Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Понятие трансверсальности может быть обоснованно применено как к кривым, так и к многообразиям или к отображениям. Рассмотрим подробно наиболее часто встречаемые случаи трансверсальности. Пример 1 (puc. 22.1). Две кривыє $\mathscr{P}$ и $Q$ в пространстве $\mathbb{R}^{2}$, каждая из которых является одномерным многообразием, пересекаются трансверсально в точках $a$ и $b$, но не в точке $c$ (рис. $22.1, a$ ). Если одно из этих двух многообразий $\mathscr{P}$ или $\mathcal{Q}$ слегка пошевелить, то точка двойной особенности $c$ либо расщепится в две изолированные точки трансверсального контакта $c_{1}$ и $c_{2}$ (рис. 21.1, б), либо контакт исчезнет совсем (рис. 22.1, в). Пример 2 (рис. 22.2). Кривая $\mathscr{P}$ пересекает сферу $\mathcal{Q}$ в $\mathbb{R}^{3}$ трансверсально в точках $a$ и $b$, но не в точке $c$. Пример 3 (рис. 22.3). В пространстве $R^{3}$ сферы $\mathscr{P}^{5}$ и $Q$ пересекаются по окружности, которая является одномерным многообразием. Эти две сферы пересекаются трансверсально в любой точке данной окружности. Если же радиусы и центры этих двух сфер слегка изменить, то последние все еще трансверсально пересекаются по окружности, и новая окружность, лежащая в их пересечении, будет расположена зблизи исходной окружности. Пример 4 (рис. 22.4). Одномерные многообразия $\mathscr{P}$ и $\mathcal{Q}$ пересекаются в точке $x^{0} \in \mathbb{R}^{3}$. Поскольку касатель:ое пространство к $\mathscr{P}$ в точке $x^{0}$ одномерно, так же как и касательное пространство к $Q$ в $x^{0}$, то невозможно сделать так, чтобы $\mathscr{P}$ и $\mathcal{Q}$ могли пересекаться трансверсально в $\mathbb{R}^{3}$. Если или $\mathscr{P}$, или $\mathcal{Q}$ подвергнуть небольшоку возмущению, то эти многообразия не будут пересекаться вообще. Пример 5. Точка $\mathscr{P}$ является нульмерным многообразием, в то время как $Q$ является двумерным многообразием, вложенным в $\mathbb{R}^{3} . \mathscr{P}$ и $\mathbb{Q}$ не могут пересекаться трансверсально, так как их касательные пространства имеют соответственно размерности 0 и 2. Таким образом, касательные пространства не могут породить пространство $\mathbb{R}^{3}$, имеющее размерность 3 . Если $\mathscr{Q}$ пересекает $\mathscr{P}$, то возмущение любого из этих многообразий имеет результатом ситуацию, в которой $\mathscr{P}$ и $\mathcal{Q}$ уже больше не пересекаются. Определение. Два многообразия $\mathscr{P}$ и , вложенные в пространство $\mathbb{R}^{N}$, пересекаются трансверсально (или трансверсальны), если: они пересекаются трансверсально во всех точках своего пересечения; Рис. 22.1. Рис. 22.2. Точки контакта $(a, b)$ в которых кривая $\mathscr{P}$ пересекает поверхность сферы $Q$ в пространстве $\mathbb{R}^{3}$, являются точками трансверсального пересечения. Эти два многобразия не трансверсальны в точке $c$. Рис. 22.3. Две сферы $\mathscr{P}$ и $Q$ в пространстве $\mathbb{R}^{3}$ пересекаются трансверсально по окружности $\mathscr{n}$ при условии, что $R_{1}+R_{2}>d>\left|R_{1}-R_{2}\right|$. Точка контакта становится не трансверсальной, если одно из неравенств заменить на равенство. Пересечения совсем не будет, если любое из неравенств обратить. Рис. 22.4. Две кривые в пространстве $R^{3}$ не могут пересекаться трансверсально. Наиболее важные моменты в понятии «трансверсальность многообразий» следующие: Глава 22 Таким образом, трансверсальность является наследственным свойством многообразий (рис. 22.1-22.5). Предположим, что $Q$ – многообразие размерности $q$ в пространстве $\mathbb{R}^{N}$, а $\mathscr{P}$ – многообразие размерности $p$, не лежащее в $\mathbb{R}^{N}$. Кроме того, предположим, что $\mathscr{F}$ отображает $\mathscr{P}$ в $\mathbb{R}^{n}$. Если $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ и $Q$ пересекаются в точке $x^{0} \in \mathbb{R}^{N}$, то пересечение в этой точке трансверсально, если касательные пространства к $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ и $Q$ в их общей точке $x^{0}$ порождают $\mathbb{R}^{N}$. Определение. Отображение $\mathscr{F}$ трансверсально многообразию $Q$ в пространстве $\mathbb{R}^{N}$ [1], если: Рис. 22.6. Вертикальная прямая $Q$ трансверсально пересекает поверхность $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ в точке. Рис. 22.7. Кривая $\mathscr{F}(\mathscr{P})=(t, t)$ пересекает трансверсально ось $x$ в начале координат. Так как то векторы $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ порождают пространство $\mathbb{R}^{3}$. Следовательно, $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ трансверсально $\boldsymbol{Q}$ в любой точке их пересечения. Пересечение остается трансверсальным и при возмущениях. Пример 7 (рис. 22.7). Пусть $Q$ – многообразие, совпадающее с осью $x$ пространства $\mathbb{R}^{2}$, а отображение $\mathscr{F}$ многообразия $\mathscr{P}=\mathbb{R}^{1}$ в $\mathbb{R}^{2}$ задается формулой Қасательный вектор к $Q$ направлен вдоль оси $x$. В касательном пространстве к $\mathscr{F}\left(\mathbb{R}^{1}\right)$ в точке пересечения $(0,0)$ можно взять базисный вектор $(1,1)$. Эти два вектора порождают $R^{2}$, так что отображение $\mathscr{F}$ трансверсально оси $x$. Пример 8 (рис. 22.8). Пусть $Q$ – ось $x$ в пространстве $\mathbb{R}^{2}$, а $\mathscr{P}=\mathbb{R}^{1}$. Определим отображение посредством выражения В этом случае имеется лишь одна точка контакта, а именно $x^{0}=(2,0)$. Глава 22 Рис. 22.9. Кривая $\mathscr{F}(\mathscr{P})=\left(t^{3}, t^{3}\right)$ пересекает ось $x$ в начале координат, но это пересечение не трансверсальное, так как касательный вектор (вектор скорости) $\left(3 t^{2}, 3 t^{2}\right)$ становится нулевым. вектор $(1,0)$. Қасательное пространство к $\mathscr{F} R^{1}$ в точке $x^{0}$ имеет касательный вектор Эти два вектора параллельны, следовательно, они не могут породить пространство $\mathbb{R}^{2}$ в рассматриваемой точке $(2,0)$. На рис. $22.8,6-2$ показано, какие последствия при трансверсальном пересечении может иметь небольшое возмущение отображения $\mathscr{F}$. Пример 9 (рис. 22.9). Пусть $Q$ есть ось $x$ в пространстве $\mathbb{R}^{2}, \mathscr{P}=\mathbf{R}^{1}$, а отображение $\mathscr{F}$ задается следующим образом: Қасательный вектор к многообразию $\mathscr{F}\left(\mathbf{R}^{1}\right)$ в единственной точке его пересечения с многообразием $\boldsymbol{Q}$ равен Следовательно, отображение $\mathscr{F}$ не трансверсально $\boldsymbol{Q}$. Если $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ и $Q$ пересекаются в точке $x^{0} \in \mathbb{R}^{N}\left[\mathscr{F}\left(y^{0}\right)=x^{0}\right]$, то касательное пространство к $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ в точке $x^{0}$ порождается $p$ векторами Векторы $v_{1}, \ldots, v_{p}, u_{1}, \ldots, u_{q}$ порождают пространство $\mathbf{R}^{N}$ в точке $x^{0}$, если $(p+q) \times N-$ матрица, первые $о$ строк которой задаются $(22.1 \mathrm{v})$, а $q$ последних строк (22.1u) содержат невырожденную квадратную подматрицу порядка $N$. Очевидно, если $p+q<N$, это невозможно. Перечислим основные следствия понятия «отображение трансверсально многообразию»: – множество отображений $\mathscr{F}: \mathscr{P} \rightarrow \mathbb{R}^{N}$, которые трансверсальны многообразию $Q$, всюду плотно в множестве всех отображений многообразия $\mathscr{P}$ в $\mathbb{R}^{N}$. Это означает, что любое отображение $\mathscr{F}: \mathscr{P} \rightarrow \mathbb{R}^{N}$ (трансверсальное $\mathcal{Q}$ или нет) может быть с произвольной точностью аппроксимировано трансверсальными отображениями.
|
1 |
Оглавление
|