Понятие трансверсальности может быть обоснованно применено как к кривым, так и к многообразиям или к отображениям. Рассмотрим подробно наиболее часто встречаемые случаи трансверсальности.
1.1. Многообразие трансверсально
другому многообразию
Предположим, что $\mathscr{P}$ — многообразие размерности $p$ в пространстве $\mathbb{R}^{N}$, а $Q$-многообразие размерности $q$, вложенное в $\mathbb{R}^{N}$. Эти многообразия могут пересекаться или нет. Если множества пересекаются в точке $x^{0} \in \mathbb{R}^{N}$, то скажем, что они пересекаются трансверсально в $x^{0}$, или трансверсальны в $x^{0}$, если касательные к ним в точке $x^{0}$ порождают пространство $\mathbb{R}^{N}$.

Пример 1 (puc. 22.1). Две кривыє $\mathscr{P}$ и $Q$ в пространстве $\mathbb{R}^{2}$, каждая из которых является одномерным многообразием, пересекаются трансверсально в точках $a$ и $b$, но не в точке $c$ (рис. $22.1, a$ ). Если одно из этих двух многообразий $\mathscr{P}$ или $\mathcal{Q}$ слегка пошевелить, то точка двойной особенности $c$ либо расщепится в две изолированные точки трансверсального контакта $c_{1}$ и $c_{2}$ (рис. 21.1, б), либо контакт исчезнет совсем (рис. 22.1, в).

Пример 2 (рис. 22.2). Кривая $\mathscr{P}$ пересекает сферу $\mathcal{Q}$ в $\mathbb{R}^{3}$ трансверсально в точках $a$ и $b$, но не в точке $c$.

Пример 3 (рис. 22.3). В пространстве $R^{3}$ сферы $\mathscr{P}^{5}$ и $Q$ пересекаются по окружности, которая является одномерным многообразием. Эти две сферы пересекаются трансверсально в любой точке данной окружности. Если же радиусы и центры этих двух сфер слегка изменить, то последние все еще трансверсально пересекаются по окружности, и новая окружность, лежащая в их пересечении, будет расположена зблизи исходной окружности.

Пример 4 (рис. 22.4). Одномерные многообразия $\mathscr{P}$ и $\mathcal{Q}$ пересекаются в точке $x^{0} \in \mathbb{R}^{3}$. Поскольку касатель:ое пространство к $\mathscr{P}$ в точке $x^{0}$ одномерно, так же как и касательное пространство к $Q$ в $x^{0}$, то невозможно сделать так, чтобы $\mathscr{P}$ и $\mathcal{Q}$ могли пересекаться трансверсально в $\mathbb{R}^{3}$. Если или $\mathscr{P}$, или $\mathcal{Q}$ подвергнуть небольшоку возмущению, то эти многообразия не будут пересекаться вообще.

Пример 5. Точка $\mathscr{P}$ является нульмерным многообразием, в то время как $Q$ является двумерным многообразием, вложенным в $\mathbb{R}^{3} . \mathscr{P}$ и $\mathbb{Q}$ не могут пересекаться трансверсально, так как их касательные пространства имеют соответственно размерности 0 и 2. Таким образом, касательные пространства не могут породить пространство $\mathbb{R}^{3}$, имеющее размерность 3 . Если $\mathscr{Q}$ пересекает $\mathscr{P}$, то возмущение любого из этих многообразий имеет результатом ситуацию, в которой $\mathscr{P}$ и $\mathcal{Q}$ уже больше не пересекаются.

Определение. Два многообразия $\mathscr{P}$ и , вложенные в пространство $\mathbb{R}^{N}$, пересекаются трансверсально (или трансверсальны), если:

они пересекаются трансверсально во всех точках своего пересечения;
они вообще не пересекаются.
Если $\operatorname{dim} \mathscr{P}+\operatorname{dim} \mathcal{O}=p+q<N$, то касательные пространства многообразий $\mathscr{P}$ и $O$ в любой точке их пересечения $x^{0} \in$

Рис. 22.1.
$a$-две кривые $\mathscr{g}$ и $Q$ в пространстве $\mathbb{R}^{2}$ пересекаются трансверсально в точках $a$ и $b$, трансверсально во всех точках контакта с вероятностью 1 .

Рис. 22.2. Точки контакта $(a, b)$ в которых кривая $\mathscr{P}$ пересекает поверхность сферы $Q$ в пространстве $\mathbb{R}^{3}$, являются точками трансверсального пересечения. Эти два многобразия не трансверсальны в точке $c$.

Рис. 22.3. Две сферы $\mathscr{P}$ и $Q$ в пространстве $\mathbb{R}^{3}$ пересекаются трансверсально по окружности $\mathscr{n}$ при условии, что $R_{1}+R_{2}>d>\left|R_{1}-R_{2}\right|$. Точка контакта становится не трансверсальной, если одно из неравенств заменить на равенство. Пересечения совсем не будет, если любое из неравенств обратить.

