2.1. Линейные члены

Рассмотрим критические точки гладкой функции $f$ от $n$ переменных и покажем, что эти точки изолированы.

Если вычислить $p$-струю функции $f$ в соответствии с формулой $(21.2)$, то $D=(n+p)!/n!$ ее координат $f\left(x^0\right),f_i\left(x^0\right)$, $f_{ij}\left(x^0\right),\dots ,f_{ij}\dots p\left(x^0\right)$ являются функциями точки $x^0\in {\mathbb{R}}^N$, в которой проведено разложение в ряд Тейлора. Таким образом, $D$ координат, зависящих от $n$ переменных, дают параметрическое представление $n$-мерного многообразия в $R^D$. Другой, но эквивалентный путь — это задать отображение $j^{p}f:{\mathbb{R}}^N\to {\mathbb{R}}^D$ посредством $x^0\in {\mathbb{R}}^N\to j^{p}f\left(x^0\right)$ аналогично отображению $\mathcal{F}(\mathcal{P})$.

Критические точки функции $f$ встречаются, где $ablaf=0$, т. е. $f_1\left(x^0\right)=\dots =f_n\left(x^0\right)=0$. Поэтому критические точки $f$ встречаются лишь в подпространстве пространства ${\mathbb{R}}^D$, в котором все первые производные обращаются в нуль. Это линейное векторное подпространство имеет размерность $D-n$ и соответствует подмногообразию $Q$. Так как
$$\begin{array}{c}\dim (\mathcal{P}={\mathbb{R}}^n)+\dim (\mathcal{Q}={\mathbb{R}}^{D-n})⩾\dim (j^{p}f={\mathbb{R}}^D),\\ n+D-n⩾D,\end{array}$$

то многообразие $\mathcal{F}(\mathcal{P})=j^{p}f\left(x^0\right)$ пересекает многообразие $Q$ в ${\mathbb{R}}^D$ трансверсально по многообразию размерности $n+(D-$
$-n)-D=0$, т. е. по изолированным точкам. Это значит, что типичные критические точки функции $f(x)$ должны быть изолированными. Кроме того, в силу свойств трансверсальных отображений, если $f(x)$ подвергается небольшому возмущению, то критические точки смещаются лишь слегка, но пересечение становится уже трансверсальным. Следовательно, возмущение морсовской функции снова приводит к морсовской функции. И наконец, так как трансверсальные отображения всюду плотны, то любая функция $f:{\mathbb{R}}^N\to {\mathbb{R}}^1$ может быть аппроксимирована с любой точностью функцией, имеющей лишь изолированные критические точки.
2.2. Квадратичные члены

Рассмотрим встречаемость неморсовских критических точек в семействах функций $n$ переменных состояния и $k$ управляющих параметров. Покажем, что число собственных значений матрицы устойчивости, которые могут в общем случае вырождаться в рассматриваемой точке, критически зависит от $k$.

Қоординаты $f(x^0;c^0),f_i(x^0;c^0),f_{ij}(x^0;c^0),\dots$, которые присутствуют в формуле (21.1), являются в этом случае функциями $n+k$ переменных $(x^0;c^0)\in {\mathbb{R}}^N\otimes {\mathbb{R}}^k$. Используем $n$ степеней свободы в местонахождении критических точек так же, как это делалось в разд. 2.1. Это значит, что в критической точке ненулевые координаты (21.1) являются функциями $k$ управляющих Іараметров $c_{\alpha },\alpha =1,2,\dots ,k$. В частности, в любой критической точке $x^0$ элементы матрицы устойчивости $f_{ij}\left(c^0\right)$ являются функциями $k$ управляющих параметров. Поскольку лишь $n(n+1)/2$ элементов матрицы независимы [так как $f_{ij}=f_{ii}$ ], то множество
$$\mathcal{F}(k)=\{f_{11}\left(c^0\right),f_{i2}\left(c^0\right),\dots ,f_{nn}\left(c^0\right)\}$$

является параметрическим представлением $k$-мерного многосбразия в $R^{n(n+1)/2}$. Иначе говоря, квадратичные члены (21.2) в разложении (21.1) задают отображение $\mathcal{F}$ из пространства управляющих параметров $\mathcal{P}={\mathbb{R}}^k$ в пространство ${\mathbb{R}}^N={\mathbb{R}}^{n(n+1)/2}$.

