Понятие трансверсальности может быть обоснованно применено как к кривым, так и к многообразиям или к отображениям. Рассмотрим подробно наиболее часто встречаемые случаи трансверсальности.
1.1. Многообразие трансверсально
другому многообразию
Предположим, что $\mathcal{P}$ — многообразие размерности $p$ в пространстве ${\mathbb{R}}^N$, а $Q$-многообразие размерности $q$, вложенное в ${\mathbb{R}}^N$. Эти многообразия могут пересекаться или нет. Если множества пересекаются в точке $x^0\in {\mathbb{R}}^N$, то скажем, что они пересекаются трансверсально в $x^0$, или трансверсальны в $x^0$, если касательные к ним в точке $x^0$ порождают пространство ${\mathbb{R}}^N$.

Пример 1 (puc. 22.1). Две кривыє $\mathcal{P}$ и $Q$ в пространстве ${\mathbb{R}}^2$, каждая из которых является одномерным многообразием, пересекаются трансверсально в точках $a$ и $b$, но не в точке $c$ (рис. $22.1,a$ ). Если одно из этих двух многообразий $\mathcal{P}$ или $\mathcal{Q}$ слегка пошевелить, то точка двойной особенности $c$ либо расщепится в две изолированные точки трансверсального контакта $c_1$ и $c_2$ (рис. 21.1, б), либо контакт исчезнет совсем (рис. 22.1, в).

Пример 2 (рис. 22.2). Кривая $\mathcal{P}$ пересекает сферу $\mathcal{Q}$ в ${\mathbb{R}}^3$ трансверсально в точках $a$ и $b$, но не в точке $c$.

Пример 3 (рис. 22.3). В пространстве $R^3$ сферы ${\mathcal{P}}^5$ и $Q$ пересекаются по окружности, которая является одномерным многообразием. Эти две сферы пересекаются трансверсально в любой точке данной окружности. Если же радиусы и центры этих двух сфер слегка изменить, то последние все еще трансверсально пересекаются по окружности, и новая окружность, лежащая в их пересечении, будет расположена зблизи исходной окружности.

Пример 4 (рис. 22.4). Одномерные многообразия $\mathcal{P}$ и $\mathcal{Q}$ пересекаются в точке $x^0\in {\mathbb{R}}^3$. Поскольку касатель:ое пространство к $\mathcal{P}$ в точке $x^0$ одномерно, так же как и касательное пространство к $Q$ в $x^0$, то невозможно сделать так, чтобы $\mathcal{P}$ и $\mathcal{Q}$ могли пересекаться трансверсально в ${\mathbb{R}}^3$. Если или $\mathcal{P}$, или $\mathcal{Q}$ подвергнуть небольшоку возмущению, то эти многообразия не будут пересекаться вообще.

Пример 5. Точка $\mathcal{P}$ является нульмерным многообразием, в то время как $Q$ является двумерным многообразием, вложенным в ${\mathbb{R}}^3.\mathcal{P}$ и $\mathbb{Q}$ не могут пересекаться трансверсально, так как их касательные пространства имеют соответственно размерности 0 и 2. Таким образом, касательные пространства не могут породить пространство ${\mathbb{R}}^3$, имеющее размерность 3 . Если $\mathcal{Q}$ пересекает $\mathcal{P}$, то возмущение любого из этих многообразий имеет результатом ситуацию, в которой $\mathcal{P}$ и $\mathcal{Q}$ уже больше не пересекаются.

Определение. Два многообразия $\mathcal{P}$ и , вложенные в пространство ${\mathbb{R}}^N$, пересекаются трансверсально (или трансверсальны), если:

они пересекаются трансверсально во всех точках своего пересечения;
они вообще не пересекаются.
Если $\dim \mathcal{P}+\dim \mathcal{O}=p+q<N$, то касательные пространства многообразий $\mathcal{P}$ и $O$ в любой точке их пересечения $x^0\in$

Рис. 22.1.
$a$-две кривые $\mathcal{g}$ и $Q$ в пространстве ${\mathbb{R}}^2$ пересекаются трансверсально в точках $a$ и $b$, трансверсально во всех точках контакта с вероятностью 1 .

Рис. 22.2. Точки контакта $(a,b)$ в которых кривая $\mathcal{P}$ пересекает поверхность сферы $Q$ в пространстве ${\mathbb{R}}^3$, являются точками трансверсального пересечения. Эти два многобразия не трансверсальны в точке $c$.

Рис. 22.3. Две сферы $\mathcal{P}$ и $Q$ в пространстве ${\mathbb{R}}^3$ пересекаются трансверсально по окружности $\mathcal{n}$ при условии, что $R_1+R_2>d>|R_1-R_2|$. Точка контакта становится не трансверсальной, если одно из неравенств заменить на равенство. Пересечения совсем не будет, если любое из неравенств обратить.

