Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Қак только математическая система, зависящая от управляющих параметров, определена, возникает необходимость в изучении ее свойств. Свойства, присущие открытому всюду плотному подмножеству управляюцих параметров этой системы, будем называть наследственными свойствами. Дополнение же к этому подмножеству элементов системы имеет меру нуль. Пример 1 [2]. Рассмотрим математическую систему, состоящую из двух совместных линейных уравнений от двух неизвестных $x$ и $y$ : где все шесть коэффициентов $a_{i j}$ вещественны. Система уравнений (21.14) параметризуется точкой в пространстве $\mathbb{R}^{6}$. Попытаемся выяснить, при каких условиях система уравнений (21.14) имеет единственное решение. Ясно, что единственное решение система уравнений имеет тогда и только тогда, когда $a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} Легко проверить, что множество точек $\left(a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}\right) \Subset \mathrm{R}^{4}$, удовлетворяющих этим всем условиям, имеет следующие размерности: Следовательно, множество точек в $R^{6}$, на котором система уравнений (21.14) не имеет единственного решения, разбивается на подмножества размерностей $5(=3+2), 2$ и 4 . Так как поверхности размерности меньше $n$ в $\mathbb{R}^{n}$ имеют меру нуль, то свойство системы уравнений (21.14) иметь единственное решение является наследственным. Если рассматривать систему в ненаследственной точке $\left(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}\right) \in \mathbb{R}^{6}$, то малое возмущение $\left(\delta a_{11}, \delta a_{12}, \delta a_{13}, \delta a_{21}, \delta a_{22}, \delta a_{23}\right) \in R^{6}$ (зблизи начала координат) уже дает систему уравнений с отличным от нуля определителем и единственным решением. Таким образом, возмущение в точке, где имеет место наследственное свойство (устойчивая точка), качественно на это свойство не влияет. Возмущения же в неустойчивой точке будут приводить к значительным изменениям (в этом случае число решений меняется от бесконечности до одного). Пример 2. В семействе функций $A_{3}$ свойство иметь изолированные критические точки является наследственннм (т. е. морсовские функции обладают свойством наследственности). Пример 3. В 2-параметрическом семействе функций присутствие катастрофы сборки является наследственным. Точка сборки ассоциируется с вырожденной критической точкой функции (1/4) $x^{4}$. Если \&f — произвольное возмущение, взятое из табл. 2.2 , то Тогда для этого семейства найдем, что Таким образом, для данного 2-параметрического семейства $V(x ; a, b)$ всегда можно найти возмущение, которое дает функцию с трижды вырожденной критической точкой. Короче говоря, (21.156) может быть использовано как куничтожение сделанного» формулой (21.15a). этой системы может быть с любой точностью аппроксимирован элементами, обладающими этии свойством. Например, неморсовская функция $x^{3}$ может быть с любой точностью приближена морсовскими функциями $x^{3}+a_{1} x$ (положим $a_{1} \rightarrow 0$ ).
|
1 |
Оглавление
|