Теперь рассмотрим подмножество точек ${\mathbb{R}}^{n(n+1)/2}$, в которых $\det f_{ij}=0$. Так как $f_{ij}$ — вещественная симметрическая матрица, то det $f_{ij}=0$ только тогда, когда по крайней мере одно собственное значение равно нулю. Если обозначить через $V_l$ множество точек из ${\mathbb{R}}^{n(n+1)/2}$, в которых точно $l$ собственных значений матрицы устойчивости равны нулю, то $V_l$ будет определять некоторое многообразие размерности
$$\dim V_l=\frac{n(n+1)-l(l+1)}{2}.$$

Чтобы сделать последнее утверждение о размерности более прозрачным, напомним, что вещественная симметрическая матрица может быть приведена к диагональному виду посредством вещественного ортогонального прєобразования, так что

Здесь предполагается, что в точности $l$ собственных значений $f_{ij}$ равны нулю. Диагональная $(n-l)\times (n-l)$-подматрица $\mathrm{\Delta }$ определяется $n-l$ параметрами. Это уравнение можно обратить, используя следующие соотношения:
$$\begin{array}{c}O=\left[\begin{array}{ll}A& B\\ C& D\end{array}\right]\\ f_{ij}=\left[\begin{array}{ll}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}0& 0\\ 0& \mathrm{\Delta }\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}{A}^t& C^t\\ B^t& D^t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}B\mathrm{\Delta }{B}^t& B\mathrm{\Delta }{D}^t\\ D\mathrm{\Delta }{B}^t& D\mathrm{\Delta }{D}^t\end{array}\right].\end{array}$$

Любая вещественная ортогональная квадратная матрица порядка $n$ определяется $n(n-1)/2$ вещественными числами [группа ортогональных преобразований $O(n)$ имеет размерность $n(n-1)/2]$. Независимые параметры, характеризующие матрицу $O$, могут быть взяты такими же, как и элементы матрицы, лежащие выше главной диагонали. В этом случае подматрица $B$ имеет размерность $l(n-l)$, а подматрицы $A$ и $D$ размерности $l(l-1)/2$ и $(n-l)(n-l-1)/2$ соответственно; подматрица $C$ становится постоянной, как только заданы матрицы $A,B$ и $D$. Қвадратная матрица $f_{ij}$ порядка $n$ в (22.5) определяется подматрицами $B,D,\mathrm{\Delta }$; поэтому
$$\begin{array}{rl}\dim f_{ij}& =\dim B+\dim D+\dim \mathrm{\Delta }=\\ & =l(n-l)+\frac{(n-l)(n-l-1)}{2}+(n-l)=\\ & =\frac{n(n+1)-l(l+1)}{2}.\end{array}$$

Теперь можно определить типичные (наследственные) условия для $k$-параметрического семейства функций, при которых обращаются в нуль $l$ собственных значений матрицы устойчивости. Для этого используем результаты трансверсальности стображений (разд. 1), предполагая, что
$$\begin{array}{l}\mathcal{P}={\mathbb{R}}^k,\\ \mathcal{F}(\mathcal{P}),\\ Q=V_l,\\ {\mathbb{R}}^N={\mathbb{R}}^{n(n+1)/2}\end{array}$$
[пространство управляющих параметров
задано формулой (22.2)].