Рис. 22.4. Две кривые в пространстве $R^3$ не могут пересекаться трансверсально.
$\in {\mathbb{R}}^N$ не могут порождать ${\mathbb{R}}^N$. Следовательно, они могут быть трансверсальны лишь тогда, когда они вообще не пересекаются.

Наиболее важные моменты в понятии «трансверсальность многообразий» следующие:
1. Если $\mathcal{P}$ трансверсально $Q$ в пространстве $R^N$, то:
а. если $p+q<N$, то $\mathcal{P}$ и $Q$ не должны пересекаться вообще;
6. если $p+q⩾N$, то $\mathcal{P}$ и $Q$ должны либо не пересекаться вообще, либо пересекаться по многообразию размерности $p+q-N⩾0$.
2. Предположим, что $\mathcal{P}$ и $\mathit{Q}$ подвергаются небольшому возмущению, в результате чего получим многообразия ${\mathcal{P}}^{\prime }$ и $Q^{\prime }$. Тогда, если $\mathcal{P}$ трансверсально $\mathcal{Q}$, то и ${\mathcal{P}}^{\prime }$ трансверсально ${\mathcal{Q}}^{\prime }$. Если $\mathcal{P}$ и $Q$ не пересекаются, то и ${\mathcal{P}}^{\prime }$ и $Q^{\prime }$ также не пересекаются. Если $\mathcal{P}$ и $\mathcal{Q}$ пересекаются трансверсально на многообразии $\mathcal{M}$, то ${\mathcal{P}}^{\prime }$ и $Q^{\prime }$ пересекаются трансверсально на многообразии ${\mathcal{\Lambda }}^{\prime }$, которое является возмущением $\mathcal{A}$.

Глава 22
Рис 22.5. Точка в пространстве ${\mathbb{R}}^n$ не может быть трансверсальна многообразию в этом пространстве размерности, меньшей, чем $n$.
3. Предположим, что $\mathcal{P}$ и $Q$ подвергаются небольшому возмущению, в результате чего получим многообразия ${\mathcal{P}}^{\prime }$ и $Q^{\prime }$. Если $\mathcal{P}$ не было трансверсально $\mathcal{Q}$, то ${\mathcal{P}}^{\prime }$ будет трансверсально ${\mathcal{Q}}^{\prime }$.

Таким образом, трансверсальность является наследственным свойством многообразий (рис. 22.1-22.5).
1.2. Отображение трансверсально многообразию

Предположим, что $Q$ — многообразие размерности $q$ в пространстве ${\mathbb{R}}^N$, а $\mathcal{P}$ — многообразие размерности $p$, не лежащее в ${\mathbb{R}}^N$. Кроме того, предположим, что $\mathcal{F}$ отображает $\mathcal{P}$ в ${\mathbb{R}}^n$. Если $\mathcal{F}(\mathcal{P})$ и $Q$ пересекаются в точке $x^0\in {\mathbb{R}}^N$, то пересечение в этой точке трансверсально, если касательные пространства к $\mathcal{F}(\mathcal{P})$ и $Q$ в их общей точке $x^0$ порождают ${\mathbb{R}}^N$.

Определение. Отображение $\mathcal{F}$ трансверсально многообразию $Q$ в пространстве ${\mathbb{R}}^N$ [1], если:
$\mathcal{F}(\mathcal{P})$ трансверсально $Q$ во всех точках их пересечения: $\mathcal{F}(\mathcal{P})$ вообще не пересекает $\mathcal{Q}$.
Пример 6 (рис. 22.6). Пусть $Q$-это одномерное многообразие $(1,2,z$ ), вложенное в ${\mathbb{R}}^3$, а $\mathcal{P}$ — двумерное многообразие в ${\mathbb{R}}^3$. Отобразим многобразие $\mathcal{P}$ в ${\mathbb{R}}^3$, используя следующее отображение: $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\stackrel{\mathcal{F}}{\to }(2x,3y$, $e^{-(x^2+y^2)})\in {\mathbb{R}}^3$. Тогда $\mathcal{F}(\mathcal{P})$ и $Q$ пересекаются в точке ${\mathrm{x}}^0=(1,2,e^{-0,694})$ в ${\mathbb{R}}^3$. В касательном пространстве к $Q$ в точке $x^0$ можно взять базисный вектор $v_3=(0,0,1)$. В касательном пространстве к $\mathcal{F}(\mathcal{P})$ в точке $x^0$ можно взять базисные векторы
$$\begin{array}{l}{v}_1=\frac{\partial }{\partial x}(2x,3y,{e^{-(x^2+y^2)}|}_{x^0}=(2,0,-e^{-0,694}),\\ v_2=\frac{\partial }{\partial y}(2x,3y,{e^{-(x^2+y^2)}|}_{x_0}=(0,3,-\frac{4}{3}{e}^{-0,694}).\end{array}$$

Рис. 22.6. Вертикальная прямая $Q$ трансверсально пересекает поверхность $\mathcal{F}(\mathcal{P})$ в точке.