Рис. 22.4. Две кривые в пространстве $R^{3}$ не могут пересекаться трансверсально.
$\in \mathbb{R}^{N}$ не могут порождать $\mathbb{R}^{N}$. Следовательно, они могут быть трансверсальны лишь тогда, когда они вообще не пересекаются.

Наиболее важные моменты в понятии «трансверсальность многообразий» следующие:
1. Если $\mathscr{P}$ трансверсально $Q$ в пространстве $R^{N}$, то:
а. если $p+q<N$, то $\mathscr{P}$ и $Q$ не должны пересекаться вообще;
6. если $p+q \geqslant N$, то $\mathscr{P}$ и $Q$ должны либо не пересекаться вообще, либо пересекаться по многообразию размерности $p+q-N \geqslant 0$.
2. Предположим, что $\mathscr{P}$ и $\boldsymbol{Q}$ подвергаются небольшому возмущению, в результате чего получим многообразия $\mathscr{P}^{\prime}$ и $Q^{\prime}$. Тогда, если $\mathscr{P}$ трансверсально $\mathcal{Q}$, то и $\mathscr{P}^{\prime}$ трансверсально $\mathscr{Q}^{\prime}$. Если $\mathscr{P}$ и $Q$ не пересекаются, то и $\mathscr{P}^{\prime}$ и $Q^{\prime}$ также не пересекаются. Если $\mathscr{P}$ и $\mathcal{Q}$ пересекаются трансверсально на многообразии $\mathscr{M}$, то $\mathscr{P}^{\prime}$ и $Q^{\prime}$ пересекаются трансверсально на многообразии $\mathscr{\Lambda}^{\prime}$, которое является возмущением $\mathscr{A}$.

Глава 22
Рис 22.5. Точка в пространстве $\mathbb{R}^{n}$ не может быть трансверсальна многообразию в этом пространстве размерности, меньшей, чем $n$.
3. Предположим, что $\mathscr{P}$ и $Q$ подвергаются небольшому возмущению, в результате чего получим многообразия $\mathscr{P}^{\prime}$ и $Q^{\prime}$. Если $\mathscr{P}$ не было трансверсально $\mathcal{Q}$, то $\mathscr{P}^{\prime}$ будет трансверсально $\mathcal{Q}^{\prime}$.

Таким образом, трансверсальность является наследственным свойством многообразий (рис. 22.1-22.5).
1.2. Отображение трансверсально многообразию

Предположим, что $Q$ — многообразие размерности $q$ в пространстве $\mathbb{R}^{N}$, а $\mathscr{P}$ — многообразие размерности $p$, не лежащее в $\mathbb{R}^{N}$. Кроме того, предположим, что $\mathscr{F}$ отображает $\mathscr{P}$ в $\mathbb{R}^{n}$. Если $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ и $Q$ пересекаются в точке $x^{0} \in \mathbb{R}^{N}$, то пересечение в этой точке трансверсально, если касательные пространства к $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ и $Q$ в их общей точке $x^{0}$ порождают $\mathbb{R}^{N}$.

Определение. Отображение $\mathscr{F}$ трансверсально многообразию $Q$ в пространстве $\mathbb{R}^{N}$ [1], если:
$\mathscr{F}(\mathscr{P})$ трансверсально $Q$ во всех точках их пересечения: $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ вообще не пересекает $\mathcal{Q}$.
Пример 6 (рис. 22.6). Пусть $Q$-это одномерное многообразие $(1,2, z$ ), вложенное в $\mathbb{R}^{3}$, а $\mathscr{P}$ — двумерное многообразие в $\mathbb{R}^{3}$. Отобразим многобразие $\mathscr{P}$ в $\mathbb{R}^{3}$, используя следующее отображение: $(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \xrightarrow{\mathscr{F}}(2 x, 3 y$, $\left.e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\right) \in \mathbb{R}^{3}$. Тогда $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ и $Q$ пересекаются в точке $\mathrm{x}^{0}=\left(1,2, e^{-0,694}\right)$ в $\mathbb{R}^{3}$. В касательном пространстве к $Q$ в точке $x^{0}$ можно взять базисный вектор $v_{3}=(0,0,1)$. В касательном пространстве к $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ в точке $x^{0}$ можно взять базисные векторы
\[
\begin{array}{l}
v_{1}=\frac{\partial}{\partial x}\left(2 x, 3 y,\left.e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\right|_{x^{0}}=\left(2,0,-e^{-0,694}\right),\right. \\
v_{2}=\frac{\partial}{\partial y}\left(2 x, 3 y,\left.e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\right|_{x_{0}}=\left(0,3,-\frac{4}{3} e^{-0,694}\right) .\right.
\end{array}
\]

Рис. 22.6. Вертикальная прямая $Q$ трансверсально пересекает поверхность $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ в точке.

