2.1. Линейные члены

Рассмотрим критические точки гладкой функции $f$ от $n$ переменных и покажем, что эти точки изолированы.

Если вычислить $p$-струю функции $f$ в соответствии с формулой $(21.2)$, то $D=(n+p) ! / n !$ ее координат $f\left(x^{0}\right), f_{i}\left(x^{0}\right)$, $f_{i j}\left(x^{0}\right), \ldots, f_{i j} \ldots p\left(x^{0}\right)$ являются функциями точки $x^{0} \in \mathbb{R}^{N}$, в которой проведено разложение в ряд Тейлора. Таким образом, $D$ координат, зависящих от $n$ переменных, дают параметрическое представление $n$-мерного многообразия в $R^{D}$. Другой, но эквивалентный путь — это задать отображение $j^{p} f: \mathbb{R}^{N} \rightarrow \mathbb{R}^{D}$ посредством $x^{0} \in \mathbb{R}^{N} \rightarrow j^{p} f\left(x^{0}\right)$ аналогично отображению $\mathscr{F}(\mathscr{P})$.

Критические точки функции $f$ встречаются, где $
abla f=0$, т. е. $f_{1}\left(x^{0}\right)=\ldots=f_{n}\left(x^{0}\right)=0$. Поэтому критические точки $f$ встречаются лишь в подпространстве пространства $\mathbb{R}^{D}$, в котором все первые производные обращаются в нуль. Это линейное векторное подпространство имеет размерность $D-n$ и соответствует подмногообразию $Q$. Так как
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{dim}\left(\mathscr{P}=\mathbb{R}^{n}\right)+\operatorname{dim}\left(\mathscr{Q}=\mathbb{R}^{D-n}\right) \geqslant \operatorname{dim}\left(j^{p} f=\mathbb{R}^{D}\right), \\
n+D-n \geqslant D,
\end{array}
\]

то многообразие $\mathscr{F}(\mathscr{P})=j^{p} f\left(x^{0}\right)$ пересекает многообразие $Q$ в $\mathbb{R}^{D}$ трансверсально по многообразию размерности $n+(D-$
$-n)-D=0$, т. е. по изолированным точкам. Это значит, что типичные критические точки функции $f(x)$ должны быть изолированными. Кроме того, в силу свойств трансверсальных отображений, если $f(x)$ подвергается небольшому возмущению, то критические точки смещаются лишь слегка, но пересечение становится уже трансверсальным. Следовательно, возмущение морсовской функции снова приводит к морсовской функции. И наконец, так как трансверсальные отображения всюду плотны, то любая функция $f: \mathbb{R}^{N} \rightarrow \mathbb{R}^{1}$ может быть аппроксимирована с любой точностью функцией, имеющей лишь изолированные критические точки.
2.2. Квадратичные члены

Рассмотрим встречаемость неморсовских критических точек в семействах функций $n$ переменных состояния и $k$ управляющих параметров. Покажем, что число собственных значений матрицы устойчивости, которые могут в общем случае вырождаться в рассматриваемой точке, критически зависит от $k$.

Қоординаты $f\left(x^{0} ; c^{0}\right), f_{i}\left(x^{0} ; c^{0}\right), f_{i j}\left(x^{0} ; c^{0}\right), \ldots$, которые присутствуют в формуле (21.1), являются в этом случае функциями $n+k$ переменных $\left(x^{0} ; c^{0}\right) \in \mathbb{R}^{N} \otimes \mathbb{R}^{k}$. Используем $n$ степеней свободы в местонахождении критических точек так же, как это делалось в разд. 2.1. Это значит, что в критической точке ненулевые координаты (21.1) являются функциями $k$ управляющих Іараметров $c_{\alpha}, \alpha=1,2, \ldots, k$. В частности, в любой критической точке $x^{0}$ элементы матрицы устойчивости $f_{i j}\left(c^{0}\right)$ являются функциями $k$ управляющих параметров. Поскольку лишь $n(n+1) / 2$ элементов матрицы независимы [так как $f_{i j}=f_{i i}$ ], то множество
\[
\mathscr{F}(k)=\left\{f_{11}\left(c^{0}\right), f_{i 2}\left(c^{0}\right), \ldots, f_{n n}\left(c^{0}\right)\right\}
\]

является параметрическим представлением $k$-мерного многосбразия в $R^{n(n+1) / 2}$. Иначе говоря, квадратичные члены (21.2) в разложении (21.1) задают отображение $\mathscr{F}$ из пространства управляющих параметров $\mathscr{P}=\mathbb{R}^{k}$ в пространство $\mathbb{R}^{N}=\mathbb{R}^{n(n+1) / 2}$.

