Многие автономные (т. е не зависящие от времени) системы нелинейных дифференциальных уравнений можно записать как градиентные системы. Однако для расширенного класса динамических систем так поступить нельзя, так как уравнения движения должны явно включать компоненты действующей силы $F_{i}(x ; c)$, которые в общем случае вовсе не связаны ни с каким потенциалом:
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=F_{i}(x ; c) .
\]

Поскольку эта система уравнений имеет более общий вид, чем соответствующая градиентная система (где $F=-
abla V$ ), поведение такой системы может быть гораздо более разнообразным.

Градиентные системы по своей сути гораздо легче поддаются анализу, чем динамические системы, поэтому имеет смысл ввести некий критерий, согласно которому некоторая динамическая система действительно является градиентной. Для градиентной системы
\[
F_{i}=-\frac{\partial V}{\partial x_{i}},
\]

и, следовательно,
\[
F_{i j}=\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}=-\frac{\partial^{2} V}{\partial x_{j} \partial x_{i}}=-\frac{\partial^{2} V}{\partial x_{i} \partial x_{j}}=\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{i}}=F_{i i} .
\]

Таким образом, для градиентных систем обобщенный вихрь поля $F$, определяемый как $-
abla V$, равен нулю:
\[
(\operatorname{rot} F)_{i j}=\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{i}}-\frac{\partial F_{i}}{\partial \dot{x}_{i}}=0 .
\]

И наоборот, если все $n(n-1) / 2$ независимых компонент $\operatorname{rot} P$ динамической системы обращаются в нуль, то эта система является градиентной.
Пример 1. Динамическая система
\[
\frac{d x}{d t}=2 x y, \quad \frac{d y}{d t}=\mu x^{2}-y^{2}
\]

является градиентной тогда и только тогда, когда $\mu=1$, поскольку
\[
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial}{\partial y}(2 x y) & \stackrel{?}{=} \frac{\partial}{\partial x}\left(\mu x^{2}-y^{2}\right) \\
\| & & \| \\
2 x & \stackrel{?}{=} & 2 \mu x
\end{array}
\]

При $\mu=1$ соответствующая потенциальная функция является ростком катастрофы $D_{4}:-V(x, y)=x^{2} y-\frac{1}{3} y^{3}$.