Эти два конкурирующих процесса «встречаются посередине» в ростке катастрофы. Вышеприведенный алгоритм как раз и описывает механизм построения ростка.

Пример 1. Найти канонический (простейший) росток $f_{c g}$, связанный с функцией $f(x, y)=x^{2} y+y^{3} / 3+y^{2} / 2$.

Решение. Интересующая нас функция (с точностью до изменения шкалы) уже встречалась в (5.36).

Шаг 1. Определенность $f(x, y)$ вычисляется при помощи перечисления всех одночленов $1 ; x, y ; x^{2}, \ldots$ и всех $(p+1)$-струй $R_{i j}$ (табл. 23.2). В таблице перечислены все члены степени не выше пятой, которые возникают в алгоритме вычисления определенности; одночлены пятой степени очерчены штриховым прямоугольником. Заманчиво предположить, что функция $f(x, y)$ является 3-определенной. Действительно, все одночлены четвертой степени $\left(x^{3} y, x^{2} y^{2}, x y^{3}, y^{4}\right)$ встречаются в таблице или могут быть представлены как линейные комбинации функций, предсгавленных в таблице:
\[
x^{4}=R_{23}-R_{14}-R_{11} \text {. }
\]

Однако напомним, что алгоритм определенности не является алгоритмом типа «тогда и только тогда». Если бы $f(x, y)$ являлась 3-определенной, то все одночлены четвертой степени можно было бы выразить как линейные комбинации $R_{i j}$, однако факт, что это возможно сделать, не гарантирует нам, что функция $f$ является 3 -определенной, поскольку один из этих одночленов $\left(x^{4}\right)$ требует одночлена $m_{1}$ степени 1. Утверждение «тогда и только тогда» может быть использовано для доказательства, что $f(x, y)$ является 4 -определенной, так как все члены пятой степени либо непосредственно входят в таблицу ( $\left.x^{4} y, x^{3} y^{2}, x^{2} y^{3}, x y^{4}, y^{5}\right)$, либо могут быть выражены с помощью одночленов $m_{j}(x, y)$ выше второй степени:
\[
x^{5}=R_{26}-R_{17}-R_{13}
\]

Таблица 23.2. Алгоритм нахождения ростка функции
\[
f(x, y)=x^{2} \dot{y}+\frac{y^{3}}{3}+\frac{y^{2}}{2} .
\]
$\diamond \diamond \diamond$ Достаточно, но не необходимо работать с полиномом $j^{p} f(x)$. По существу, достаточно работать с любым полиномиальным усечением $j^{p^{\prime} f}(x)$ функции $f(x), p^{\prime} \geqslant p$, где $p$ – определенность функции $f(x)$. Это происходит из-за того, что алгоритм определенности порождает все одночлены степени не меньше $p$, так что $V_{p} /\left(V_{D} \cap V_{p}\right)=V_{p^{\prime}} /\left(V_{D} \cap V_{p^{\prime}}\right)$. Самое лучшее для нас – работать с линейным векторным пространством $V_{p}^{\prime}$ наименьшей подходящей размерности. Это случается, когда $p^{\prime}=p$, где $p$ – определенность функции $f(x)$.

Поскольку мы до сих пор не знаем, является ли $f(x, y)=$ $=x^{2} y+y^{3} / 3+y^{2} / 2$ 3-определенной или 4-определенной, то мы должны еще поработать с пространством $V_{p^{\prime}}=V_{4}$, порожденным одночленами $x^{t} y^{s}, r+s \leqslant 4$. Это пространство имеет размерность 15. Поэтому, если окажется, что $f(x, y)$ является 3 -определенной, то потребуется лишь небольшой объем дополнительной работы при проведении вычислений. Вместе с тем, если $f(x, y)$ 4-определенная, а мы будем работать в $V_{3}$, то полученный результат будет неправильным.

Рис. 23.2. Пространство $V_{p}$, используемое в алгоритме вычисления ростка функции $f(x, y)$, порождается $(p+1)(p+2) / 2$ одночленами $x^{i} y^{j}, i+j \leqslant p$. На рисунке введены следующие обозначения для различных базисных векторов, используемых в различных частях этого алгоритма, на примере исследования функции $f(x, y)=x^{2} y+y^{3} / 3+y^{2} / 2$ :
– члены, непосредственно используемые в алгоритме нахождения определенности; 8 – члены, не прямо используемые в алгоритме нахождения определенности; – – лены, не представленные в алгоритме нахождения определенности, но порождаемые в алгоритме нахождения деформации; 口 – базисные векторы пространства.