Теперь рассмотрим подмножество точек $\mathbb{R}^{n(n+1) / 2}$, в которых $\operatorname{det} f_{i j}=0$. Так как $f_{i j}$ — вещественная симметрическая матрица, то det $f_{i j}=0$ только тогда, когда по крайней мере одно собственное значение равно нулю. Если обозначить через $V_{l}$ множество точек из $\mathbb{R}^{n(n+1) / 2}$, в которых точно $l$ собственных значений матрицы устойчивости равны нулю, то $V_{l}$ будет определять некоторое многообразие размерности
\[
\operatorname{dim} V_{l}=\frac{n(n+1)-l(l+1)}{2} .
\]

Чтобы сделать последнее утверждение о размерности более прозрачным, напомним, что вещественная симметрическая матрица может быть приведена к диагональному виду посредством вещественного ортогонального прєобразования, так что

Здесь предполагается, что в точности $l$ собственных значений $f_{i j}$ равны нулю. Диагональная $(n-l) \times(n-l)$-подматрица $\Delta$ определяется $n-l$ параметрами. Это уравнение можно обратить, используя следующие соотношения:
\[
\begin{array}{c}
O=\left[\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right] \\
f_{i j}=\left[\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & \Delta
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
A^{t} & C^{t} \\
B^{t} & D^{t}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
B \Delta B^{t} & B \Delta D^{t} \\
D \Delta B^{t} & D \Delta D^{t}
\end{array}\right] .
\end{array}
\]

Любая вещественная ортогональная квадратная матрица порядка $n$ определяется $n(n-1) / 2$ вещественными числами [группа ортогональных преобразований $O(n)$ имеет размерность $n(n-1) / 2]$. Независимые параметры, характеризующие матрицу $O$, могут быть взяты такими же, как и элементы матрицы, лежащие выше главной диагонали. В этом случае подматрица $B$ имеет размерность $l(n-l)$, а подматрицы $A$ и $D$ размерности $l(l-1) / 2$ и $(n-l)(n-l-1) / 2$ соответственно; подматрица $C$ становится постоянной, как только заданы матрицы $A, B$ и $D$. Қвадратная матрица $f_{i j}$ порядка $n$ в (22.5) определяется подматрицами $B, D, \Delta$; поэтому
\[
\begin{aligned}
\operatorname{dim} f_{i j} & =\operatorname{dim} B+\operatorname{dim} D+\operatorname{dim} \Delta= \\
& =l(n-l)+\frac{(n-l)(n-l-1)}{2}+(n-l)= \\
& =\frac{n(n+1)-l(l+1)}{2} .
\end{aligned}
\]

Теперь можно определить типичные (наследственные) условия для $k$-параметрического семейства функций, при которых обращаются в нуль $l$ собственных значений матрицы устойчивости. Для этого используем результаты трансверсальности стображений (разд. 1), предполагая, что
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{P}=\mathbb{R}^{k}, \\
\mathscr{F}(\mathscr{P}), \\
Q=V_{l}, \\
\mathbb{R}^{N}=\mathbb{R}^{n(n+1) / 2}
\end{array}
\]
[пространство управляющих параметров
задано формулой (22.2)].

