Если к газу, заключенному в трубке, приложить слабый электрический потенциал, то через трубку потечет очень слабый ток (рис. 20.23). Когда разность потенциалов ( $V / D \simeq \mathscr{E}$, где $\mathscr{E}$ — напряженность электрического поля) станет достаточно большой, произойдет пробой газа вследствие ионизации и ток может стать ощутимым. Вольтамперная характеристика газовой трубки обладает высокой степенью нелинейности, и наблюдается явление гистерезиса. Процесс прохождения тока сопровождается испусканием света. (Кстати, именно по такому принципу работает неоновая лампа.)

Если проводящую трубку поместить внутрь соответствующим образом настроенной полости Фабри — Перо, уровень обратной связи может стать достаточно высоким, для того чтобы возник лазерный эффект. Ниже определенного порогового значения уровня накачки (электрического тока) лазерное излучение отсутствует; при уровне накачки, превышающем пороговый, лазер «включен». Процесс перехода от включения к выключению соответствует явлению бифуркации. При умеренных интенсивностях накачки на выходе из полости получаем устойчивое с течением времени излучение, описываемое плавной непрерывной функцией интенсивности накачки. Однако при превышении второго критического порогового значения лазер начинает сильно пульсировать, причем хаотическим образом [7].

Рис. 20.23. Ток через газовую трубку з полости Фабри — Перо обусловливает характер излучения.
$a$ — при слабом токе излучение отсутствует; 6 -при токе умеренной ннтенсивности излучение когерентно; в-при сильном токе излучение носит хаотический характер.

Устойчивые аттракторы, заключенные между первым и вторым порогами, будут типа $M_{0}^{3}$ или $F_{-}^{2} \times M_{0}^{1}$. Устойчивый аттрактор, расположенный выше второго порога, является странным хаотическим аттрактором типа изученного Лоренцем [8].

Бифуркационные свойства лазера можно исследовать, анализируя совокупности уравнений Максвелла для электромагнитного поля и уравнений движения, описывающих поведение вещества внутри полости. В классической механике такая совокупность уравнений называется системой уравнений Ньютона-Максвелла. Лазер является квантово-механической системой, и для нее соответствующие уравнения носят название уравнения Блоха-Максвелла. При описании лазера важными характеристиками являются напряженность электрического поля $\mathscr{E}(x, t)$, поляризации $\mathscr{P}(x, t)$, обусловленная ненулевым моментом электрического диполя между разными атомными или молекулярными уровнями, и инверсия заселенности, представляющая собой разность между числом атомов в возбужденном и базовом состояниях, определяющих лазерный переход.

Уравнения Блоха — Максве.ла можно получить из уравнений Максвелла ( $\partial^{\mu} F_{\mu
u}=4 \pi j_{v} ; \partial_{\mu} F^{\mu
u}=4 \pi j^{
u}$ ), выражая источники зарядов и токи через микроскопические величины, такие, как элементы матрицы $E 1$. Эти уравнения можно упростить, представляя напряженность электрического поля и поляризацию в виде
$\mathscr{E}=E(x, t) e^{i(\omega) t-k x)}+$ Комплексно-сопряженные члены,
$\mathscr{P}=P(x, t) e^{i(\omega, t-k x)}+$ Комплексно-сопряженные члены,
где $\omega_{0}, k$ — периоды по времени и по пространственной координате, $e^{i\left(\omega_{0} t-\boldsymbol{k} x\right)}$ содержит всю быстро меняющуюся информацию, а $E(x, t), P(x, t)$ — медленно меняющиеся функции. Система уравнений Блоха — Максвелла имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\left(\frac{\partial}{\partial t}+c \frac{\partial}{\partial x}+x\right) E=-2 \pi i \omega_{0} P, \\
\left(\frac{\partial}{\partial t}+\gamma\right) P=\frac{i}{3 \hbar}\left|M_{g e}\right|^{2} E D, \\
\left(\frac{\partial}{\partial t}+\gamma_{\|}\right)\left(D-D_{0}\right)=\frac{2 i}{\hbar}\left(E^{*} P-E P^{*}\right),
\end{array}
\]

где $c$-скорость света; $\hbar$ — постоянная Планка, отнесенная к $2 \pi ; M_{g e}$ — элемент матрицы $E \mathrm{I}$ для лазерного перехода; $D_{0}$ инверсия заселенности, вызванная внешним источником энергии; $x, \gamma, \gamma \|$ — скорости релаксации полей $E, P, D$ соответственно.

Найдем не зависящие от пространственной координаты и времени решения системы (20.46). Для этого положим все производные по пространственной координате и времени равными нулю и будем строить решение получающихся нелинейных уравнений. В результате находим, что
\[
E=0, \quad P=0, \quad D-D_{0}=0
\]

является решением при всех значениях $D_{0}$. При $D_{0} \geqslant D_{0,1}=$ $=3 \hbar \kappa \gamma /\left(2 \pi \omega_{0}\left|M_{g e}\right|^{2}\right)$ существуют ненулевые решения, для которых
\[
\begin{array}{l}
D_{\text {непр. волн }}=D_{0,1}, \\
|E|_{\text {непр. волн }}=\frac{\omega_{1} \hbar \gamma_{\|}}{4 x}\left|D_{0}-D_{0.1}\right|^{1 / 2}, \\
|P|_{\text {непр. волн }}=\frac{2 \pi \omega_{0}}{x}|E|_{\text {непр. волн }} .
\end{array}
\]

Решения (20.47), соответствующие «включению» лазера, устойчивы при условии, что они находятся ниже порогового значения $\left(M_{0}^{3}\right)$, и неустойчивы, если выше порогового значения $\left(M_{1}^{3}\right)$.

При превышении порогового значения решения (20.48) первоначально устойчивы.

Все величины $E, P, D$ можно выбрать в действительности. Исследование устойчивых решений (20.46) целесообразно проводить путем введения безразиерных величин, относя характеристики поля к соответствующим непрерывным волновым решениям, т. е. $E^{\prime}=E /|E|_{\text {непр. вонн }}$ и т. д. Тогда система уравнений Блоха — Максвелла принимает более простой вид
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial}{\partial t}+\left[c \frac{\partial}{\partial x}\right]+x\right) E^{\prime}=x P^{\prime}, \\
\left(\frac{\partial}{\partial t}+\gamma\right) P^{\prime}=\gamma E^{\prime} D^{\prime}, \\
\left(\frac{\partial}{\partial t}+\gamma_{\|}\right) D^{\prime}=\gamma_{\|}\left(\frac{D_{0}}{D_{0,1}}\right)-\gamma_{\|}\left(\frac{D_{0}}{D_{0,1}}-1\right) E^{\prime} P^{\prime} .
\end{array}
\]

При помощи преобразования схстемы координат можно устранить член, содержащий производную по пространственной координате и заключенный в квадратные скобки. Замена переменных
\[
\begin{array}{ll}
E^{\prime}=\alpha x, & r=\frac{D_{0}}{D_{0,1}}, \quad \quad \alpha=\sqrt{b(r-1)}, \\
P^{\prime}=\alpha y, & \sigma=\frac{\chi}{\gamma}, \quad t \rightarrow t^{\prime}=t \frac{\sigma}{x}, \\
D^{\prime}=z, & b=\frac{\gamma_{l}}{\gamma}
\end{array}
\]

приводит уравнения (20.49) к форме, изученной Лоренцем [8].