Рис. 22.7. Кривая $\mathscr{F}(\mathscr{P})=(t, t)$ пересекает трансверсально ось $x$ в начале координат.

Так как

то векторы $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ порождают пространство $\mathbb{R}^{3}$. Следовательно, $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ трансверсально $\boldsymbol{Q}$ в любой точке их пересечения. Пересечение остается трансверсальным и при возмущениях.

Пример 7 (рис. 22.7). Пусть $Q$ — многообразие, совпадающее с осью $x$ пространства $\mathbb{R}^{2}$, а отображение $\mathscr{F}$ многообразия $\mathscr{P}=\mathbb{R}^{1}$ в $\mathbb{R}^{2}$ задается формулой
\[
t \in \mathbb{R}^{1} \xrightarrow{\mathscr{F}}(t, t) \in \mathbb{R}^{2} .
\]

Қасательный вектор к $Q$ направлен вдоль оси $x$. В касательном пространстве к $\mathscr{F}\left(\mathbb{R}^{1}\right)$ в точке пересечения $(0,0)$ можно взять базисный вектор $(1,1)$. Эти два вектора порождают $R^{2}$, так что отображение $\mathscr{F}$ трансверсально оси $x$.

Пример 8 (рис. 22.8). Пусть $Q$ — ось $x$ в пространстве $\mathbb{R}^{2}$, а $\mathscr{P}=\mathbb{R}^{1}$. Определим отображение посредством выражения
\[
t \in \mathbb{R}^{1} \rightarrow\left(\mathscr{F}_{1}(t), \mathscr{F}_{2}(t)\right)=\left(t+1,(t-1)^{4}\right) \in \mathbb{R}^{2},
\]

В этом случае имеется лишь одна точка контакта, а именно $x^{0}=(2,0)$.
В касательном пространстве $Q$ в точке $(2,0)$ можно взять базисный

Глава 22
Рис. 22.8. Кривая $\mathscr{F}(\mathscr{P})(a)$ не трансверсальна оси $x$. Имеется точка двойного касания. Возмущенная кривая может пересекать ось $x$ трансверсально в четырех точках, в двух точках $(8,2)$ или совсем не пересекать (б).

Рис. 22.9. Кривая $\mathscr{F}(\mathscr{P})=\left(t^{3}, t^{3}\right)$ пересекает ось $x$ в начале координат, но это пересечение не трансверсальное, так как касательный вектор (вектор скорости) $\left(3 t^{2}, 3 t^{2}\right)$ становится нулевым.

вектор $(1,0)$. Қасательное пространство к $\mathscr{F} R^{1}$ в точке $x^{0}$ имеет касательный вектор
\[
\left.\frac{d}{d t}\left(\mathscr{F}_{1}(t), \mathscr{F}_{2}(t)\right)\right|_{t=1}=\left.\left(1,4(t-1)^{3}\right)\right|_{t=1}=(1,0) .
\]

Эти два вектора параллельны, следовательно, они не могут породить пространство $\mathbb{R}^{2}$ в рассматриваемой точке $(2,0)$. На рис. $22.8,6-2$ показано, какие последствия при трансверсальном пересечении может иметь небольшое возмущение отображения $\mathscr{F}$.

Пример 9 (рис. 22.9). Пусть $Q$ есть ось $x$ в пространстве $\mathbb{R}^{2}, \mathscr{P}=\mathbf{R}^{1}$, а отображение $\mathscr{F}$ задается следующим образом:
\[
t \in \mathrm{R}^{1} \xrightarrow{\mathscr{F}}\left(\mathscr{F}_{1}(t), \mathscr{F}_{2}(t)\right)=\left(t^{3}, t^{3}\right) \in \mathrm{R}^{2} .
\]

Қасательный вектор к многообразию $\mathscr{F}\left(\mathbf{R}^{1}\right)$ в единственной точке его пересечения с многообразием $\boldsymbol{Q}$ равен
\[
\left.\frac{d}{d t}\left(t^{3}, t^{3}\right)\right|_{t=0}=\left.\left(3 t^{2}, 3 t^{2}\right)\right|_{t=0}=(0,0) .
\]