Тогда $l$ собственных значений матрицы $f_{i j}(c)$ обращаются в нуль, если $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ хоть где-нибудь пересекает $V_{l}$. Это свойство является наследственным, если пересечение трансверсально. Но $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ и $\mathcal{Q}$ пересекаются трансверсально в $\mathbb{R}^{N}$ только в случае, если
\[
\begin{aligned}
k+\frac{n(n+1)-l(l+1)}{2} & \geqslant \frac{n(n+1)}{2}, \\
k & \geqslant \frac{l(l+1)}{2} .
\end{aligned}
\]

Рассмотрим несколько частных случаев.
$k=0$ (нет управляющих параметров). В этом случае местонахождение критической точки задает все элементы матрицы $f_{i j}$. Поэтому матрица устойчивости представляется точкой (нульмерным многообразием) в $\mathbb{R}^{n(n+1) / 2}$. Қак было показано (пример 5 и рис. 22.5), точка не может пересечь трансверсально многообразие размерности меньше, чем $n(n+1) / 2$ в $\mathbb{R}^{n(n+1) / 2}$. Из свойств трансверсальных отображений следует, что функции с морсовскими критическими точками в $x^{0}$ всюду плотны в множестве всех функций с критической точкой в $x^{0}$. Кроме того, если функция $f$ случайно имеет неморсовскую критическую точку в $x^{0}$, то небольшое ее возмущение удаляет эту особенность.
$k=1$ (один управляющий параметр). В этом случае $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ является одномерным многообразием в $\mathbb{R}^{n(n+1) / 2}$. Такое многообразие может пересекать $V_{1}$ трансверсально лишь по многообразиям размерности
\[
k-\frac{l(l+1)}{2}=1-1=0,
\]
т. е. в изолированных точках (рис. 22.10 при $n=2$ ). Однако $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ уже не может пересекать $V_{2}, V_{3}, \ldots$ трансверсально. Если отображение $f$ возмущается, то кривая $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ также деформируется, но пересечение остается трансверсальным вблизи исходных точек пересечения. Қак было показано в 1-параметрическом семействе функций, обращение в нуль одного собственного значения в изолированной точке является наследственным свойством ( $\mathscr{F}$ всюду плотно).
$k=2$ (два управляющих параметра). В этом случае $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ является двумерным многообразием в $\mathbb{R}^{n(n+1) / 2}$. Это многообразие может пересекать трансверсально $V_{1}$ по одномерному Рис. 22.10. При наличии всего лишь одного управляющего параметра $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ представляет собой одномерную кривую.
При $n=2$ подмножество точек, в которых матрица устойнивости $f_{i j}$ особенна, имеет две компоненты. Это $V_{1}$ (в ней лищь одно собственное значение равно нулю) и верщина конуса $V_{2}$ (в ней обращаются в нуль оба собственных значения). $\mathcal{F}^{\mathcal{F}}(\mathscr{F}$ ) может пересекать трансверсально $V_{1}$ лишь в изолированных точках, поскольку $1+2-3=0$, но $\mathscr{F}(\mathscr{D})$ не может пересекать трансверсально $V_{2}$, так как $1+0-3<0$.

подмногообразию, однако по размерностным соображениям оно не может пересекать $V_{2}$ :
\[
\begin{array}{ll}
\quad \operatorname{dim} V_{l}+\operatorname{dim} \mathscr{F}(\mathscr{P})-\operatorname{dim} \mathbb{R}^{n(n+1) / 2}, \\
l=1: & \frac{n(n+1)}{2}-1+2-\frac{n(n+1)}{2}=1, \\
l=2: & \frac{n(n+1)}{2}-3+2-\frac{n(n+1)}{2}<0 .
\end{array}
\]

Следовательно, в 2-параметрическом семействе функций лишь одно собственное значение может обращаться в нуль устойчиво, но не два.
$k=3$ (три управляющих параметра). В этом случае $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ является трехмерным многообразием, которое может пересекать $V_{1}$ трансверсально в $\mathbb{R}^{n(n+1) / 2}$ по двумерному подмногообразию, $V_{2}$ трансверсально по изолированным точкам и не может пересекать трансверсально $V_{3}$. Следовательно, в 3-параметрическом семействе функций два собственных значения обращаются в нуль устойчивым образом лишь в изолированных точках.
$k$ управляющих параметров. В этом случае $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ имеет размерность $k$ в $\mathbb{R}^{n(n+1) / 2}$ и возможность трансверсального пересечения с $V_{l}$ определяется разностью
\[
k-\frac{l(l+1)}{2} .
\]