Тогда $l$ собственных значений матрицы $f_{ij}(c)$ обращаются в нуль, если $\mathcal{F}(\mathcal{P})$ хоть где-нибудь пересекает $V_l$. Это свойство является наследственным, если пересечение трансверсально. Но $\mathcal{F}(\mathcal{P})$ и $\mathcal{Q}$ пересекаются трансверсально в ${\mathbb{R}}^N$ только в случае, если
$$\begin{array}{rl}k+\frac{n(n+1)-l(l+1)}{2}& ⩾\frac{n(n+1)}{2},\\ k& ⩾\frac{l(l+1)}{2}.\end{array}$$

Рассмотрим несколько частных случаев.
$k=0$ (нет управляющих параметров). В этом случае местонахождение критической точки задает все элементы матрицы $f_{ij}$. Поэтому матрица устойчивости представляется точкой (нульмерным многообразием) в ${\mathbb{R}}^{n(n+1)/2}$. Қак было показано (пример 5 и рис. 22.5), точка не может пересечь трансверсально многообразие размерности меньше, чем $n(n+1)/2$ в ${\mathbb{R}}^{n(n+1)/2}$. Из свойств трансверсальных отображений следует, что функции с морсовскими критическими точками в $x^0$ всюду плотны в множестве всех функций с критической точкой в $x^0$. Кроме того, если функция $f$ случайно имеет неморсовскую критическую точку в $x^0$, то небольшое ее возмущение удаляет эту особенность.
$k=1$ (один управляющий параметр). В этом случае $\mathcal{F}(\mathcal{P})$ является одномерным многообразием в ${\mathbb{R}}^{n(n+1)/2}$. Такое многообразие может пересекать $V_1$ трансверсально лишь по многообразиям размерности
$$k-\frac{l(l+1)}{2}=1-1=0,$$
т. е. в изолированных точках (рис. 22.10 при $n=2$ ). Однако $\mathcal{F}(\mathcal{P})$ уже не может пересекать $V_2,V_3,\dots$ трансверсально. Если отображение $f$ возмущается, то кривая $\mathcal{F}(\mathcal{P})$ также деформируется, но пересечение остается трансверсальным вблизи исходных точек пересечения. Қак было показано в 1-параметрическом семействе функций, обращение в нуль одного собственного значения в изолированной точке является наследственным свойством ( $\mathcal{F}$ всюду плотно).
$k=2$ (два управляющих параметра). В этом случае $\mathcal{F}(\mathcal{P})$ является двумерным многообразием в ${\mathbb{R}}^{n(n+1)/2}$. Это многообразие может пересекать трансверсально $V_1$ по одномерному Рис. 22.10. При наличии всего лишь одного управляющего параметра $\mathcal{F}(\mathcal{P})$ представляет собой одномерную кривую.
При $n=2$ подмножество точек, в которых матрица устойнивости $f_{ij}$ особенна, имеет две компоненты. Это $V_1$ (в ней лищь одно собственное значение равно нулю) и верщина конуса $V_2$ (в ней обращаются в нуль оба собственных значения). ${\mathcal{F}}^{\mathcal{F}}(\mathcal{F}$ ) может пересекать трансверсально $V_1$ лишь в изолированных точках, поскольку $1+2-3=0$, но $\mathcal{F}(\mathcal{D})$ не может пересекать трансверсально $V_2$, так как $1+0-3<0$.

подмногообразию, однако по размерностным соображениям оно не может пересекать $V_2$ :
$$\begin{array}{l}\dim V_l+\dim \mathcal{F}(\mathcal{P})-\dim {\mathbb{R}}^{n(n+1)/2},\\ l=1:& \frac{n(n+1)}{2}-1+2-\frac{n(n+1)}{2}=1,\\ l=2:& \frac{n(n+1)}{2}-3+2-\frac{n(n+1)}{2}<0.\end{array}$$

Следовательно, в 2-параметрическом семействе функций лишь одно собственное значение может обращаться в нуль устойчиво, но не два.
$k=3$ (три управляющих параметра). В этом случае $\mathcal{F}(\mathcal{P})$ является трехмерным многообразием, которое может пересекать $V_1$ трансверсально в ${\mathbb{R}}^{n(n+1)/2}$ по двумерному подмногообразию, $V_2$ трансверсально по изолированным точкам и не может пересекать трансверсально $V_3$. Следовательно, в 3-параметрическом семействе функций два собственных значения обращаются в нуль устойчивым образом лишь в изолированных точках.
$k$ управляющих параметров. В этом случае $\mathcal{F}(\mathcal{P})$ имеет размерность $k$ в ${\mathbb{R}}^{n(n+1)/2}$ и возможность трансверсального пересечения с $V_l$ определяется разностью
$$k-\frac{l(l+1)}{2}.$$

