При слабом подогревании слоя жидкости снизу (рис. 20.22,a) тепло переносится от нижней поверхности к верхней в результате теплопроводности, причем перенос тепла не сопровождается движением жидкости. При увеличении градиента температуры тепло уже не может достаточно быстро переноситься за счет одной лишь теплопроводности и «на помощь приходит» сама жидкость, т. е. более нагретые слои жидкости начинают перемещаться по направлению к верхней поверхности, а более холодные слои – с верхней поверхности по направлению к нижней. В результате устанавливается упорядоченное циркуляционное движение жидкости (рис. 20.22,б). При дальнейшем увеличении градиента температуры возникает хаос (рис. 20.22, в).

Рис. 20.22.
$a$ – при слабом подогреве перенос тепла осуществляется теплопроводностью; 6 – при умеренном подогреве тепло переносится в результате упорядоченного конвективного циркуляционного движения; в-при интенсивном подогреве движение жидкости носит хаотический характер.

Уравнения, описывающие движение нагреваемой жидкости (рис. 20.22), имеют вид
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial u_{i}}{\partial t}+u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} & =g \varepsilon \Delta T \delta_{i 3}-\frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial x_{i}}+v
abla^{2} u_{i}, \\
\frac{\partial T}{\partial t}+u_{j} \frac{\partial T}{\partial x_{j}} & =x
abla^{2} T, \\
\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{i}} & =0,
\end{aligned}
\]

где $x_{i}$ есть $i$-я пространственная координата, $u_{i}$ – $i$-я составляющая поля скоростей, $g$ – ускорение силы тяжести, $\varepsilon$ – коэффициент теплового расширения жидкости, $\Delta T / H$ – градиент внешнего температурного поля, $\rho$-плотность жидкости, $T$ – поле температуры в жидкости, $P$ – поле давления в жидкости, $v-$ коэффициент кинематической вязкости, $x$ – коэффициент теплопроводности, $t$ – время.

Исследование этих сложных уравнений может быть выполнено при помощи стандартного метода. Сначала делаются соответствующие физические предположения и проводится аппроксимация с целью максимального упрощения указанных уравнений. В частности, определяются характерные масштабы и осуществляется переход к безразмерным переменным. Затем поле температуры и поле скоростей представляются в виде рядов Фурье с учетом необходимых граничных условий (например, в случае, когда жидкость заключена внутри прямоугольного параллелепипеда). Следующий шаг предусматривает замену произведения тригонометрических функций их суммой при помощи обычных тригонометрических тождеств. Наконец, на основе линейной независимости тригонометрических коэффициентов устанавливается связь между производными по времени от коэффициентов Фурье с нелинейными функциями этих коэффициентов. Короче говоря, весьма трудная задача заменяется другой, не менее трудной задачей.

Возможен и иной подход, который заключается в том, что сначала вводят граничные условия и на основании интуитивных физических соображений предполагают, что движение жидкости происходит в плоскости. Это позволяет существенно упростить систему (20.39):
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial t}
abla^{2} \psi & =-\frac{\partial\left(\psi
abla^{2} \psi\right)}{\partial(x, z)}+v
abla^{4} \psi+g \varepsilon \frac{\partial \theta}{\partial x}, \\
\frac{\partial}{\partial t} \theta & =-\frac{\partial(\psi, \theta)}{\partial(x, z)}+\frac{\Delta T}{H} \frac{\partial \psi}{\partial x}+x
abla^{2} \theta,
\end{aligned}
\]

где $\psi$ – функция тока $(u=
abla \psi)$ и $\theta=T(x, z, t)-T_{\mathrm{cp}}$, причем между нижней и верхней поверхностями происходит уменьше-
$7^{\text {\” }}$

ние $T_{\mathrm{cp}}$ на величину $\Delta T$ по линейному закону. Предполагается, что все движение осуществляется в плоскости $x z, y=$ const. Упрощенные уравнения (20.40) можно исследовать описанным выше методом. Қак и прежде, в результате приходим к тому, что весьма трудная задача исследования системы дифференциальных уравнений заменяется не менее трудной алгебраической задачей. Численное исследование системы связанных нелинейных уравнений, которые получаются при таком подходе из (20.40), показывает [6], что независимо от начальных условий все коэффициенты Фурье, связанные с разложениями $\theta$ и $\psi$, кроме трех из них, быстро стремятся к нулю. Стремление или нестремление к нулю трех ключевых коэффициентов Фурье зависит от величины безразмерного параметра
\[
R_{a}=g \varepsilon H^{4} \frac{\Delta T / H}{x v},
\]

называемого числом Рэлея ${ }^{1)}$. Эта бифуркация возникает при критическом значении
\[
R_{c}=\pi^{4}\left(1+a^{2}\right)^{3} a^{-2},
\]

где $a=H / l_{x}$ и $l_{x}$ – ширина контейнера, содержащего жидкость.
Математические операции, связанные с алгебраическими преобразованиями и усечением, обычно некоммутативны. Однако в случае системы (20.40) численные расчеты свидетельствуют о том, что эти операции оказываются коммутативными, по крайней мере в рассмотренном диапазоне изменения параметров. Такие результаты навели Лоренца на мысль, что, по-видимому, более удобно ввести упрощающие предположения до проведения алгебраических преобразований. Поэтому он сделал предположение, согласно которому структура функции тока и разности температур имеет следующий вид:
\[
\begin{aligned}
\frac{a}{x\left(1+a^{2}\right)} \psi & =\sqrt{2} X \sin \frac{\pi x}{l_{x}} \sin \frac{\pi z}{H}, \\
\pi \frac{R_{a}}{R_{c}} \frac{\theta}{\Delta T} & =\sqrt{2} Y \cos \frac{\pi x}{l_{x}} \sin \frac{\pi z}{H}-Z \sin \frac{2 \pi z}{H} .
\end{aligned}
\]

Теперь для определения нелинейных уравнений, связывающих три коэффициента Фурье, достаточно провести алгебраические выкладки. В результате имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d \tau} X=-\sigma X+\sigma Y, \\
\frac{d}{d \tau} Y=r X-Y-X Z, \\
\frac{d}{d \tau} Z=-b Z+X Y,
\end{array}
\]
1) Рэлей первым изучал бифуркацию зависящих от времени решений от не зависящих от времени решений (20.39).

где ( $\sigma-$ число Прандтля)
\[
\begin{aligned}
\tau & =\left(\frac{\pi}{H}\right)^{2}\left(1+a^{2}\right) x t, \\
\sigma & =\frac{v}{x}, \\
r & =\frac{R_{a}}{R_{c}}, \quad b=\frac{4}{\left(1+a^{2}\right)} \leqslant 4 .
\end{aligned}
\]

Уравнения (20.43) представляют собой не что иное, как уравнения Лоренца, а из сказанного выше ясно, почему они привлекли внимание исследователей и каким образом они были первоначально получены.

Может возникнуть серьезное опасение, что грубое предположение, которым является (20.42), приведет лишь к «искажению» нелинейного уравнения (20.40). Численные расчеты показали, однако, что это не так. Причина того, что это не так, пока остается неясной, хотя теорема о центральном многообразии (разд. 7) проливает свет на этот вопрос.