Рис. 22.7. Кривая $\mathcal{F}(\mathcal{P})=(t,t)$ пересекает трансверсально ось $x$ в начале координат.

Так как

то векторы $v_1,v_2,v_3$ порождают пространство ${\mathbb{R}}^3$. Следовательно, $\mathcal{F}(\mathcal{P})$ трансверсально $\mathit{Q}$ в любой точке их пересечения. Пересечение остается трансверсальным и при возмущениях.

Пример 7 (рис. 22.7). Пусть $Q$ — многообразие, совпадающее с осью $x$ пространства ${\mathbb{R}}^2$, а отображение $\mathcal{F}$ многообразия $\mathcal{P}={\mathbb{R}}^1$ в ${\mathbb{R}}^2$ задается формулой
$$t\in {\mathbb{R}}^1\stackrel{\mathcal{F}}{\to }(t,t)\in {\mathbb{R}}^2.$$

Қасательный вектор к $Q$ направлен вдоль оси $x$. В касательном пространстве к $\mathcal{F}\left({\mathbb{R}}^1\right)$ в точке пересечения $(0,0)$ можно взять базисный вектор $(1,1)$. Эти два вектора порождают $R^2$, так что отображение $\mathcal{F}$ трансверсально оси $x$.

Пример 8 (рис. 22.8). Пусть $Q$ — ось $x$ в пространстве ${\mathbb{R}}^2$, а $\mathcal{P}={\mathbb{R}}^1$. Определим отображение посредством выражения
$$t\in {\mathbb{R}}^1\to ({\mathcal{F}}_1(t),{\mathcal{F}}_2(t))=(t+1,(t-1{)}^4)\in {\mathbb{R}}^2,$$

В этом случае имеется лишь одна точка контакта, а именно $x^0=(2,0)$.
В касательном пространстве $Q$ в точке $(2,0)$ можно взять базисный

Глава 22
Рис. 22.8. Кривая $\mathcal{F}(\mathcal{P})(a)$ не трансверсальна оси $x$. Имеется точка двойного касания. Возмущенная кривая может пересекать ось $x$ трансверсально в четырех точках, в двух точках $(8,2)$ или совсем не пересекать (б).

Рис. 22.9. Кривая $\mathcal{F}(\mathcal{P})=(t^3,t^3)$ пересекает ось $x$ в начале координат, но это пересечение не трансверсальное, так как касательный вектор (вектор скорости) $(3t^2,3t^2)$ становится нулевым.

вектор $(1,0)$. Қасательное пространство к $\mathcal{F}{R}^1$ в точке $x^0$ имеет касательный вектор
$${\frac{d}{dt}({\mathcal{F}}_1(t),{\mathcal{F}}_2(t))|}_{t=1}={(1,4(t-1{)}^3)|}_{t=1}=(1,0).$$

Эти два вектора параллельны, следовательно, они не могут породить пространство ${\mathbb{R}}^2$ в рассматриваемой точке $(2,0)$. На рис. $22.8,6-2$ показано, какие последствия при трансверсальном пересечении может иметь небольшое возмущение отображения $\mathcal{F}$.

Пример 9 (рис. 22.9). Пусть $Q$ есть ось $x$ в пространстве ${\mathbb{R}}^2,\mathcal{P}={\mathbf{R}}^1$, а отображение $\mathcal{F}$ задается следующим образом:
$$t\in {\mathrm{R}}^1\stackrel{\mathcal{F}}{\to }({\mathcal{F}}_1(t),{\mathcal{F}}_2(t))=(t^3,t^3)\in {\mathrm{R}}^2.$$

Қасательный вектор к многообразию $\mathcal{F}\left({\mathbf{R}}^1\right)$ в единственной точке его пересечения с многообразием $\mathit{Q}$ равен
$${\frac{d}{dt}(t^3,t^3)|}_{t=0}={(3t^2,3t^2)|}_{t=0}=(0,0).$$

Следовательно, отображение $\mathcal{F}$ не трансверсально $\mathit{Q}$.
Пример 10. Пусть $\mathit{Q}$ есть $q$-мерное многообразие, вложенное в ${\mathbf{R}}^N$, а $\mathcal{P}$ $p$-мерное многообразие. Тогда отображение $\mathcal{F}$ задается посредством
$$\mathcal{F}(\mathcal{F})\to {\mathbb{R}}^N:({\mathcal{F}}_1(y_1,\dots ,y_p){\mathcal{F}}_2(y_1,\dots ,y_p),\dots ,{\mathcal{F}}_N(y_1,\dots ,y_p)).$$

