Если к газу, заключенному в трубке, приложить слабый электрический потенциал, то через трубку потечет очень слабый ток (рис. 20.23). Когда разность потенциалов ( $V/D\simeq \mathcal{E}$, где $\mathcal{E}$ — напряженность электрического поля) станет достаточно большой, произойдет пробой газа вследствие ионизации и ток может стать ощутимым. Вольтамперная характеристика газовой трубки обладает высокой степенью нелинейности, и наблюдается явление гистерезиса. Процесс прохождения тока сопровождается испусканием света. (Кстати, именно по такому принципу работает неоновая лампа.)

Если проводящую трубку поместить внутрь соответствующим образом настроенной полости Фабри — Перо, уровень обратной связи может стать достаточно высоким, для того чтобы возник лазерный эффект. Ниже определенного порогового значения уровня накачки (электрического тока) лазерное излучение отсутствует; при уровне накачки, превышающем пороговый, лазер «включен». Процесс перехода от включения к выключению соответствует явлению бифуркации. При умеренных интенсивностях накачки на выходе из полости получаем устойчивое с течением времени излучение, описываемое плавной непрерывной функцией интенсивности накачки. Однако при превышении второго критического порогового значения лазер начинает сильно пульсировать, причем хаотическим образом [7].

Рис. 20.23. Ток через газовую трубку з полости Фабри — Перо обусловливает характер излучения.
$a$ — при слабом токе излучение отсутствует; 6 -при токе умеренной ннтенсивности излучение когерентно; в-при сильном токе излучение носит хаотический характер.

Устойчивые аттракторы, заключенные между первым и вторым порогами, будут типа $M_0^3$ или $F_{-}^2\times M_0^1$. Устойчивый аттрактор, расположенный выше второго порога, является странным хаотическим аттрактором типа изученного Лоренцем [8].

Бифуркационные свойства лазера можно исследовать, анализируя совокупности уравнений Максвелла для электромагнитного поля и уравнений движения, описывающих поведение вещества внутри полости. В классической механике такая совокупность уравнений называется системой уравнений Ньютона-Максвелла. Лазер является квантово-механической системой, и для нее соответствующие уравнения носят название уравнения Блоха-Максвелла. При описании лазера важными характеристиками являются напряженность электрического поля $\mathcal{E}(x,t)$, поляризации $\mathcal{P}(x,t)$, обусловленная ненулевым моментом электрического диполя между разными атомными или молекулярными уровнями, и инверсия заселенности, представляющая собой разность между числом атомов в возбужденном и базовом состояниях, определяющих лазерный переход.

Уравнения Блоха — Максве.ла можно получить из уравнений Максвелла ( ${\partial }^{\mu }{F}_{\mu u}=4\pi j_v;{\partial }_{\mu }{F}^{\mu u}=4\pi j^u$ ), выражая источники зарядов и токи через микроскопические величины, такие, как элементы матрицы $E1$. Эти уравнения можно упростить, представляя напряженность электрического поля и поляризацию в виде
$\mathcal{E}=E(x,t)e^{i(\omega )t-kx)}+$ Комплексно-сопряженные члены,
$\mathcal{P}=P(x,t)e^{i(\omega ,t-kx)}+$ Комплексно-сопряженные члены,
где ${\omega }_0,k$ — периоды по времени и по пространственной координате, $e^{i({\omega }_{0}t-\mathit{k}x)}$ содержит всю быстро меняющуюся информацию, а $E(x,t),P(x,t)$ — медленно меняющиеся функции. Система уравнений Блоха — Максвелла имеет вид
$$\begin{array}{c}(\frac{\partial }{\partial t}+c\frac{\partial }{\partial x}+x)E=-2\pi i{\omega }_{0}P,\\ (\frac{\partial }{\partial t}+\gamma )P=\frac{i}{3\hslash }{\left|M_{ge}\right|}^{2}ED,\\ (\frac{\partial }{\partial t}+{\gamma }_{\Vert })(D-D_0)=\frac{2i}{\hslash }(E^{\ast }P-E{P}^{\ast }),\end{array}$$

где $c$-скорость света; $\hslash$ — постоянная Планка, отнесенная к $2\pi ;M_{ge}$ — элемент матрицы $E\mathrm{I}$ для лазерного перехода; $D_0$ инверсия заселенности, вызванная внешним источником энергии; $x,\gamma ,\gamma \Vert$ — скорости релаксации полей $E,P,D$ соответственно.

Найдем не зависящие от пространственной координаты и времени решения системы (20.46). Для этого положим все производные по пространственной координате и времени равными нулю и будем строить решение получающихся нелинейных уравнений. В результате находим, что
$$E=0,P=0,D-D_0=0$$

является решением при всех значениях $D_0$. При $D_0⩾D_{0,1}=$ $=3\hslash \kappa \gamma /\left(2\pi {\omega }_0{\left|M_{ge}\right|}^2\right)$ существуют ненулевые решения, для которых
$$\begin{array}{l}{D}_{\text{непр. волн }}=D_{0,1},\\ |E{|}_{\text{непр. волн }}=\frac{{\omega }_1\hslash {\gamma }_{\Vert }}{4x}{|D_0-D_{0.1}|}^{1/2},\\ |P{|}_{\text{непр. волн }}=\frac{2\pi {\omega }_0}{x}|E{|}_{\text{непр. волн }}.\end{array}$$

Решения (20.47), соответствующие «включению» лазера, устойчивы при условии, что они находятся ниже порогового значения $\left(M_0^3\right)$, и неустойчивы, если выше порогового значения $\left(M_1^3\right)$.

При превышении порогового значения решения (20.48) первоначально устойчивы.

Все величины $E,P,D$ можно выбрать в действительности. Исследование устойчивых решений (20.46) целесообразно проводить путем введения безразиерных величин, относя характеристики поля к соответствующим непрерывным волновым решениям, т. е. $E^{\prime }=E/|E{|}_{\text{непр. вонн }}$ и т. д. Тогда система уравнений Блоха — Максвелла принимает более простой вид
$$\begin{array}{l}(\frac{\partial }{\partial t}+\left[c\frac{\partial }{\partial x}\right]+x)E^{\prime }=x{P}^{\prime },\\ (\frac{\partial }{\partial t}+\gamma )P^{\prime }=\gamma E^{\prime }{D}^{\prime },\\ (\frac{\partial }{\partial t}+{\gamma }_{\Vert })D^{\prime }={\gamma }_{\Vert }\left(\frac{D_0}{D_{0,1}}\right)-{\gamma }_{\Vert }(\frac{D_0}{D_{0,1}}-1)E^{\prime }{P}^{\prime }.\end{array}$$

При помощи преобразования схстемы координат можно устранить член, содержащий производную по пространственной координате и заключенный в квадратные скобки. Замена переменных
$$\begin{array}{ll}{E}^{\prime }=\alpha x,& r=\frac{D_0}{D_{0,1}},\alpha =\sqrt{b(r-1)},\\ P^{\prime }=\alpha y,& \sigma =\frac{\chi }{\gamma },t\to t^{\prime }=t\frac{\sigma }{x},\\ D^{\prime }=z,& b=\frac{{\gamma }_l}{\gamma }\end{array}$$

приводит уравнения (20.49) к форме, изученной Лоренцем [8].