Если эта разность больше или равна нулю, то $\mathcal{F}(\mathcal{P})$ и $V_l$ могут пересекаться трансверсально по многообразию этой размерности; если же эта разность меньше нуля, то эти два многообразия не могут пересекаться трансверсально. Қак следствие, получаем, что три собственных значения не могут устойчивым образом обращаться в нуль до тех пор, пока мы не дойдем до 6-параметри ческого семейства функций, а четыре собственных значения пока не достигнем 10-парамегрического семейства функций, ит.д.
2.3. Ростки с $l=1$

Рассмотрим качественные изменения свойств функций в неморсовских критических точках и покажем, что число членов разложения в ряд Тейлора, которые необходимо оставить помимо квадратичных членов, зависит как от размерности $k$ пространства управляющих параметров, так и от числа $l$ собственных значений, которые могут обрацаться в нуль в неморсовской критической точке.

Предположим, что функция $f(x;c)$, зависящая от $n$ переменных состояния и $k$ управляющих параметров, имеет критическую точку $x^0$ при $c=c^0$, в которой точно $l$ собственных значений матрицы устойчивости обращаются в нуль. Тогда, используя лемму расщепления, можем сделать гладкую замену координат и рассмотреть лишь интересующую нас неморсовскую функцию $f_{NM}$ от $l$ переменных ссстояния $y_1,\dots ,y_l$ и $k$ управляющих параметров. Эта функция $f_{NM}$ может быть разложена в ряд Тейлора по степеням $(y-y^0)(22.1)$. Так как $y^0$ — критическая точка, то все ее первые производные равны нулю. Когда $c=c^0$, то все ее вторые производные также обращаются в нуль. Поскольку критическое значение $f_{NM}$ в точке $(y^0;c^0)$ для нас не важно, то мы будем считать, что оно также равно нулю.

Следовательно, качественное изменение в поведении функции $f_{NM}(y;c)$ в окрестности точки $(y^0;c^0)\in {\mathbb{R}}^l\otimes {\mathbb{R}}^k$ определяется разложением типа (21.1), начинающимся с квадратичных членов. Определим теперь, сколько первых коэффициентов разложения в ряд Тейлора могут устойчиво обращаться в нуль в расе сматриваемом $k$-параметрическом семействе функций. Это можно сделать посредством построения $p$-струи функции $f$, имеющей размерность $D=(l+p)!/l!p!-l-1$, так как в критической точке $f_i\left(y^0\right)=0$ ( $l$ ограничений) и критическое значение $f\left(y^0\right)=$ $=0$ (1 ограничение). Следовательно, оставшиеся коэффициенты

$f_{ij}(c),f_{ijk}(c),\dots ,f_{ijk}\dots p(c)$ дают параметрическое представление некоторого $k$-мерного многообразия в ${\mathbb{R}}^D$.

В случае $l=1$ только одно собственное значение обращается в нуль, так что имеется лишь одна «плохая» переменная $y_1$, которую для удобства обозначим через $x$, и для удобства положим $x^0=0$. Аналогом формулы (21.1) является
$$j^p{f}_{NM}(x;c)=\frac{1}{2!}{f}_2(c)x^2+\frac{1}{3!}{f}_3(c)x^3+\dots +\frac{1}{p!}{f}_p(c)x^p.$$

Множество из $p-1$ коэффициентов
$$\mathcal{F}(\mathcal{P})=\{f_2(c),f_3(c),\dots ,f_p(c)\}$$

дает параметрическое представление некоторого $k$-мерного многообразия в ${\mathbb{R}}^D={\mathbb{R}}^{p-1}$. Определим линейные векторные подпространства $T_j$ в ${\mathbb{R}}^{p-1}$ следуюшим образом:
$$\begin{array}{rl}{T}_2& =\{0,f_3,f_4,\dots ,f_p\},\\ T_3& =\{0,0,f_4,\dots ,f_p\},\\ & \cdot \\ T_j& =\{0,0,\dots ,0,f_{j+1},\dots ,f_p\}.\end{array}$$