Если $\mathcal{F}(\mathcal{P})$ и $Q$ пересекаются в точке $x^0\in {\mathbb{R}}^N[\mathcal{F}\left(y^0\right)=x^0]$, то касательное пространство к $\mathcal{F}(\mathcal{P})$ в точке $x^0$ порождается $p$ векторами
$$\begin{array}{rl}{v}_1& =(\frac{\partial {\mathcal{F}}_1}{\partial y_1},\dots ,\frac{\partial {\mathcal{F}}_N}{\partial y_1}),\\ & \cdot \\ & \cdot \\ v_p& =(\frac{\partial {\mathcal{F}}_1}{\partial y_p},\dots ,\frac{\partial {\mathcal{F}}_N}{\partial y_p}).\end{array}$$
$q$-мерное касательное пространство к $Q$ в точке $x^0$ порождается при помощи набора из $q$ векторов $u_1,\dots ,u_q$ :
$$\begin{array}{l}{u}_1=(u_{11},u_{12},\dots ,u_{1N}),\\ u_q=(u_{q1},u_{q2},\dots ,u_{qN}).\end{array}$$

Векторы $v_1,\dots ,v_p,u_1,\dots ,u_q$ порождают пространство ${\mathbf{R}}^N$ в точке $x^0$, если $(p+q)\times N-$ матрица, первые $о$ строк которой задаются $(22.1\mathrm{v})$, а $q$ последних строк (22.1u) содержат невырожденную квадратную подматрицу порядка $N$. Очевидно, если $p+q<N$, это невозможно.

Перечислим основные следствия понятия «отображение трансверсально многообразию»:
— если $\mathcal{F}(\mathcal{P})$ трансверсально $Q$ в ${\mathbb{R}}^N$, то:
а. если $p+q<N$, то $\mathcal{F}(\mathcal{P})$ и $\mathcal{Q}$ вообще не должны пересекаться.
b. если $p+q⩾N$, то $\mathcal{F}(\mathcal{F})$ и $Q$ должны либо вообще не пересекаться либо пересекаться по некоторому многообразию размерности $p+q-N⩾0$;
— если $\mathcal{F}(\mathcal{P})$ трансверсально $\mathcal{Q}$ и отображение $\mathcal{F}$ подвергается возмущению, в результате которого получается отображение ${\mathcal{F}}^{\prime }$, то ${\mathcal{F}}^{\prime }(\mathcal{P})$ трансверсально $\mathcal{Q}$. Если $\mathcal{F}(\mathcal{P})$ и $\mathcal{Q}$ не пересекаются, то ${\mathcal{F}}^{\prime }(\mathcal{P})$ и $Q$ также не пересекаются. Если $\mathcal{F}(\mathcal{P})$ и $Q$ пересекаются трансверсально в многообразии $\mathcal{M}$, то ${\mathcal{F}}^{\prime }(\mathcal{P})$ и ${\mathcal{Q}}^{\prime }$ пересекаются трансверсально в многообразии ${\mathcal{M}}^{\prime }$, которое является возмущением $\mathcal{M}$;

— множество отображений $\mathcal{F}:\mathcal{P}\to {\mathbb{R}}^N$, которые трансверсальны многообразию $Q$, всюду плотно в множестве всех отображений многообразия $\mathcal{P}$ в ${\mathbb{R}}^N$. Это означает, что любое отображение $\mathcal{F}:\mathcal{P}\to {\mathbb{R}}^N$ (трансверсальное $\mathcal{Q}$ или нет) может быть с произвольной точностью аппроксимировано трансверсальными отображениями.
1.3. Отображение трансверсально
другому отображению
Если $\mathcal{F}$ отображает $p$-многообразие $\mathcal{P}$ в ${\mathbb{R}}^N$, а $\mathcal{G}$ отображает $q$-многообразие $Q$ в ${\mathbb{R}}^N$, то возникает вопрос, является или нет отображение $\mathcal{F}$ трансверсальным отображению $\mathcal{G}$. Это обсуждение в основном следует направлениям, указанным в разд. 1.2., приводя к аналогичным заключениям. Поэтому мы не будем его здесь приводить.
$\diamond \diamond \diamond$ Использование понятия трансверсальности, особенно трансверсальности отображения и многообразия (разд. 1.2), приводит к наиболее важным результатам, когда в качестве евклидова пространства ${\mathbb{R}}^N$ берется пространство $k$-струй $j^{k}f\simeq {\mathbb{R}}^D$.