Следовательно, отображение $\mathscr{F}$ не трансверсально $\boldsymbol{Q}$.
Пример 10. Пусть $\boldsymbol{Q}$ есть $q$-мерное многообразие, вложенное в $\mathbf{R}^{N}$, а $\mathscr{P}$ $p$-мерное многообразие. Тогда отображение $\mathscr{F}$ задается посредством
\[
\mathscr{F}(\mathscr{F}) \rightarrow \mathbb{R}^{N}:\left(\mathscr{F}_{1}\left(y_{1}, \ldots, y_{p}\right) \mathscr{F}_{2}\left(y_{1}, \ldots, y_{p}\right), \ldots, \mathscr{F}_{N}\left(y_{1}, \ldots, y_{p}\right)\right) .
\]

Если $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ и $Q$ пересекаются в точке $x^{0} \in \mathbb{R}^{N}\left[\mathscr{F}\left(y^{0}\right)=x^{0}\right]$, то касательное пространство к $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ в точке $x^{0}$ порождается $p$ векторами
\[
\begin{aligned}
v_{1} & =\left(\frac{\partial \mathscr{F}_{1}}{\partial y_{1}}, \ldots, \frac{\partial \mathscr{F}_{N}}{\partial y_{1}}\right), \\
& \cdot \\
& \cdot \\
v_{p} & =\left(\frac{\partial \mathscr{F}_{1}}{\partial y_{p}}, \ldots, \frac{\partial \mathscr{F}_{N}}{\partial y_{p}}\right) .
\end{aligned}
\]
$q$-мерное касательное пространство к $Q$ в точке $x^{0}$ порождается при помощи набора из $q$ векторов $u_{1}, \ldots, u_{q}$ :
\[
\begin{array}{l}
u_{1}=\left(u_{11}, u_{12}, \ldots, u_{1 N}\right), \\
u_{q}=\left(u_{q 1}, u_{q 2}, \ldots, u_{q N}\right) .
\end{array}
\]

Векторы $v_{1}, \ldots, v_{p}, u_{1}, \ldots, u_{q}$ порождают пространство $\mathbf{R}^{N}$ в точке $x^{0}$, если $(p+q) \times N-$ матрица, первые $о$ строк которой задаются $(22.1 \mathrm{v})$, а $q$ последних строк (22.1u) содержат невырожденную квадратную подматрицу порядка $N$. Очевидно, если $p+q<N$, это невозможно.

Перечислим основные следствия понятия «отображение трансверсально многообразию»:
— если $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ трансверсально $Q$ в $\mathbb{R}^{N}$, то:
а. если $p+q<N$, то $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ и $\mathscr{Q}$ вообще не должны пересекаться.
b. если $p+q \geqslant N$, то $\mathscr{F}(\mathscr{F})$ и $Q$ должны либо вообще не пересекаться либо пересекаться по некоторому многообразию размерности $p+q-N \geqslant 0$;
— если $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ трансверсально $\mathcal{Q}$ и отображение $\mathscr{F}$ подвергается возмущению, в результате которого получается отображение $\mathscr{F}^{\prime}$, то $\mathscr{F}^{\prime}(\mathscr{P})$ трансверсально $\mathcal{Q}$. Если $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ и $\mathcal{Q}$ не пересекаются, то $\mathscr{F}^{\prime}(\mathscr{P})$ и $Q$ также не пересекаются. Если $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ и $Q$ пересекаются трансверсально в многообразии $\mathscr{M}$, то $\mathscr{F}^{\prime}(\mathscr{P})$ и $\mathcal{Q}^{\prime}$ пересекаются трансверсально в многообразии $\mathscr{M}^{\prime}$, которое является возмущением $\mathscr{M}$;

— множество отображений $\mathscr{F}: \mathscr{P} \rightarrow \mathbb{R}^{N}$, которые трансверсальны многообразию $Q$, всюду плотно в множестве всех отображений многообразия $\mathscr{P}$ в $\mathbb{R}^{N}$. Это означает, что любое отображение $\mathscr{F}: \mathscr{P} \rightarrow \mathbb{R}^{N}$ (трансверсальное $\mathcal{Q}$ или нет) может быть с произвольной точностью аппроксимировано трансверсальными отображениями.
1.3. Отображение трансверсально
другому отображению
Если $\mathscr{F}$ отображает $p$-многообразие $\mathscr{P}$ в $\mathbb{R}^{N}$, а $\mathscr{G}$ отображает $q$-многообразие $Q$ в $\mathbb{R}^{N}$, то возникает вопрос, является или нет отображение $\mathscr{F}$ трансверсальным отображению $\mathscr{G}$. Это обсуждение в основном следует направлениям, указанным в разд. 1.2., приводя к аналогичным заключениям. Поэтому мы не будем его здесь приводить.
$\diamond \diamond \diamond$ Использование понятия трансверсальности, особенно трансверсальности отображения и многообразия (разд. 1.2), приводит к наиболее важным результатам, когда в качестве евклидова пространства $\mathbb{R}^{N}$ берется пространство $k$-струй $j^{k} f \simeq \mathbb{R}^{D}$.