Если эта разность больше или равна нулю, то $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ и $V_{l}$ могут пересекаться трансверсально по многообразию этой размерности; если же эта разность меньше нуля, то эти два многообразия не могут пересекаться трансверсально. Қак следствие, получаем, что три собственных значения не могут устойчивым образом обращаться в нуль до тех пор, пока мы не дойдем до 6-параметри ческого семейства функций, а четыре собственных значения пока не достигнем 10-парамегрического семейства функций, ит.д.
2.3. Ростки с $l=1$

Рассмотрим качественные изменения свойств функций в неморсовских критических точках и покажем, что число членов разложения в ряд Тейлора, которые необходимо оставить помимо квадратичных членов, зависит как от размерности $k$ пространства управляющих параметров, так и от числа $l$ собственных значений, которые могут обрацаться в нуль в неморсовской критической точке.

Предположим, что функция $f(x ; c)$, зависящая от $n$ переменных состояния и $k$ управляющих параметров, имеет критическую точку $x^{0}$ при $c=c^{0}$, в которой точно $l$ собственных значений матрицы устойчивости обращаются в нуль. Тогда, используя лемму расщепления, можем сделать гладкую замену координат и рассмотреть лишь интересующую нас неморсовскую функцию $f_{N M}$ от $l$ переменных ссстояния $y_{1}, \ldots, y_{l}$ и $k$ управляющих параметров. Эта функция $f_{N M}$ может быть разложена в ряд Тейлора по степеням $\left(y-y^{0}\right)(22.1)$. Так как $y^{0}$ — критическая точка, то все ее первые производные равны нулю. Когда $c=c^{0}$, то все ее вторые производные также обращаются в нуль. Поскольку критическое значение $f_{N M}$ в точке $\left(y^{0} ; c^{0}\right)$ для нас не важно, то мы будем считать, что оно также равно нулю.

Следовательно, качественное изменение в поведении функции $f_{N M}(y ; c)$ в окрестности точки $\left(y^{0} ; c^{0}\right) \in \mathbb{R}^{l} \otimes \mathbb{R}^{k}$ определяется разложением типа (21.1), начинающимся с квадратичных членов. Определим теперь, сколько первых коэффициентов разложения в ряд Тейлора могут устойчиво обращаться в нуль в расе сматриваемом $k$-параметрическом семействе функций. Это можно сделать посредством построения $p$-струи функции $f$, имеющей размерность $D=(l+p) ! / l ! p !-l-1$, так как в критической точке $f_{i}\left(y^{0}\right)=0$ ( $l$ ограничений) и критическое значение $f\left(y^{0}\right)=$ $=0$ (1 ограничение). Следовательно, оставшиеся коэффициенты

$f_{i j}(c), f_{i j k}(c), \ldots, f_{i j k} \ldots p(c)$ дают параметрическое представление некоторого $k$-мерного многообразия в $\mathbb{R}^{D}$.

В случае $l=1$ только одно собственное значение обращается в нуль, так что имеется лишь одна «плохая» переменная $y_{1}$, которую для удобства обозначим через $x$, и для удобства положим $x^{0}=0$. Аналогом формулы (21.1) является
\[
j^{p} f_{N M}(x ; c)=\frac{1}{2 !} f_{2}(c) x^{2}+\frac{1}{3 !} f_{3}(c) x^{3}+\ldots+\frac{1}{p !} f_{p}(c) x^{p} .
\]

Множество из $p-1$ коэффициентов
\[
\mathscr{F}(\mathscr{P})=\left\{f_{2}(c), f_{3}(c), \ldots, f_{p}(c)\right\}
\]

дает параметрическое представление некоторого $k$-мерного многообразия в $\mathbb{R}^{D}=\mathbb{R}^{p-1}$. Определим линейные векторные подпространства $T_{j}$ в $\mathbb{R}^{p-1}$ следуюшим образом:
\[
\begin{aligned}
T_{2} & =\left\{0, f_{3}, f_{4}, \ldots, f_{p}\right\}, \\
T_{3} & =\left\{0,0, f_{4}, \ldots, f_{p}\right\}, \\
& \cdot \\
T_{j} & =\left\{0,0, \ldots, 0, f_{j+1}, \ldots, f_{p}\right\} .
\end{aligned}
\]

