Қак только математическая система, зависящая от управляющих параметров, определена, возникает необходимость в изучении ее свойств. Свойства, присущие открытому всюду плотному подмножеству управляюцих параметров этой системы, будем называть наследственными свойствами. Дополнение же к этому подмножеству элементов системы имеет меру нуль.

Пример 1 [2]. Рассмотрим математическую систему, состоящую из двух совместных линейных уравнений от двух неизвестных $x$ и $y$ :
\[
\begin{array}{l}
a_{11} x+a_{12} y=a_{13}, \\
a_{21} x+a_{22} y=a_{23}
\end{array} \text { или }\left[\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
a_{13} \\
a_{23}
\end{array}\right],
\]

где все шесть коэффициентов $a_{i j}$ вещественны. Система уравнений (21.14) параметризуется точкой в пространстве $\mathbb{R}^{6}$. Попытаемся выяснить, при каких условиях система уравнений (21.14) имеет единственное решение. Ясно, что единственное решение система уравнений имеет тогда и только тогда, когда $a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}
eq 0$. Поэтому ( $2 \times 2$ ) -матрица (21.14) может стать вырожденной при условии, что (1) одно ее собственное значение равно нулю или два се собственных значения равны нулю и (2) матрица приводится к диагональному виду или (3) матрица приводится к жордановой форме.

Легко проверить, что множество точек $\left(a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}\right) \Subset \mathrm{R}^{4}$, удовлетворяющих этим всем условиям, имеет следующие размерности:
$\begin{array}{ll}1 \text {. Одно собственное значение равно } 0 & 3 \text {-поверхность в } \mathbb{R}^{4}\end{array}$
Два собственных значения равны 0
2. Матрица диагонализируема Начало координат в $R^{4}$
3. Матрица недиагонализируема 2 -поверхность в $\mathbb{R}^{4}$

Следовательно, множество точек в $R^{6}$, на котором система уравнений (21.14) не имеет единственного решения, разбивается на подмножества размерностей $5(=3+2), 2$ и 4 . Так как поверхности размерности меньше $n$ в $\mathbb{R}^{n}$ имеют меру нуль, то свойство системы уравнений (21.14) иметь единственное решение является наследственным. Если рассматривать систему в ненаследственной точке $\left(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}\right) \in \mathbb{R}^{6}$, то малое возмущение $\left(\delta a_{11}, \delta a_{12}, \delta a_{13}, \delta a_{21}, \delta a_{22}, \delta a_{23}\right) \in R^{6}$ (зблизи начала координат) уже дает систему уравнений с отличным от нуля определителем и единственным решением. Таким образом, возмущение в точке, где имеет место наследственное свойство (устойчивая точка), качественно на это свойство не влияет. Возмущения же в неустойчивой точке будут приводить к значительным изменениям (в этом случае число решений меняется от бесконечности до одного).

Пример 2. В семействе функций $A_{3}$ свойство иметь изолированные критические точки является наследственннм (т. е. морсовские функции обладают свойством наследственности).

Пример 3. В 2-параметрическом семействе функций присутствие катастрофы сборки является наследственным. Точка сборки ассоциируется с вырожденной критической точкой функции (1/4) $x^{4}$. Если \&f — произвольное возмущение, взятое из табл. 2.2 , то
\[
\frac{1}{4} x^{4}+\varepsilon f \div V(x ; a, b) .
\]

Тогда для этого семейства найдем, что
\[
V(x ;-a,-b)+\varepsilon f=\frac{1}{4} x^{4} .
\]

Таким образом, для данного 2-параметрического семейства $V(x ; a, b)$ всегда можно найти возмущение, которое дает функцию с трижды вырожденной критической точкой. Короче говоря, (21.156) может быть использовано как куничтожение сделанного» формулой (21.15a).
«Наследственность»- это полезное обобщение математического понятия «плотность» ${ }^{1)}$. Если некоторая математическая система обладает наследственным свойством, то любой элемент
1) Вместо термина «наследственная» часто используют такие термины, как «типичная» или «в общем положении» [3].

этой системы может быть с любой точностью аппроксимирован элементами, обладающими этии свойством. Например, неморсовская функция $x^{3}$ может быть с любой точностью приближена морсовскими функциями $x^{3}+a_{1} x$ (положим $a_{1} \rightarrow 0$ ).
$\diamond \diamond \diamond$ В гл. 5 было показано, каким образом ненаследственные точки (в которых $
abla V=0$ ) могут быть использованы для получения информации о наследственных точках $(
abla V
eq 0)$ данной функции, а также каким образом ненаследственные функции (с вырожденными кригическими точками) могут быть использованы для получения информации о наследственных (морсовских) функциях.
$\diamond \diamond \diamond$ Свойство функции «быть морсовской» является наследственным в любом из семейств катастроф, перечисленных в табл. 2.2.