Шаг 2. Линейное векторное пространство $V_{p}$, порожденное всеми одночленами не выше второй степени, имєет размерность $(2+4) ! / 2 ! 4 !=15$. Базисные векторные одночлены изображены на рис. 23.2 точками.

Шаг 3. Линейное векторное прос.ранство $V_{D}$, порождаемое полиномами $R_{i j}$, представлено в табл. 23.2. Однсчлены, которые появляются непосредственно в таблице, заключены в прямоугольники; одночлены же, которые могут быть выражены с помощью линейных комбинаций элементов $R_{i j}$, изображены в открытом пространстве. Линейное векторное пространство $V_{D}$, порожденное этими многочленами, изображено на рис. 23.2 белыми и черными кружками, необходимо лишь добавить к ним полином $R_{21}=x^{3}+x y^{2}+x y$. $\operatorname{Dim} V_{D}=10$.

Шаг 4. Линейное векторное пространство, порождаемое многочленами $S_{i j}$, включает все базисные векторы, описанные выше, а также два дополнительных базисных вектора: $S_{10}=x y$ и $S_{20}=x^{2}+y^{2}+y$. Это пространство порождается одночленами, изображенными черными и белыми кружками на рис. 23.2 , двумя новыми одночленами $x y=S_{10}$ и $x^{3}=S_{21}-S_{12}-S_{10}$, изображенными на этом рисунке черными квадратами, и полиномом $S_{20}=$ $=x^{2}+y^{2}+y$. Размерность этого пространства равна 12 .

Шаг 5. Дополнение к этому пространству в $V_{p}$ имеет размерность $15-12=3$ и порождается многочленами $T_{i}(x, y)$. В качестве базисных векторов этого пространства $V_{U}$ удобно выбрать три одночлена $1, x, x^{2}$ (белые квадраты). Тогда пространство $V_{D}+V_{U}$ порождается одночленами, изображенными на рис. 23.2 кружками и белыми квадратами, вместе с многочленом $S_{21}=x^{3}+x y^{2}+x y$. Пространстзо $V_{p}-\left(V_{D} \oplus V_{U}\right)$ имеет размерность $15-(10+3)=2$ и порождается двумя линейно независимыми комбинация-

Рис. 23.3. Корни уравнения $f(x, y)=x^{2} y+y^{3} / 3+y^{2} / 2=0$.
Соответствующии росток не является положительно определенным, так что $f \div-x^{4}+y^{2}$.

ми из трех одночленов $y, x y, x^{3}$, которые также линейно независимы от $S_{21}$. В качестве базисных векторов удобно выбрать пару одночленов $y, x^{3}$.

Шаг 6. Первые производные ростка $f(x, y)$ порождают двумерное пространство (шаг 5):
\[
\frac{\partial}{\partial x} f_{c g} \sim x^{3}, \quad \frac{\partial}{\partial y} f_{c g} \sim y .
\]

Следовательно, $f(x, y) \doteq f_{c g}=\alpha x^{4}+\beta y^{2}, \alpha
eq 0, \beta
eq 0$, и $f$ является 4-определенной. Қак только определим знаки $\alpha$ и $\beta$, то с помощью об́ычного преобразования масштаба получим канонический росток вида $\pm x^{4} \pm y^{2}$. Матрица устойчивости имеет вид
\[
f_{i j}=\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]
\]

так что коэффициент $\beta$ члена $y^{2}$ должен быть положительным. Коэффициент $\alpha$ члена $x^{4}$ должен быть отрицательным. Это может быть определено путем решения уравнения $f(x, y)=0$. Линии корней и знаки функций в трех открытых областях, на которые эти линии кәрней разбивают $\mathbb{R}^{2}$, изображены на рис. 23.3. Если коэффициент $\alpha$ положителен, то $f_{c g}$ и, следовательно, $f(x, y)$ будут положительно определенными. Тогда коэффициент $\alpha$ должен быть отрицательным, и
\[
f(x, y)=x^{2} y+\frac{y^{3}}{3}+\frac{y^{2}}{2} \doteq-x^{4}+y^{2}=f_{c g} .
\]