По существу, теория бифуркаций изучает вопрос о том, каким образом новые решения уравнения или системы уравнений «ответвляются» от некоторого известного решения при изменении параметра. Важный класс бифуркационных задач возникает при поиске стационарных значений функции. По этой причине можно ожидать, что между такими задачами и элементарной теорией катастроф существует тесная связь. Более того, можно сказать, что теория бифуркаций, изучающая новые, качественно отличающиеся решения систем уравнений, целиком укладывается в рамки теории катастроф.

Для большей конкретности рассмотрим потенциальную функцию $V(x ; s) n$ фазовых координат $x \in \mathbb{R}^{n}$ и одного управляющего параметра $s \in \mathbb{R}^{1}$. Будем предполагать, что $V(x ; s)$ имеет критическую точку в $x=0 \in \mathbb{R}^{n}$ при всех $s$. Тогда разложение $V(x ; s)$ в ряд Тейлора в окрестности этой критической точки имеет вид
\[
V(x ; s)=V(s)+x^{i} V_{i}(s)+\frac{1}{2 !} x^{i} x^{j} V_{i j}(s)+\ldots .
\]
(Қак и ранее, все производные вычисляются в критической точке, постоянный член не играет роли и $V_{i}(s)=0$.) Критические точки остаются изолированными до тех пор, пока $\operatorname{det} V_{i j}(s)
eq$ $
eq 0$. Когда матрица устойчивости вырождается, к первоначальной ветви добавляется новая ветвь решений уравнения $
abla V=0$. Эта ветвь может ответвляться от начальной ветви, ибо начальная ветвь может «развернуться» (в последнем случае $x(s)=0$ не может быть критической точкой при всех $s$ ). Обе эти возможности уже обсуждались в предыдущем разделе.

Направление ответвления, новое решение, легко определяется из (18.34): это будет направление, в котором возмущение не изменяет значение потенциала во втором порядке: $\delta x^{i} \delta x^{i} V_{i j}=$ $=\delta x^{i}\left(V_{i j} \delta x^{i}\right)=0$.

Таким образом, начальное направление нового ответвляющегося решения определяется собственными векторами матрицы

Рис. 18.12. Простые кривые в плоскости управляющих параметров катастрофы сборки, будучи перенесены на критическое многообразие, порождают довольно странные решения.
Здесь $s$ параметризует расстояние вдоль кривой в плоскости управляющих параметров.

устойчивости, соответствующими нулевым собственным значениям. На практике наиболее часто встречаются бифуркации, соответствующие «трезубцу» (симметричному поперечному сечению катастрофы сборки, рис. 10.2). На самом деле пример, обсуждавшийся в разд. 5 , соответствует ряду изолирөванных бифуркаций этого типа (плюс «развороты»).

При изменении параметра $s$ число решений уравнения $
abla V(x ; s)=0$ может измениться. Если к ветви $x(s)=0$ присоединяются новые решения, их можно исследовать с помощью алгоритма прогонки, описанного в предыдущем разделе. Если, однако, множество всех решений состоит из двух или более не связанных между собой компонентов, то алгоритм прогонки, начинаюшийся с магистрали $x(s)=0$, уже не годится для построения несвязного множөства всех решений.

Однако известно, что число решений уравнения $
abla V(x ; s)=$ $=0$ изменяется из-за наличия катастрофы. По этой причине целесообразно рассматривать общую бифуркационную задачу

Рис. 18.13. Разные кривые в плоскости управляющих параметров приводят к совершенно различным множествам решений.
Из различных кривых в плоскости управляющих параметров катастрофы сборки можно получить не более 53 различных неприводимых множеств решений [1].

Рис. 18.14.
$a$ – это множество решений можно получить для катастрофы сборки; 6 – это множество решений получить нельзя, поскольку в данном случае необходимо, чтобы катастрофа обладала по меньшей мере пятью критическими точками, т. е. в этом случае катастрофа $A_{0}$ является простейшей.

как задачу построения множества решений уравнения
\[

abla V(x ; c)=0, \quad x \in \mathbb{R}^{n}, \quad c \in \mathbb{R}^{k},
\]

для некоторой одномерной кривой
\[
c(s)=\left(c_{1}(s), c_{2}(s), \ldots, c_{k}(s)\right) \in \mathbb{R}^{k} .
\]

Хотя в пространстве управляющих параметров может быть много различных кривых, поведение $V(x ; c)$ в любой точке $c \in \mathbb{R}^{k}$ является каноническим и известным для элементарных катастроф. Если, например, потенциальная функция имеет критическую точку сборки, то в окрестности этой точки
\[
V \doteq \frac{x^{4}}{4}+\frac{a x^{2}}{2}+b x .
\]

Таким образом, общая бифуркационная задача сводится к задаче отыскания множества решений уравнения $
abla V=0$ для любого пути $a(s), b(s)$ в пространстве управляющих параметров, зависящего от единственного управляющего параметра (длина дуги). Множество решений есть просто пересечение многообразия катастрофы сборки $
abla V=0$ с двумерной линейчатой поверхностью $(x, a(s), b(s))$, точки которой параметризуются координатами $x$, s. В результате получаем одномерное множество решений (рис. 18.12). Другие пути дают другие множества решений (рис. 18.13).
$\diamond \diamond \diamond$ Неодносвязное множество решений, изображенное на рис. $18.14, a$, можно связать с катастрофой $A_{+3}$, а множество, показанное на рис. $18.14, \sigma$, не может быть связано ни с одной катастрофой порядка, меньшего, чем $A_{5}$.

В случае, когда множество решений несвязное, несвязные области можно найти с помошью алгоритма прогонки по следующей схеме:
– добавить к функции некоторое возмущение или изменить значения управляющих параметров, входящих в функцию. Это следует делать «адиабатически», стараясь сохранить состояние равновесия во время действия возмущения;
– при заданном возмущении «прогнать» систему вдоль множества решений, изменяя параметр s. Если топология нового множества решений от.тичается от топологии исходного множества решений, то посредством введения возмущения несвязные решения можно «присоединить» к исходному решению;
– найти значение параметра $s$, при котором число решений возмущенной и невозмущенной систем уравнения $
abla V=0$ различно;
– «адиабатически» удалить возмущение, отслеживая изменения всех равновесий (при фиксированном $s$ ) при удалении возмущений;
– определить прогонкой нєкоторые компоненты несвязного множества решений.
Практическая реализация рассмотренной схемы иллюстрируется для простого примера на рис. 18.15 .