Тогда $\mathscr{F}(\mathscr{P})$ может пересекать $\mathcal{Q}=T_{j}$ трансверсально в пространстве $\mathbb{R}^{N}=\mathbb{R}^{p-1}$, если
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{dim} \mathscr{F}(\mathscr{P})+\operatorname{dim} T_{j} \geqslant \operatorname{dim} \mathbb{R}^{p-1}, \\
k+(p-j) \geqslant p-1 .
\end{array}
\]

Короче говоря, в 1-параметрическом семействе коэффициенты ряда Тейлора ( $\left.f_{0}, f_{1},\right) f_{2}, \ldots, f_{j=i+1}$ могут все обращаться в нуль устойчивым образом, а коэффициенты $f_{2}, \ldots, f_{j=k+2}$ уже не могут все обращаться в нуль устойчивым образом. В таком семействе наихудшее, что может случиться,-это то, что $f$ (если не принимать во внимание факториальные множители) будет иметь следующее представление в неморсовской критической точке:
\[
f(x)=f_{k+2} x^{k+2}+f_{k+3} x^{k+3}+\ldots .
\]

В 1 -параметрическом семействе функций ведущий, отличный от нуля член разложения в ряд Тейлора имеет степень, меньшую или равную 3 ; в 2 -параметрическом — $x^{4}$ (или $x^{3}$, или $x^{2}$, или $x$ ) ит. д.
2.4. Ростки с $l=2$

В этом случае ровно два собственных значения обращаются в нуль. Если «плохие» переменные $y_{1}$ и $y_{2}$ обозначить соответственно через $x$ и $y\left[y_{1}=x\right.$ и $\left.y_{2}=y\right]$ и для удобства считать,
что критическая точка находится в начале координат, то без учета факториальных коэффициентов в качестве аналога формулы (21.1) получим
\[
f(x, y ; c)=f_{20}(c) x^{2}+f_{11}(c) x y+f_{02}(c) y^{2}+f_{30}(c) x^{3}+\ldots
\]

Произведя усечение ряда до членов $p$-й степени, имеем, начиная с квадратичных членов, $D=(p+2)(p+1) / 2-3$ коэффициентов. Следовательно, множество
\[
\mathscr{F}(\mathscr{P})=\left\{f_{20}, f_{11}, f_{02} ; f_{30}, f_{21}, \ldots\right\} .
\]

является многообразием размерности $k$ в $\mathbb{R}^{D}$. Если $k \geqslant 3$, то все три квадратичных коэффициента могут обращаться в нуль устойчиво, так что ведущими членами будут кубические. В гл. 3 было показано, каким образом члены третьей степени и выше могут быть приведены к канонической форме, при условии что коэффициенты кубических членов не могут обратиться в нуль одновпеменно.
2.5. Ростки с $l=2, k \geqslant 7$

В этом случае устойчиво может случаться следующее: коэффициенты трех квадратичных и четырех кубических членов разложения (22.16) одновременно обращаются в нуль. Тогда ведущими членами разложения в ряд Тейлора функции $f(x, y ; c)$ в окрестности критической точки становятся члены четвертой степени, и наилучшее, что можно сделать, — это рассмотреть следующую каноническую форму, получаемую при помощи гладкой замены координат:
\[
f(x, y ; c) \doteq \pm x^{\prime 4}+a x^{\prime 2} y^{2} \pm y^{\prime 4}, \quad a^{2}-4
eq 0,
\]

где $a$ не может быть задан равным $\pm 1,0$. Как уже было показано (гл.3), ростки с $l=2, k>6$ зависят от модулей.
2.6. Ростки с $l=3, k \geqslant 6$

При $l=3$ разложение в ряд Тейлора функции $f(x, y, z ; c)$ в окрестности критической точки имеет шесть квадратичных членов, десять кубических членов и т. д. Используя теперь уже стандартные рассуждения, мы получим, что все шесть квадратичных коэффициентов могут обращаться в нуль устойчиво в семействах с $k \geqslant 6$. При $k=6$ десять оставшихся кубических членов могут быть приведены к канонической форме, которая зависит от одного модуля [ср. (3.49)].