Тогда $\mathcal{F}(\mathcal{P})$ может пересекать $\mathcal{Q}=T_j$ трансверсально в пространстве ${\mathbb{R}}^N={\mathbb{R}}^{p-1}$, если
$$\begin{array}{c}\dim \mathcal{F}(\mathcal{P})+\dim T_j⩾\dim {\mathbb{R}}^{p-1},\\ k+(p-j)⩾p-1.\end{array}$$

Короче говоря, в 1-параметрическом семействе коэффициенты ряда Тейлора ( $f_0,f_1,)f_2,\dots ,f_{j=i+1}$ могут все обращаться в нуль устойчивым образом, а коэффициенты $f_2,\dots ,f_{j=k+2}$ уже не могут все обращаться в нуль устойчивым образом. В таком семействе наихудшее, что может случиться,-это то, что $f$ (если не принимать во внимание факториальные множители) будет иметь следующее представление в неморсовской критической точке:
$$f(x)=f_{k+2}{x}^{k+2}+f_{k+3}{x}^{k+3}+\dots .$$

В 1 -параметрическом семействе функций ведущий, отличный от нуля член разложения в ряд Тейлора имеет степень, меньшую или равную 3 ; в 2 -параметрическом — $x^4$ (или $x^3$, или $x^2$, или $x$ ) ит. д.
2.4. Ростки с $l=2$

В этом случае ровно два собственных значения обращаются в нуль. Если «плохие» переменные $y_1$ и $y_2$ обозначить соответственно через $x$ и $y[y_1=x$ и $y_2=y]$ и для удобства считать,
что критическая точка находится в начале координат, то без учета факториальных коэффициентов в качестве аналога формулы (21.1) получим
$$f(x,y;c)=f_{20}(c)x^2+f_{11}(c)xy+f_{02}(c)y^2+f_{30}(c)x^3+\dots$$

Произведя усечение ряда до членов $p$-й степени, имеем, начиная с квадратичных членов, $D=(p+2)(p+1)/2-3$ коэффициентов. Следовательно, множество
$$\mathcal{F}(\mathcal{P})=\{f_{20},f_{11},f_{02};f_{30},f_{21},\dots \}.$$

является многообразием размерности $k$ в ${\mathbb{R}}^D$. Если $k⩾3$, то все три квадратичных коэффициента могут обращаться в нуль устойчиво, так что ведущими членами будут кубические. В гл. 3 было показано, каким образом члены третьей степени и выше могут быть приведены к канонической форме, при условии что коэффициенты кубических членов не могут обратиться в нуль одновпеменно.
2.5. Ростки с $l=2,k⩾7$

В этом случае устойчиво может случаться следующее: коэффициенты трех квадратичных и четырех кубических членов разложения (22.16) одновременно обращаются в нуль. Тогда ведущими членами разложения в ряд Тейлора функции $f(x,y;c)$ в окрестности критической точки становятся члены четвертой степени, и наилучшее, что можно сделать, — это рассмотреть следующую каноническую форму, получаемую при помощи гладкой замены координат:
$$f(x,y;c)\doteq \pm x^{\prime 4}+a{x}^{\prime 2}{y}^2\pm y^{\prime 4},a^2-4eq0,$$

где $a$ не может быть задан равным $\pm 1,0$. Как уже было показано (гл.3), ростки с $l=2,k>6$ зависят от модулей.
2.6. Ростки с $l=3,k⩾6$

При $l=3$ разложение в ряд Тейлора функции $f(x,y,z;c)$ в окрестности критической точки имеет шесть квадратичных членов, десять кубических членов и т. д. Используя теперь уже стандартные рассуждения, мы получим, что все шесть квадратичных коэффициентов могут обращаться в нуль устойчиво в семействах с $k⩾6$. При $k=6$ десять оставшихся кубических членов могут быть приведены к канонической форме, которая зависит от одного модуля [ср. (3.49)].